ST == TS

Au contraire, dans la théorie des formes ternaires indéfinies, une pareille relation n'existe qu'autant que S et T sont les puissances d'une même substitution, auquel cas la relation proposée se vérifie d'elle-même. Nous rappellerons encore que la connaissance d'une transformation semblable d'une forme quadratique ternaire ne définit pas complètement cette forme, de sorte qu'une substitution donnée change en elles-mêmes une infinité de formes ternaires distinctes. Parle théorème suivant on verra, au contraire, comment une forme décomposable en facteurs linéaires est connue, à un facteur près, lorsqu'on donne une de ces transformations en elle-même.

Désignons cette substitution par S, et concevons qu'on forme S^, 2^, . . ., 2^ en représentant par cette notation la même substitution, prise 2, 3, . . ., i fois de suite, et, pour fixer les idées, supposons la substitution S donnée par les formules ^==aX-t-a'Y-f-...-4- a^^-^^ U ,

u= AX-f-Â' Y -[-...-+

et la substitution 2^ par les suivantes

Xi — aiX -+- a'ïY -^- . . . yi= bi\-v- b'iY ^. ..-

kin-DU

En formant le déterminant du système

^n—\ yn—\ • • • U,i—i

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on aura, à un facteur numérique près, la forme en X, Y, . . ., U, décomposable en facteurs linéaires, et que la susbtitution S change en elle-même. Je me réserve de démontrer prochainement ces théorèmes, sur la forme décomposable en facteurs. Le dernier exige qu'aucune puissance de la substitution S ne puisse donner la substitution identique

Ces exemples de la grande différence que l'on doit établir entre la théorie des formes quadratiques et celle des formes décomposables en facteurs, au point de vue de la recherche des substitutions semblables, ajoutent encore, ce me semble, à l'intérêt de la question difficile que nous avons abordée pour le cas des formes ternaires. En se bornant d'abord en quelque sorte au point de vue algébrique, on est conduit à plusieurs théorèmes qui nous ont paru dignes d'intérêt, et que nous exposerons avec détail. Nous donnerons ensuite un nouveau développement aux considérations arithmétiques déjà présentées dans notre premier article.