SUR QUELQUES FORMULES RELATIVES

TRANSF0RM4TI0N DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI.

L'expression générale des quatre fonctions 9 sur lesquelles repose la théorie des fonctions elliptiques est, comme on sait, la suivante :

[JL et V étant zéro ou l'unité et to une constante imaginaire telle, qu'en faisant

on ait (o^ essentiellement différent de zéro et positif. Ces quatre fonctions sont définies, à un facteur constant près, par les équations

^5x,v(^ -f- to) = (— if ejj.,v(^ ) e-^'^(-2^+w)^

et elles jouissent des propriétés exprimées par les relations suivantes :

e{x,v(-^)-(-i)^'ej,,v(.r),

e{X4-2,v(^) =(-i)'ôtx,v(^),

/ \ ■ / fx^ca VU-' \

/ [i.(f)-(-v\ i7i(îJ..r-f-i-^^ i- )

^{jL-f-{X',v-t-v'(^) = 9a', V' ( ^ H / ^

La première de ces relations montre que des quatre fonctions & une seule est impaire, celle qui correspond aux valeurs jj. = i , v= I ; les deux suivantes montrent comment la formule (A.), quels

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que soient les entiers u. et v, ne donne effectivement que quatre fonctions distinctes; enfin la dernière permet d'exprimer ces fonctions par une seule d'entre elles. A ces relations nous joindrons enfin, bien que nous n'ayons pas à l'emplojer ici, la suivante, qui fournit des équations algébriques ou diff*érentielles auxquelles satisfont nos fonctions, et où je suppose

{a — f^' = a, V — v' = p, savoir :

*26|j.,v(^ -H7)Ô{i,',v'(^ — JK)ea,o(o)ôo,p(o)

^-(— l)v6|j^+i,v(^)^(;/-4-i,v'(^)6a+i,o(r)Qi,p(r)

+ (— i)^Q{x+i,v-Hi(^)6|x'-M,v'+i(^)6a+i,i(r)Ôi,p-f-i(jK)

H-Ô{j.,v+i(^)ô{j/,v'+i(^jQa,i(7)Ôo,p-4-i(jK)-

Cela posé, soient a, 6, c, d des entiers tels, que ad — bc == A*, k étant essentiellement diff'érent de zéro et positif, faisons

il = — >

a -h ôtii

m = a fjL -h è V H- ab, n = c [JL -h <iv -H c<i.

on aura les relations fondamentales

n(^-h-ï) =(i)mn(;r),

qui servent à exprimer n(j:), quels que soient [jl et v, au moyen des quatre fonctions analogues à G, mais relatives au module Q, et que nous représenterons par

A cet elTet, je désigne par T/ une fonction homogène du degré i des carrés de deux des fonctions 6; cela étant, on aura pour k impair cette expression très simple

II(^)-©m,n(^)T^-^-

Laissant ici de côté la détermination de ces fonctions désignées

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par T^i, je vais seulement, dans le cas de A" = i , où T est une

simple constante, en donner la valeur, qui exige une analyse assez délicate.

Supposons le nombre b positif, comme on le peut toujours, car, s'il en était autrement on chercherait la formule de transformation relative au système des nombres — a, — 6, — c, — d^ ainsi qu'on y est autorisé par la nature de la condition ad — ^c == i , qui n'est pas altérée par ce changement et, cette formule trouvée, on en déduirait immédiatement celle qu'il s'agissait primitivement d'obtenir, la constante T restant la même ou changeant seulement de signe, comme il est aisé de le reconnaître par le changement dont nous parlons. Cela étant, on aura

8 étant une racine huitième de l'unité dont voici la détermination :

^ — - ÏTZ (ac \L^-h2bc (i.V -^-bdy^-hlabc [X4- 2nbdy-\-ab^ c]

et le signe du radical carré y/ — ib(a -i- btù) étant pris de manière que la partie réelle de ce radical soit positive ( *).

Des cas particuliers de cette relation ont été déjà donnés par Jacobi dans un Mémoire sur l'équation différentielle à laquelle satisfont les séries

l±: iq -+- 2q^±:'J.q^-\-. . ., l\/q -i- l \/q^ -h l \/q^^ -+-...

(Journal de CreUe, t. 34, et Journal de Liouville, traduction de M. Puiseux). Mais l'illustre auteur, laissant de côté la détermination de S, se borne à annoncer que le signe de la constante

dépend de la quantité désignée parle symbole ( t ) dans la théorie

(^) Pour 6 = o, la formule de transformation se réduit à l'équation suivante : a étant un nombre entier arbitraire, m étant égal à [x et n à a( fx -h i) + v.

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des résidus quadratiques. Ce fait si remarquable résulte, en effet, des propriétés de la série

qui se trouve comme facteur dans la valeur de T. Soit d'abord

b = 2^(3, P étant impair, on aura

si a est impair, et

lorsque a est pair.

En second lieu, supposons b impair; alors on pourra déterminer deux nombres entiers m et n par l'équation

a = mb — 8n, et l'on aura

miTi:

Ces résultats {^) se déduisent des formules données par Gauss dans le célèbre Mémoire intitulé : Summatio serierum quarumdam singularium; seulement j'ai fait usage, pour éviter autant que possible une énumération de cas, de la forme sous laquelle elles ont été présentées par M. Lebesgue dans un Mémoire

(1) Peut-être n'est-il pas inutile d'observer que l'imaginaire i, qui figure dans la série a ou dans l'expression de celte série par les symboles de la théorie des résidus quadratiques, est absolument la même quantité qui entre dans la définition des fonctions 6 par l'équation ( A.). Je ferai enfin remarquer que a se présente toujours, comme le produit de v^ô, par une racine huitième de Funité; de sorte qu'en résumé la constante T a cette valeur

sja -h biù

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intitulé : Sur le symbole ( t ) ^^ ^^^^ quelques-unes de ses applications. Je remarque enfin que l'introduction des nombres [i. et v d'une part, ÎU et U de l'autre, permet de résumer dans une seule équation, Savoir :

n(^) = 6jj„v[(aH-èw):r, i^\ei'^bKa^f'i^)x^^ T0,^i^„(^,

a-^ bt

ce que Jacobi nomme la théorie des formes en nombre infini des fonctions 9, théorie sur laquelle il avait annoncé un travail important que la mort l'a empêché de publier.

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