LES THÉORÈMES DE M. KRONECKER

RELA.Ï1FS AUX FORMES QUADRATIQUES.

Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. LV, 1862 (II), p. ii-85 et Journal de Liouville, t. IX {i."^ série), i864, p. i/p.

La théorie des fonctions elliptiques présente deux points principaux où elle vient se lier à l'Arithmétique et spécialement à la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées de déterminant négatif. L'un s'offre lorsqu'on développe en séries simples de sinus et de cosinus des quotients de fonctions 0, et ne suppose que les considérations les plus élémentaires de la théorie ; l'autre tient à l'étude beaucoup plus profonde et difficile de ces équations algébriques à coefficients entiers dont dépendent les modides qui donnent lieu à la multiplication complexe. Si différents et éloignés que soient ces deux points de vue, ils présentent néanmoins un ensemble de résultats communs : nous voulons parler des déterminations nouvelles du nombre des classes de même déterminant, découvertes par M. Kronecker, et qui, à bien juste titre, ont attiré l'attention des géomètres. Dans une Lettre communiquée par M. Liouville à l'Académie l'année dernière, j'ai rapidement indiqué de quelle manière ces résultats pouvaient s'établir par la considération élémentaire du développement en série de sinus et de cosinus. C'est sur cette méthode que je me propose de revenir pour en faire une étude plus complète, en mieux fixer le caractère et les limites, et surtout approfondir la nature des nouveaux H. — IL 16

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éléments arithmétiques qu'elle met en jeu et qui lui semblent propres. Elle repose essentiellement sur l'emploi des expressions en séries de deux systèmes différents de fonctions qu'il est nécessaire de donner avant d'en exposer le principe.

Le premier de ces systèmes est, à quelques exceptions près, l'ensemble des fonctions doublement périodiques considérées par Jacobi dans le § 39 des Fundainenta. En écrivant, pour abréger,

au lieu de

et

au lieu de

de sorte cru' on ait

0, 01, H, Hi

0, 6i, -0 0(0), 0i(o), lli(o),

0 = i / — ^^ = I -^ 2^ -i- 'Xq' 2^9 -j- 2^16 2<7-^ -i-. .

Oi = il- — l 4- 2^ -H 2^^ -1- 2^9 -1- 2^1*^' -{- 2^25 !__

'^' — 1/ ~r~ ~ '^ y^l + 2 \lcf -i- 2 \lcf-"^ + 2 y/^ H- . . . , je les présenterai groupées de la manière suivante :

^0 T 4^/sin:r 4^^sin3^ 4<7''sin5.^