H- = X2 -+- AY

Soit, pour une valeur entière quelconque de [jl, a^^, une valeur de y/ — A (mod p^) : l'expression

^ocpV^—yy.^Y^Ky'^'

représentera toujours des nombres entiers divisibles par /?^, et je dis en premier lieu qu'on pourra toujours déterminer x el y de telle manière qu'on ait

pV-

En effet, il suffira de développer en fraction continue -^ -, jusqu'à

ce qu'on arrive à une réduite telle que, son dénominateur étant

moindre que ^7=' cette limite soit atteinte ou surpassée parle dé-

nominateur de la réduite suivante. Les valeurs àe x el y seront respectivement le numérateur et le dénominateur de cette réduite. Gela posé, on voit que, par une infinité de valeurs de [jl, on aura la

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PROPOSITION RELATIVE AUX DIVISEURS DE x'^-^Xy'^. 273

représentation d'un même multiple de p^ par la forme x- + Ay^. Ainsi, en nommant /rie multiplicateur, on trouvera nécessairement deux équations

kpV' = X- -^ AjK^,

dans lesquelles x — ^ et jr — y' seront à la fois divisibles par k. Sous cette condition il vient, en multipliant membre à membre les deux équations précédentes,

k'^pV-^?' = {xx'^ Aj/')" + A.(xy' — yx' )^.

Or xy — yx' est divisible par A", puisqu'on a

x^x', y^y' (mod/c);

donc il en est de même de xx' -{- Ajr/', et, finalement, la puissance ui + jjL^ de p se trouve bien représentée par la forme x- -f- Ay-.

Il est facile de voir qu'une démonstration toute semblable s'applique au cas de A négatif; on a, au reste, un théorème plus général et dont voici l'énoncé :

p étant un dwiseur de la norme d^un nombre complexe quelconque, formé a^ec les racines m^^^"-^^ de V unité, on pourra toujours déterminer une puissance entière de p qui soit représentée précisément par cette norme.

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