SUR LES FONCTIONS MODULAIRES

« Saint-Jeaii-de-Luz, villa Bel-air, 24 septembre 1900.

» Mon cher ami,

» Je viens dégager ma parole et m'acqaitter bien tardivement, il me faut l'avouer, de ma promesse de vous démontrer les formules

concernant les quantvtes cp 1 — ^ 1 données aans mon ancien ar-

ticle Sur l'équation du cinquième degré,

)) Le bon air de la mer m'a aidé à surmonter la torpeur qui faisai t obstacle à mon travail; j'en profite pour échapper aux remords de ma conscience, et, en pensant que vous avez sous les yeux cet article, j'aborde comme il suit la question.

» Mon point de départ se trouve dans les formules de la page 2 et de la page 3, qui donnent les expressions de s/k et de '\/ k' comme fonctions uniformes de ^, ou plutôt de o), en posant (0= -^ , et^ parmi ces formules d'une extrême importance dont la découverte est due à Jacobi, j'envisagerai pour mon objet la suivante, à savoir :

(1) Nous reproduisons une Lettre d'Hermite à M. Jules Tanner}^, où se trouve la démonstration des formules seulement énoncées dans l'article qui précède sur l'équation du cinquième degré. Cette Lettre a déjà été publiée par MM. Tannery et Moik dans leur Traité sur la théorie des fonctions elliptiques, en intercalant quelques explications complémentaires avec renvois à certaines parties du Traité. Nous donnons ici le texte même de la Lettre d'Hermite que M. Tannery a bien voulu nous communiquer, en corrigeant seulement de légères inadvertances,

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I 4 OE U V R E s D E C H A R L E s H J: R M I T E .

» J'y introduirai tout d'abord la quantité to, en me servant, au lieu des fonctions ©, H, . . , de la série

iTz\ (2n +[}.). i-^-^ [2/1 -h m^\ , , ,

f)j,^,v(^) = S(-0''^^ L ^ ^ (AZ.= 0, ±1, Zh'2, ...)

Savoir mon article Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques {Journ. de Liouville, i858)], et j'écrirai

^" ~Oo,i(o|'.co)' ou plus simplement

J'ai posé, comme vous savez,

on aura donc

' c — doj

c — ai-' ^