PREMIERE PARTIE

L'analyse que j'ai exposée précédemment dans le Journal de C relie donne sous la forme suivante, au moyen de trois indéterminées)^, UL, V, l'expression de toutes les substitutions qui changent en elle-même une forme quadratique ternaire. Posons, en conservant les mêmes notations,

r o t ^ 7 0 j i' 7 11 fa, a', a"

f — ax'^ -\- a y^ -i- a z^- -h 2 byz -\- ib xz -\' -i b" xy — [ , , , „

A = ah"^ -h n b'"^ 4- d' b"^- — 'ibb' b'^ — aa' a\

et représentons la forme adjointe par

/ b'^ — a a", b'- — aa'\ b'"^ — aa'\ ^"" \ab — b'b\ ab'—bb\ a"b"—bb')'

Nous aurons souvent besoin d'employer la valeur de g lorsqu'on

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THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 2o3

met A, a, v pour la première, la deuxième et la troisième indéterminée ; nous la désignerons par y, de sorte que

et nous posons enfin

n = XX + [xY-HvZ.

Cela étant, on aura identiquement

/(^,r,-)=/(X, Y, Z), en prenant

(r-,)..= (. + T)XH-,|-v^-5n,

dZ d\x ' ^ ^X ch

On peut le démontrer directement de la manière suivante :

Déduisons en premier lieu des formules (i) les valeurs des trois

fonctions linéaires -7-^ ^■> -t-\ on trouvera sans peine dx dy dz ^

<-'>i='-v,I*.(v*-z:|)-4Un,

et nous allons en conclure l'identité

<'-'.M's-rf-.40 = <.-v)-(xS

dî d\

■zr^;),

dZj

Multipliant à cet effet, membre à membre, les deux premières équations de (i) et (2)^ nous disposerons de la manière suivante les divers termes du produit

df [ df df

dix/ ' ^^ ' ^'dxy^dz d\

dX I \ d'i d[x

.4X5JiAn.-4(.H-,)iXxn o^,)5gn,

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et nous concevons qu'on ait opéré de même pour les produits

(i--iy-z

Or, en ajoutant membre à membre les équations ainsi formées, on va voir se présenter diverses sommes partielles de termes dont l'évaluation est très facile. Considérons d'abord le premier terme mis en évidence dans (i — y^x -~y savoir :