SV
OÙ nous ajoutons une constante arbitraire, en supprimant dans chaque somme le terme qui correspond à m^= o. Pour ce cas effectivement l'équation
ne peut, comme on le voit, déterminer A^q'\ et donne seulement
A =: o, c'est-à-dire
Ri-H R2 -I-. . .-1- Ra= o-
Mais, avant d'aller plus loin, faisons de suite une application de la formule générale que nous venons d'obtenir en supposant F(^) = sinam-s. Soit alors
on aura
Ri -t- lim £ sin am (iW -\-z) = j -,
et, par suite,
sm am z =
JAi
2^ I - r/-^ 'Zà I
2 Iv
const.
'2AK >4j I — ^-'«^ ^ ^ -^
On voit qu'on peut ne conserver que les valeurs impaires de m, de sorte qu'en supposant nulle la constante, on trouvera immédiatement
j/cK. . '2\iz ^%ry . /ô^
TT iz jLd 1 — q"^
c'est-à-dire pour le second membre la série désignée par U, page 22 T .
Revenons aux considérations générales, et surtout à ]a compa-
Hosted by
raison des deux développeinents qui correspondent à z^^at-^b^^ et z =^ at -\- buo' Les résidus, dans le premier cas, se rapportent aux valeurs Ç<, J^g? • - -j ^y/j or en passant à l'intervalle suivant, défini par la relation z=. at-\~ Z^Uo, on sera conduit à la série î^o, Ç;], ..., t^p., Çi + 6, et comme les résidas de F(^) relatifs à (^i, Ç, + 6 seront les mêmes, les deux développements seront, avec l'expression des termes constants,
-Cl)
a Âaaà I — 1
-ir
lui
-iP'
— si-
Ce sont donc les termes constants que nous avons à comparer. Nous nous servirons pour cela de l'équation déjà employée, en y remplaçant la période b par une quantité arbitraire jB, savoir :
a j )^{p-^ at)dt'^-^ r F{p-ha-^ pt) dt
— ctj ^{p -^^-ï- at)dt~^ f F(/>-H ^t)dt = 2i7tA.
Si nous supposons p z=z b\J\ et /? + j3 = Z^Uo, A se réduira au seul résidu de F(^) qui correspond à ^ = Ç,, et l'on aura immédiatement, en divisant par a, la relation
/ F{at'hb^Ji)dt— V{at-^b^i)dt— - — Rj.
Nous pouvons donc ramener les deux développements à ne contenir absolument que les mêmes éléments analytiques, de sorte que, le premier étant
n 2171^'^e « a/^u^v^e Ch Ri > H R2 >, —
Hosted by
■23o OEUYRES DE CHARLES IIERMITE.
le second, en réanissant les tei^mes en R,, s'écrira ainsi
De là se lire une conséquence importante et qai justifiera ce que nous avons annoncé plus haut, sur le rôle de la fonction de seconde espèce.
Remarquons, en effet, que les diverses séries affectées des facteurs Ri, Ro, . . . proviennent de ce seul développement
en y remplaçant z par z — Çi,^ — Ço? - - •> et z — Ç, — b dans le second cas. Or, en mettant :; — - au lieu de ^, ce développement prend la forme
Zid I — n- '^
qui nous rappelle immédiatement une expression analytique bien connue. Soit, en effet,
a — 2K, h — 2iK', d'où
on aura
in — - —
, SIQ — 7T-
Nous pourrons, par conséquent, écrire, pour ^ ■=. at -j- feUi,
Y{z — iYs!)^ G + Rj
et, pour z =^ at -^ b'j^i
- Çi — ai'K') i-
Ra
e'( = -Cu,)
'^- «(^--îa)
Hosted by
T II E 0 R I li: DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 2 3 1
C'est en ce moment que se manifeste toute l'importance de la propriété caractéristique de la fonction de seconde espèce relativement à la double périodicité. Effectivement, les relations
équivalent à celles-ci :
&(x) ^ ÎT,
~~ e{x} "^ iv '
d'où l'on voit que l'on peut ramener à une seule les deux formules
de développement, par l'introduction de la transcendante, puisque
, . , e'(z — l^—iiK') ir. , , -, ^ (d'iz — t^) la cruantite i .-^^rjx rr se reciuit a ;-- ;^-, •
De là résulte une relation analytique générale subsistant dans toute l'étendue des valeurs de l'argument, et dont la forme définitive, en passant de V{z — iYJ) à F(^), s'obtiendra comme il suit :
Rappelons d'abord que l'on a
Q{x-h iK') = ill{x)e ^^^ ,
d'où, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres,
