OOi [^ = -GHi -H'/]Ui
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Les quantités A, B, C sont des constantes, savoir :
A = Z (o) == i^anq'''\
Dans ces formules m est pair et /z ^ 3 (inod4), les coefficients a,;, c,u désignant les fonctions numériques délînies par ces égalités
où 6/ représente tous les diviseurs impairs de n et de ?7i inférieurs à leurs conjugués et d' les diviseurs impairs de m plus grands que leurs conjugués. On a d'ailleurs, en faisant ^ = o dans les équations 15, 16, 20, ces relations dont nous ferons usage plus tard :
r^3 ^ AOi— BO,
Voici maintenant de quelle manière les deux systèmes de fonctions conduisent à la considération des formes quadratiques à deux indéterminées de déterminant négatif.
Ayant, à cet effet, distingué quatre espèces de développements en série, suivant qu'ils se composent de termes en
sin(2/^ -I- i) ^, cos('2/i H- i) ^, s\n2nx, cos2nx,
nous multiplierons entre elles toutes les fonctions du premier et du second système qui appartiennent à la même espèce, de manière que les produits obtenus ne comprennent que des termes en C0S2/IX. En intégrant ces produits entre les limites zéro et- on
donnera naissance à autant d'expressions fonctions de la seule
quantité q^ où le coefficient d'un terme quelconque rj^ ou q' dé-
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SUR LES THEOREMES DE M. KRONECKER, ETC.
pendra d'une certaine manière du nombre des classes quadratiques de déterminant — A. Tel est donc le procédé analytique très simple qui, en établissant un lien entre les formes quadratiques de déterminant négatif et les transcendantes ellipliques, conduit à l'ensemble de résultats que nous allons passer en revue. Ces résultats d'ailleurs se classent naturellement d'après les intégrales définies de fonctions ©, d'où ils sont tirés. Ainsi, en premier lieu, s'ofl'rent les combinaisons obtenues en multipliant respectivement les équations 15, 18, 1, 2, 11 du premier système avec les équations 5, 1, 3, 7, 5 du second, et où l'intégration s'effectue d'elle-même, savoir:
ef r'e dx^ - 05, ^0 '^
'r]3 j e^dx =~ r^^
rfi\ f e,dx :==.-. rfil
Tï
OOf f\,dx=- i)(}l.
Celles-ci seront étudiées ensuite, savoir :
/ rfii},--dx= '- Af
et
(16, 2) / nn -ordx = -\i)u
TU
Elles sont, comme on voit, essentiellement distinctes, et toutes les
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autres de forme analytique semblable qu'on pourrait obtenir reproduiraient, en changeant suivant les cas le signe de y, les mêmes fonctions.
Legendre, comme on sait, a le premier découvert par induction que le nombre des décompositions d'un entier en trois carrés dépendait d'une manière simple du nombre des classes quadratiques ayant pour déterminant ce même entier changé de signe, et Gauss a démontré ensuite ce résultat important dans ses Recherches arithméticjues, M. Kronecker a remarqué qu'on y est également amené par la théorie des fonctions elliptiques; mais la méthode du savant géomètre suppose, à son point de départ, et d'une manière essentielle, autant que je puis en juger, la notion arithmétique de classe, qu'il n'est pas nécessaire d'employer dans la voie que j'ai suivie. Si l'on ne distingue pas les représentations propres et impropres, il suffira, en elTet, de la définition seule du système des formes réduites pour un déterminant donné ; de sorte que ce théorème, dans l'enchaînement naturel des propositions de l'Arithmétique, pourra être placé dès le commencement et à côté des résultats qu'a obtenus Jacobi sur la décomposition en quatre carrés. Pour justifier cette observation, je présenterai en détail ce qui concerne la formation du cube de la fonction
Gi = l -\- iq -^ iq'* -^ iq'^ -{- ig
afin aussi de pouvoir me borner à l'égard des autres quantités 7j^, 8,'/l-, ..., contenues dans les formules (A), à donner seulement les résultats.
Considérons, à cet effet, les séries 15 et 5 du premier et du second système, dont il faut effectuer le produit, savoir :
^2 ®I~ïi ^^q Unix 4^^sin4^ 4^^sin6;27
V0iH i—q i^cf- i^q^
q'^ sin '?.iix
{-^jr
