XXVI PRÉFACE

qu'elle a été son étude de prédilection. Les belles formules, d'une allure si parfaite, qu'on y rencontre remplissaient de joie, comme il le disait, son âme d'algébriste, ainsi que les rapports si remarquables de ces transcendantes avec l'Algèbre et les propriétés des nombres ; les Fundamenta no^a de Jacobi étaient toujours sur sa table de travail. Une addition à la sixième édition du Traité de Lacroix est restée célèbre dans la théorie des fonctions doublement périodiques ; c'est de l'intégration d'une fonction doublement périodique, le long d'un parallélogramme de périodes, qu'Hermite, ici disciple de Cauchy, déduit les propriétés fondamentales de ces fonctions, et en particulier la décomposition en éléments simples si importante pour le Calcul intégral.

En i858, Hermite reprend l'étude de la transformation des fonctions elliptiques, et cherche à en approfondir davantage le mécanisme. Il rencontre ainsi une abondante moisson et tout d'abord la résolution de l'équation du cinquième degré. Jacobi avait montré que, dans la transformation de degré n (/z étant premier), il y a une relation de degré n -{- \ entre les racines quatrièmes de l'ancien et du nouveau module; c'est l'équation qu'on appelle X équation modulaire. Deux fonctions vont jouer un rôle essentiel. Employant les notations de Jacobi, on sait que y//f et y/f' sont des fonctions

uniformes de (o = -^\ Hermite les désigne par 9(oj) et 'j>(w)

et étudie les transformations qu'elles subissent quand on effectue sur co une substitution linéaire. Le fait que les modules satisfaisant à l'équation modulaire s'expriment, en utilisant les fonctions précédentes, par des fonctions uniformes d'un paramètre avait vivement frappé Hermite ; il eut le pressentiment que cette circonstance n'était possible qu'à cause

PREFACE

de la nature singulière de ces fonctions, et la fonction o(^) sur laquelle il attira si vivement l'attention forme le premier exemple de ces fonctions, ayant des lignes de singularités essentielles, dont M. Poincaré devait plus tard faire une étude générale sous le nom de fo/ictions fuchsie/ines.

Galois avait énoncé que pour /z= 5, 7, 11 les équations modulaires sont susceptibles d'un abaissement au degré inférieur d'une unité; ce résultat, retrouvé aussi par M. Betti, avait été vérifié par Hermite dès l'époque déjà lointaine de ses lettres à Jacobi. Il effectue maintenant la réduction d'une manière complète pour /i = 5, en employant pour former une réduite une fonction convenable des six racines 5 il trouve ainsi une équation du cinquième degré, susceptible d'être identifiée avec l'équation

forme à laquelle un géomètre anglais, Jerrard, avait ramené l'équation générale du cinquième degré sans employer d'autres irrationnalités que des radicaux carrés et cubiques. a étant donné, l'identification conduit à une équation du quatrième ;degré pour trouver le module de la fonction elliptique. L'équation du cinquième degré se trouve donc résolue, en ce sens que ses racines se trouvent représentées par des expressions s'exp rimant simplement à l'aide de ç(w) et 'X^)- Cette résolution de l'équation du cinquième degré frappa vivement l'attention des géomètres et, quelque temps après, Kronecker et Brioschi traitaient la même question sans faire la réduction préalable à l'équation de Jerrard et en utilisant la relation algébrique entre le module et le multiplicateur dans la transformation du cinquième ordre.

Dans un Mémoire étendu sur l'équation du cinquième

degré, Hermite exposa ensuite ses travaux, ainsi que ceux de Kronecker et de Brioschi, en utilisant ses anciennes recherches sur les formes du cinquième degré. On trouve, de plus, dans ce Mémoire, quelques résultats généraux concernant les équations de degré quelconque. Il y est montré que, pour une équation de degré quelconque, on peut former un certain nombre d'invariants dont les signes donnent le nombre des racines réelles et imaginaires de Féquation; pareillement on peut former un système de covariants doubles, c'est-à-dire à deux séries de variables, servant, comme les fonctions de Sturm, à déterminer le nombre des racines réelles comprises entre deux nombres. Hermite complétait ainsi d'une manière remarquable ses premières études sur des suites analogues à celles de Sturm.

Nous rencontrons bientôt après un long Mémoire sur la théorie des équations modulaires. Pour réaliser effectivement l'abaissement de l'équation modulaire dans les trois cas prévus par Galois, il fallait calculer le discriminant de cette équation. Hermite entreprend alors d'une manière générale une étude du discriminant des équations modulaires et sa décomposition en facteurs, et est ainsi conduit à d'importantes notions arithmétiques sur le nombre des classes de formes quadratiques. La théorie des équations modulaires n'est d'ailleurs pas le seul lien où la théorie des fonctions elliptiques vient se lier à la théorie des formes quadratiques binaires de déterminant négatif. Un autre plus élémentaire s'offre lorsqu'on développe en séries trigonométriques certains quotients de fonctions 0; on obtient ainsi des identités, d'où découlent des propositions très cachées d'Arithmétique, et c'est ainsi, entre autres résultats, qu'Hermite retrouve les propositions de Legendre et de Gauss sur la décomposition des nombres

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