SUR LES THÉORÈMES DE M. KRONECKER, ETC. I^C
et, en faisant comme précédemment,
Ce prockiit devant être ensuite intégré entre les limites o et -^ nous ferons usage de ces formules, qu'il est aisé d'obtenir,
TU
r^- TU
/ tan ff 57 sin 2 nx clx = ( — i )^^-i - • On trouvera de cette manière, après avoir supprimé le facteur ->
Les deux premières séries qui se présentent dans cette expression se développent sans difficulté suivant les puissances de q. En désignant par Jii un nombre impair quelconque, par ^{m) le nombre de ses diviseurs, on trouvera
H- V ((7— 3)cp(/72)^^-2^''S
l'exposant a- prenant la série des valeurs i, 2, 3, etc.
Pour la troisième, en remplaçant d'abord : par le déve-
loppement ^l ( — i)^(/^+0^a/^^ q[\q devient
ce qui met en évidence dans l'exposant q le déterminant d'une forme quadratique (A,, B, C), en posant
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25o OEUVRES DE CHARLES HE RM! TE.
Laissant de côté pour un instaiiL le facteur ( — ■ i)«(^^+<)^ dont nous nous occuperons plus tard, observons que b doit recevoir les valeurs
de sorte que cette forme sera réduite, si l'on s'arrête à la limite
c'est-à-dire, pour plus de précision, — [\ i ) lorsque n
sera pair, et ± i — ^ — j lorsque n sera impair. Ge premier groupe
de valeurs, si l'on fait
71^ -^ n -\- an — b^ = A,
donnera, et une seule fois, toutes les formes réduites de déterminant — A, en exceptant les formes ambiguës (A, B, G) ou 2B = A et G = A, et parmi les formes (A, o, G), le seul cas de A=: G, qui se présente quand A est un carré. Dans ces divers cas, en effet, on serait conduit pour le nombre a à une valeur négative.
Gonsidérons ensuite la seconde série des valeurs de b^ savoir :
lorsque n est pair, et
fi -1- I
lorsque 11 est impair. Soit z une quantité égale à l'unité en valeur absolue et de même signe que b'^ en faisant la substitution
dans la forme
nx' -h '1 hxy + ( /i -H i -4- ct)y'^^
on trouvera
n\'^ — 'iziji — bz) XY -+- {211 — ibz ■+■ i 4- a) Y^,
et cette transformée, que nous désignerons par (A, — ^ sB, G), en posant
remplira les conditions :2 B <] A, '2 B << G, le premier terme étant tantôt plus grand, tantôt plus petit que le dernier G. On voit donc maintenant se produire une série de formes en nombre double des
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formes réduites, si l'op excepte celles-ci : (A, o, C), qui ont été précédemment obtenues pour b =^ o. En effet, on tire des équations (i) :
et, en permutant A et C,
Ainsi chaque forme réduite non ambiguë donne effectivement deux systèmes différents (/i, b^ a), où n et a sont positifs et b compris entre les limites assignées. Mais, à l'égard des denx formes ambiguës (A, sB, A), les équations (2) et (3) coïncident, et pour celles-ci : (:2iB, eB, C) les équations (3) conduisant à une valeur négative de a, on n'a de même et pour chacune d'elles qu'un seul et unique système de nombres, /z, ^, a. Si l'on avait d'ailleurs à la fois
on ne pourrait employer ni les équations (2), ni les équations (3), de sorte que cette forme est absolument exclue, comme plus haut le cas de A = C dans le groupe des formes ambiguës (A, o, C). En résumé, soient, pour un déterminant donné A : H le nombre des formes réduites non ambiguës, h le nombre des formes ambiguës de l'espèce (A, o, C), h' le même nombre à l'égard des deux suivantes : (2B, B, C), (A^ B, A), l'expression
sera le nombre des systèmes (/z, bj a) qui, sous les conditions requises, satisfont à l'équation
;^2 -T- 71 -h an — b- = ùi.
Mais, si A est un carré ou le triple d'un carré, ce nombre, d'après les exceptions relatives aux formes dérivées de (i, o, i) et (2, 1, 2), devra être diminué d'une ou de deux unités. On peut d'ailleurs l'écrire de cette autre manière :
3£) — 'ih — h\
en introduisant le nombre total des classes de déterminant — A qui est
;(P = ir + A -i- h\
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Maintenant revenons au facteur ( — i)«(/^+0 qui joue dans la question un rôle essentiel. En posant en premier lieu
et, en second lieu,
A = ;i, V) = n — 6 £, Qx ~ 111 — 2 ^ s -H i -h a, et
on trouve toujours Ja même valeur
a(/i -hi) = A -H A -H B -i- G H- I (moda).
Il en résulte que pour tout déterminant le facteur ( — i)«(/'+0 sera égal à + i si Tun au moins des termes extrêmes A et C est impair, et à — i si tous deux sont pairs. En faisant cette distinction dans les formes réduites, nommons ^0 le nombre total de ces formes, Aq, h\ celui des formes ambiguës des deux espèces dont nous avons parlé, où l'un des termes extrêmes est impair, et %^^ Aj, A',, les expressions de même signification dans le cas où les deux termes extrêmes sont pairs, on aura évidemment
ce qui donne la loi du développement suivant les puissances de.^',
de la série > — ^— — • La partie que nous avons isolée a dessein
2(2/.i + A;-2Ao~Ai)^^
s'évalue à l'aide des résultats qui suivent.
Soit d'abord A = /?z, m étant impair, on aura,
