TT

idem

TT/i

idem

dans l'hjpothèse admise, tU/^ sera l'unité. Prenons ensuite les nombres

entiers

d'après les conditions

a^ — boL =711,

c'y CTUi = 7r2,

/'X — liz^i^i =1 7r,Y = r.

On satisfera à la question proposée par les valeurs suivantes :

QL^i) = ami -4- M,- — 5

p(^-) = hmt -h M/

yU-) :=: c^^. | ]\T^. L,

l^i^:=dpi-^ Vi-,

XU-) z^ /^,. + T, - ,

les quantités

M,-, N,-, P,, .... S,dépendant des nombres entiers

m,-, m^ Pi, . . . , 5/, ti

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par les équations

N,- = dpi H- P/ — ,

et toutes les solutions possibles s'obtiendront en prenant toutes les valeurs des n? quantités

rrii, Ui, Pi, ..., Si, ti,

pour lesquelles le déterminant

mi,

. -, rin,

■ • 1 Pn,

., Sn,

. . , tn,

égale plus ou moins un.

Ainsi, par exemple, lorsque /i = 2, s'il s'agit de rendre égal à l'unité le déterminant

a, Cf.', à" \

ce qui donne

rj^ == ain^ -f- Ml ^ — 5 S' = ^^i-i- Ml -'-j

TTi

y' = c^i -4- Ni Y,

Ml = c'/li-f-NiTTi,

a = a/72i H ^1 H- Ni a,

8'==^>/ni-4- 1^-- /ii^Nip,

TTi

y' ^ c/ii -i- Niy;

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on trouvera ensuite semblablement

oc c' ol" = ani'} H no -h N^a,

8"= bnu-^ ^ n2 + N2?,

i' = cn^ +N2Y,

et l'on devra prendre pour m,, n^^ mo, n^ indéfiniment Lotis les nombres entiers pour lesquels

Si /i = 3, la solution générale de l'équation

0, ô , 0 , 0 y sera de même comprise dans les formules

a — ami H /2i H 0,-1- ri a,

■^ TTi 712

Y = c/ni -4- ^/>i -+- ï iT'

S' =m dpi -^ Pio;

a == am.y n n.> H /?■> -f- P.7 a,

TTi 712

S" = bm, -f- ^ ^., -f- M ^, | p, p,

^"=dp, +P20,

TTi 712 ^

TCi 7:2

^'"=dp, -4-P3Ô.

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Voici maintenant l'analyse qui nous a conduit à ces résultats : Soient, pour abréger, A le déterminant des quantités

B celui du système

dont la loi est facile à saisir, et où les quantités \ sont définies par les équations

De la composition des systèmes (A) et (B) résultera le nouveau système I, o, o, ..., o, .. , o,

En appelant G son déterminant, ou, ce qui revient au même, celui des n^ quantités

on aura, par un théorème connu,

G = AIJ.

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Or on trouve facilement, au signe près,

donc on peut remplacer la condition proposée, savoir

par la suivante

dont nous allons nous occuper.

Exposons d'abord une transformation des termes du système (C) ; j'observe, à cet effet, que tt^ désignant le plus grand commun diviseur de a et p, on aura nécessairement

d'où l'on tire

a^^'^ = ami -\- Mt — ,

les nombres entiers m/ et M/ restant entièrement arbitraires, et a et b étant déterminés par l'équation

Au moyen de cette valeur de P^^^, on trouve

Or, iz., désignant le plus grand commun diviseur de tz^ et y, on aura nécessairement

d'où

M,- =^ c'rii-^'^i ^,

fi) = crii -f- N,- -i ,

les nombres entiers ni et N/ étant quelconques, c et c' dépendant de l'équation

c'y — ClZi — IZi.

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La répétition du même calcul nous conduira de l'expression précédente de Y^^ à celle de S^'^ ; il vient, en effet,

et posant encore

71..} étant le plus grand commun diviseur de tio et S, on en conclura

^^i^ = dpi -\-Vi—,

d et d^ étant donnés par l'équation

d' 0 r/TUo = 713 •

La loi que suivent ces opérations est maintenant évidente, et l'on en conclura, d'une part,

yii)^ — o(^')y = com -f- -— Pi,

y.(/)X — lii'y. ^ kl Si 4- -''^'- ti, ^n—l

OÙ il est essentiel d'observer que m/, /z/, . . ., 5/, ^/ restent jusqu'à présent des entiers entièrement arbitraires. D'un autre côté, nous obtenons d'ailleurs

SU-) ^ bnii ^ Ui -^-

yU-^ = cm -f- N,- -'- ,

7^2 OU^ := dpt + P,- — ,

x(/) = ksi + s,- ---

X(^-) = Iti -h T,-

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'l-JI

et les entiers M/, N/, P/, . . . s'expriment de proche en proche, uniquement par mi^ rti^ pi^ . . . au moyen de ces autres équations

M/ := c' iii 4-N,-

TTi

l'ti -i-T,

TT/z - 1

lesquelles ne laissent d'indéterminé que T/.

Ces résultats obtenus, reportons-nous maintenant au système (C), qui a été transformé dans le suivant, savoir :

niiizi,

nioTZi^

niiTZi,

371, , 3:T2 , pTT.

h-fiRi-^ ^-^ n^, ùyni,-h - — no, ..., b-(îni-\ m,

/iA<»i -4- ^1, A: A 5, H to

^y^Si

TT/i-l

c 0 Al/ -^ -! /?/, . . . , c 0 n , -4- ^— i>

-ti. ..., k\.

On reconnaît bien facilement qu'un pareil système provient de \à composition des deux autres, que voici :

■ , fn/,

/Il,

ii^,

fin

Pi. ■

■ ', Pi;

fin

ti.

Stto o, — -

co, o.

o, ..., Al

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donc son déterminant, et par suite celui du système (C), sont le produit des déterminants de ces deux systèmes.

Or le déterminant du système (2) se réduit à son terme principal

ou simplement

puisque tt,/ est l'unité; la condition proposée

sera donc remplie en prenant égal à l'unité en valeur absolue le déterminant des n- nombres entiers du système (i), ce qui est la conclusion que nous avions annoncée, et qu'il s'agissait d'obtenir.

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