SUR LA TRANSFORMATION

Journal de Crelle, t. 60, i86'2, p. 3o4.

(( . . . Soit une forme bi quadratique et son covariant du quatrième degré, à savoir :

f ~ ax'-* -^ i\bx^y -H Çicx'^-y^- -4- r^b' xy^ H- a'j'%

g- — ( ac ■— b^) X-' -\- i{ab' — bc) x^y -^ laa' -h 9.bb' — 3c^)x-y^

-h 2 {a' b — b' c) xy^ + (a' c — b'-)yK En posant, suivant l'usage,

T = aa' — 4 ^b^ + 3 c^,

J — aca' -\- ').bcb' — ah"'- — a'^^ — q\^

je considère ces deux covariants, qui sont encore du quatrième

degré,

I,s"--J/ et I,^-+-3J/,

et qui conduisent à la relation remarquable que voici :

» Nommons ¥ et G ce que deviennent f et g quand ony rem-

place X et y par — - -— et - --^ on aura ' «^ ^ l\ dy ^ ôx

IG — JF = ^-^1^ 4-3J/).

)) Il en résulte, d'après le principe algébrique de Jacobi pour la

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transformation des fonctions elliptiques, qu'en supposant y = et X seule variable, et faisant, pour abréger,

A'(^) rrr I ^ + 3 J/,

on aura

dz ^^ dx

z étant lié à x par cette relation du troisième degré

hx"^ H- 3 ex''- -H 3 h^ X -f- a' ~ ax'^ H- 3 6a;- H- 3 c^ -h- Z^'

et M désignant une constante.

» C'est donc la transformation du troisième ordre qui s'offre comme conséquence de la théorie algébrique des formes biquadratiques.

» Paris, mai 1861. »

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