SUR QUELQUES FORMULES RELATIVES

TR4NSF0RMATI0N DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Journal de Mathématiques pures et appliquées, i^ sér., t. III.

L'expression générale des quatre fonctions 8 sur lesquelles repose la théorie des fonctions elliptiques est, comme on sait, la suivante :

[ji et V étant zéro ou l'unité et to une constante imaginaire telle que, en faisant

on ait co^ essentiellement différent de zéro et positif. Ces quatre fonctions sont définies, à un facteur constant près, par les équations

ea,v(^-+- 1) =(-i}iJ-0jx,v(^),

et elles jouissent des propriétés exprimées par les relations suivantes :

La première de ces relations montre que des quatre fonctions 9 une seule est impaire, celle qui correspond aux valeurs ji. =: i , V ^= I ; les deux suivantes montrent comment la formule (A), quels

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que soient les entiers ui et v, ne donne effectivement que quatre fonctions distinctes; enfin la dernière permet d'exprimer ces fonctions par une seule d'entre elles. A ces relations nous joindrons enfin, bien que nous n'ajons pas à l'employer ici, la suivante, qui fournit les équations algébriques ou différentielles auxquelles satisfont nos fonctions, et où je suppose

fi. — [0.' = a, V — v' = p, savoir :

== ep,,v(^) V%v'(^) Qa,o(r) 60, ^(.r) -^ (— i)v 6jj^+i,v(^) ^[i'+i,v'(^) Oa+i,o(r) Qi,^(r)

+ (— r)v0u+i,v+i(-^)9pL'+i,v'+i(^)6a+i,i(jK)^i,P+i(r) -h 6jj.,v+i(^) 6a',v'+i<;^) 6a,i(.r) ^o,B+i(r)-

Gela posé, soient a, 6, c, n^ des entiers tels que ad — hc = A", A" étant essentiellement différent de zéro et positif, faisons

c -t- <ioj

a -^ om

xi\ =z a [x -^ b V -{- ab,

n ^= c IX -h dv -h cd^ U(x) = ba,v[(a-^ biii)x]ei'^b{a+hiii)x\

on aura les relations fondamentales

n(.^-!- i) = (— if^n(^),

qui servent à exprimer n(^), quels que soient a et v, au moyen des quatre fonctions analogues à 0, mais relatives au module 0, et que nous représenterons par

A cet effet, je désigne par T/ une fonction homogène du degré i des carrés de deux des fonctions 6; cela étant, on aura pour k impair cette expression très simple

J\{x)= em,n(-^)T/,-i.

Laissant ici de côté la détermination de ces fonctions désignées

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par T^ 1, je vais seulement, dans le cas de A- = i , où-T est une

simple constante, en donner la valeur, qui exige une analyse assez délicate.

Supposons le nombre h positif, comme on le peut toujours, car s'il en était autrement on chercherait la formule de transformation relative au système des nomhres — a, — ^, — c, — d^ ainsi qu'on y est autorisé par la nature de la condition ad — 6c = i , qui n'est pas altérée par ce changement, et, cette formule trouvée, on en déduirait immédiatement celle qu'il s'agissait primitivement d'ohtenir, la constante T restant la même ou changeant seulement de signe, comme il est aisé de le reconnaître par le changement dont nous parlons. Cela étant, on aura

y — ib (a -f- h m)

S étant une racine huitième de Tunité dont voici la détermination :

i7l(ac\l^-hibc\Ly-hhdv^-+-2abc\J.-h2nbdv + ab'^c)

et le signe du radical carré y/ — ib(a -+- btù) étant pris de manière que la partie réelle de ce radical soit positive (').

Des cas particuliers de cette relation ont été déjà donnés par Jacobi dans un Mémoire sur l'équation différentielle à laquelle satisfont les séries

(Journal de Crelle, t. 34 et Journal de fJomnlle, traduction de M. Puiseux). Mais l'illustre auteur, laissant de côté la détermination de 0, se borne à annoncer que le signe de la constante

dépend de la quantité désignée par le symbole (j \ dans la théorie

(^) Pour b — 0, la formule de transformation se réduit à Téquation suivante

6j^^.^(;r, w ) == e '-' ' 6j^ ,J^, w -f- a), a étant un nombre entier arbitraire, m'étant égal à tx et n à a( [x 4 i) 4- v.

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des résidus quadratiques. Ce fait si remarquable résulte, en effet, des propriétés de la série

qui se trouve comme facteur dans la valeur de T. Soit d'abord [â étant impair, on aura

si a est impair, et

lorsque a est pair.

En second lieu, supposons ^impair; alors on pourra déterminer deux nombres entiers m et n par l'équation

a = mb — 5Ai,

et l'on aura

miTZ

Ces résultats (^) se déduisent des formules données par Gauss dans le célèbre Mémoire intitulé : S ummatio serieram qiiarumdarn slngularium; seulement j'ai fait usage, pour éviter autant que possible une énumération de cas, de la forme sous laquelle elles ont été présentées par M. Lebesgue dans un Mémoire intitulé : Sur le symbole ( r) et sur quelques-unes de ses applications . Je remarque enfin que l'introduction des nombres [a

(') Peut-être n'est-il pas inutile d'observer que l'imaginaire f, qui figure dans la série a ou dans l'expression de cette série par les symboles de la théorie des résidus quadratiques, e>t absolument la même quantité qui entre dans la définition des fonctions 6 par l'équation (A). Je ferai enfin remarquer que a se présente toujours, comme le produit de sjb^ par une racine huitième de l'unité; de sorte qu'en résumé la constante T a cette \aleur

Trz:

sja -h biù

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et V d'une part, ÎU et U de l'autre, permet de résumer dans une seule équation, savoir

ce que Jacobi nomme la théorie ries formes en nombre infini des fonctions 9, théorie sur laquelle il avait annoncé un travail important que la mort l'a empêché de publier.

Pour établir les formules précédentes, je m'occuperai d'abord des deux égalités

n(^--^ i) =(— i)mn(a7),

W{u, + il) = (— 0" n(^)e-'^^'7ï(2^+û),

dans lesquelles, ainsi que je l'ai dit plus haut, on a

m — afjL-h^v-h ab^ n = c fi. -4- <iv -h cd^ c -^ dui a -h ^o) et

k = ad — bc.

Pour cela, j'observe que l'on peut écrire

H-QO

en posant

cp(a7, m) = b(a^ bM).T^-{~ (•im -h ix)(a -h bM)a; -]- y{im-\- \i)^ — /nv.

■Dix, m)

Or cette fonction jouit de la propriété exprimée par l'équation suivante :

cp(^-l- 1, m) — cp(.r, m -h b) = lam -h m = m (mod2),

que l'on vérifie par un calcul très facile, et il en résulte que l'on peut écrire

et, par suite,

n(ir-4-i) = (— i)"in(:r),

car le nombre m devant prendre toutes les valeurs, depuis — oo

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jusqu'à 4-00, on peut, sans altérer la somme ^, changer m en

m -\- b dans la fonction 'f (^, ni)- Soit ensuite, pour un moment,

il est clair que la nouvelle fonction ^fo('^7 ^) sera liée à celle dont nous venons de parler par l'égalité

Or, en recourant à la valeur de 0 et réduisant les deux termes en ^2, on obtiendra immédiatement

cpo(:r, m) = d{c -\- <ici)).r2-i- (2/?2 + [i.)(c-l- dtsi)x -h —('im-h [J.)^ — mv^

de sorte que l'on peut passer de la fonction ^{x^ m) à la fonction Oo(^, m) par le simple changement de a et 6 en c et d. On a donc la relation

cpo(^-4-i, rn) — cpo(a7, /n H- <i) = 2cm 4- m = n (mod^),

et, par suite, celle-ci :

no(^--4-i) = (-!)" no(^).

On en déduit que l'on a, relativement à la fonction ri(^),

d'où, après avoir dans les deux membres supprimé le facteur ^'^^^^*' et remplacé ùx par x^

Ces deux égalités démontrées, voici maintenant comment on parvient, dans le cas où l'on suppose /: =: i , à la détermination de la constante T dans l'équation

Remplaçant d'abord les fonctions par leurs développements et mettant pour cela dans le second membre Q au lieu de — —7— ?

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Gela posé, nous introduirons au lieu de f (^, /?^) l'expression

^{x^ ni) — cp(a7, m) — X(ix^

ce qui permettra de supprimer dans les deux membres de l'équation précédente le facteur gf"^^'^, de manière à avoir

On en conclura, par suite, en intégrant entre les limites zéro et l'unité.

et il s'agira maintenant d'obtenir l'intégrale définie du premier membre. A cet effet, j'observe que la fonction ^(x, m) donne lieu à cette relation

^]^(^H- I, 7?z) = d;(;r, //i -h è) (mod2),

ou plus généralement

^{x -^ n^ m)^^{x^ m ^ nb) (mods),

n désignant un entier arbitraire. Supposons donc, comme il a été admis précédemment, que b soit différent de zéro et positif, et décomposons la série des nombres entiers m en b progressions arithmétiques dont la raison soit è, on aura

^^ m ^^ Il

X'^ i'K^i.x ,tib-^\)

— ao

■ X"^ i'K'^kXynb-^b- 1)

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Or, en vertu de la propriété de la fonction ^(^, m), cette relation pourra encore s'écrire

iTC^{x-hn,o)

^^ Il

Ainsi l'intégrale définie cherchée

cA -00

se trouve exprimée par la somme d'un nombre b d'intégrales telles que

/l H-oo

p formant la suite des valeurs o, i, 2, . . ., h — i. Maintenant, en vertu d'une transformation bien connue de ces sortes d'expressions, on a simplement

de sorte que l'on parvient pour la détermination de T à cette relation

Les intégrales qui y figurent s'obtiennent par la formule

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OÙ le radical carré y/ — ip est pris de manière que la partie réelle soit positive. Ce résultat est dû, comme on sait, à M. Cauchj, et a été donné par l'illustre géomètre dans les anciens Exercices mathématiques. On en conclut par un calcul très facile la valeur de la constante T, qui se présente d'abord sous cette forme (^)

^^ -in '—

S ayant pour valeur

V — ib{a -\- bbi)

Pour prouver ensuite que S est une racine huitième de l'unité, il faut remplacer lU par sa valeur

a\L-\- b^ -{- ab^ et l'on parvient ainsi, en faisant usage de l'équation

ad — bc = i., à l'expression

^ —^-— (ac 0.2 4- 2 6c [XV 4- frr/ V2 4- 2abc LU- 2 ahd V -+■ ab'^c)

Quant à la réduction aux symboles de la théorie des résidus quadratiques par les formules de Gauss de la somme

je pense qu'il suffît d'avoir donné les résultats du calcul sans rapporter le calcul lui-même qui est sans difficulté, et je terminerai cette Note en donnant les formules pour l'expression des fonctions n(^) par les fonctions Bm,n(^) au module 0 lorsque le nombre k = ad — bc est pair.

{^ ) On a supposé b positif. La formule donnant T subsiste, quel que soit le signe de 6, en convenant que la somme S s'étend aux valeurs o, i, 2, . . ., P — i, où p représente la valeur absolue de b.

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Pour cela je distinguerai deux cas :

1° (m -f- r)(n -+ i) = T (mods).

Alors, pour |jlv ^ o (mod2), on a

et pour piv ^ I (mod2),

n (^) = eo,o(^) 60,1(^)61, o(^)Bi,i(^)T^__4;

1° (nu- ij(n -^- 1) = o (rnod?.).

Tf, comme il a été dit précédemment, désigne une fonction de degré i des carrés de deux des fonctions 6. Je me réserve de revenir dans une autre occasion sur ces formules pour la transformation des fonctions elliptiques, qui représentent pour un ordre donné une classe de transformations qu'il importe de considérer d'une manière particulière dans l'ensemble de toutes les transformations possibles.