XVIII PUE F A CE

quablement simple : on est conduit à un algoritiinie périodique entièrement analogue à celui des fractions continues dans leur application aux irrationnelles du second degré. Ainsi, en envisageant une équation du troisième degré à coefficients entiers ayant une racine réelle a et deux racines imaginaires [î et y, on est conduit, d'après ce point de vue, à réduire pour toutes les valeurs positives de la quantité A la forme ternaire

et dans cette réduction continuelle se manifeste une périodicité caractéristique des irrationnelles du troisième degré. Il serait intéressant de comparer les vues générales d'Hermite sur les irrationnelles avec les résultats donnés récemment par M. Minkovs^ski où la considération de certaines chaînes de substitutions permet de donner des critériums nécessaires et suffisants pour qu'un nombre soit algébrique.

La théorie arithmétique des formes binaires rentre évidemment dans le même ordre d'idées que celle des irrationnelles algébriques. Hermite lui a consacré plusieurs Mémoires et a étudié particulièrement le cas des formes de degré impair et le cas des formes quadratiques. Mais, tandis que pour les formes quadratiques les préliminaires algébriques de la théorie arithmétique des formes sont immédiats, il n^en est plus de même quand on s'élève aux formes de degré quelconque ; la partie algébrique de la théorie prend alors un développement inattendu et présente un intérêt considérable. C'est ce

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PREFACE

qui amena Hermite à s'occuper de divers problèmes d'Algèbre et particulièrement de la théorie des formes binaires où il allait obtenir de magnifiques résultats en même temps que ses émules Cayley et Sylvester.

Les théorèmes de Sturm et de Cauchy sur le nombre des racines des équations satisfaisant à certaines conditions avaient vivement frappé les géomètres. Sur ce sujet on doit à Hermite quelques résultats qui resteront classiques. En partant de la remarque relative à la décomposition des formes quadratiques en somme de carrés, que Sylvester, qui Fa trouvée en même temps, nomme la loi d'^incriie et que Jacobi avait aussi rencontrée, Hermite considère d'abord une équation à coefficients réels, et construit une forme quadratique associée à l'équation renfermant une arbitraire réelle t. Quand cette forme est réduite à une somme de carrés, le nombre des carrés négatifs est égal au nombre des couples de racines imaginaires de l'équation augmenté du nombre des racines réelles inférieures à /. Un cas particulier dont la démonstration est immédiate se formule ainsi : dans la forme quadratique à n variables

OÙ la somme est étendue aux n racines a de l'équation, le nombre des carrés négatifs est égal au nombre des couples de racines imaginaires. Poussant la question plus loin, Hermite considère une équation à coefficients complexes; il associe alors à l'équation une forme quadratique à indéterminées conjuguées, et, quand celle-ci, par une transformation élémentaire, a été débarrassée de ses termes rectangles, le nombre des coefficients positifs est égal au nombre des racines dont le coefficient de \l — i est positif. Le théorème de

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XX PRÉFACE

Sturm, le théorème de Gaucliy relatif au nombre des racines d'une équation contenue dans un contour et donnant par un calcul algébrique ce nombre de racines quand le coutour est formé d'une courbe unicursale, se déduisent des résultats précédents, et sont ainsi établis, comme le remarque Hermite, sans faire intervenir aucune considération de continuité.

Les travaux d'Hermite relatifs à la théorie algébrique des formes binaires sont d'une rare perfection; la simplicité des méthodes et l'élégance des résultats en font de véritables œuvres d'art. La théorie des invariants devait son origine à un Mémoire de Boole, mais le vrai fondateur en fut Cayley qui sut créer toute une nouvelle branche de l'Algèbre. Sylvester vint ensuite et apporta un grand nombre de résultats nouveaux, parmi lesquels la découverte des premiers covariants. L'idée des invariants n'était pas neuve pour Hermite; une notion générale sur les invariants s'était offerte jadis à lui, amenée par une considération purement arithmétique. Il entre dans la lice, et Sylvester pouvait dire plus tard : <( Nous formions alors, Cayley, Hermite et moi, une trinité invariantive. » Un calcul symbolique extrêmement ingénieux permet à Hermite de montrer qu'à tout covariant d'une forme de degré m, et qui par rapport aux coefficients de cette forme est du degré p, correspond un covariant du degré m par rapport aux coefficients d'une forme de degré p. Les deux covariants sont d'ailleurs du même degré par rapport aux indéterminées : c'est la célèbre loi de réciprocité d'Hermite. Ses applications sont innombrables. Pour citer un exemple relatif aux invariants, la forme quadratique ayant comme invariant de degré 2[jt. la puissance [m de son discriminant, il résulte de la loi de réciprocité que toutes les

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