PREFACE. XXI

formes de degré pair ont un invariant du second degré. La loi est surtout intéressante pour les covariants. Hermite démontre que toutes les formes binaires, sauf les formes biquadratiques, ont un covariant quadratique. L'importance de ces covariants quadratiques est capitale; on en déduit la notion de substitution canonique, celle-ci étant une substitution ramenant le covariant quadratique à la forme xy. Au moyen de cette substitution, des invariants et des covariants d'une forme, qu'il eût été presque impossible d'obtenir jamais en fonction explicite des coefficients de cette forme, prennent une forme simple. Grâce à cette théorie, Hermite découvre l'invariant du dix-huitième degré des formes du cinquième degré; c'était le premier exemple d'un invariant gauche, c'est-à-dire se reproduisant multiplié par une puissance impaire du déterminant de la substitution. Nous devons noter particulièrement la découverte des covariants linéaires pour les formes de degré impair à partir du cinquième degré; elle a conduit Hermite^ au moyen d'un changement de variables effectué à l'aide de deux covariants linéaires, aux formestypes dont les coefficients sont tous des invariants de la forme initiale. Une application extrêmement intéressante de ces théorèmes généraux concerne les formes du cinquième degré. Ces formes possèdent quatre invariants fondamentaux, en fonctions entières desquels s'expriment tous les autres invariants ; les trois premiers avaient été découverts par Sylvester, et le quatrième est l'invariant gauche dont j'ai parlé plus haut. Les coefficients de la forme-type du cinquième degré s'expriment rationnellement à l'aide de ces invariants ; Hermite en déduit qu'on peut amener toute équation du cinquième degré à ne dépendre que de deux paramètres qui sont des invariants absolus, et la discussion complète de la nature.

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réelle ou imaginaire, des racines de l'équation générale du cinquième degré se fait de la manière la plus élégante.

La lecture de ces beaux Mémoires laisse une impression de simplicité et de force; aucun mathématicien du xix® siècle n'eut, plus qu'Hermite, le secret de ces transformations algébriques profondes et cachées qui, une fois trouvées, paraissent d'ailleurs si simples. C'est à un tel art du calcul algébrique que pensait sans doute Lagrange, quand il disait à Lavoisier que la Chimie deviendrait un jour facile comme l'Algèbre.

Nous avons dit que l'objet primitif d'Hermite dans ses Etudes sur les formes binaires avait été arithmétique. Il voulait en particulier approfondir cette proposition, que les formes à coefficients entiers et en nombre infini, qui ont les mêmes invariants, ne forment qu'un nombre limité de classes distinctes. Il a développé surtout ses recherches pour les formes cubiques et les formes biquadratiques, mais il a indiqué sur les formes de degré impair quelconque un théorème bien inattendu, qui se déduit de la considération des formestypes : toutes les formes binaires de degré impair ("à partir du cinquième) à coefficients entiers ne forment qu'un seul genre, au sens d'Eisenstein, c'est-à-dire sont transformables les unes dans les autres par des substitutions linéaires de déterminant un à coefficients entiers ou fractionnaires. Que de problèmes restent ouverts dans cette vaste théorie des formes ! quelles seront les transcendantes numériques permettant d'exprimer le nombre des classes en fonctions des invariants? c'est le secret de l'avenir.

Détourné par de nouvelles études, Hermite ne devait plus revenir qu'incidemment sur ses premières recherches arithmétiques; je l'ai entendu plusieurs fois regretter de ne pas

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PREFACE-

avoir approfondi davantage certaines parties des Mémoires dont je viens d'essayer de donner une idée. Gauss eut sans doute de tels regrets en relisant vers la fin de sa vie ses Disquisitiones arithmeticœ. Une grande œuvre scientifique n'est jamais achevée. Les méthodes générales introduites par Hermite ont ouvert à la théorie des nombres des horizons entièrement nouveaux qui ne sont pas encore complètement explorés. Tous ceux qui, depuis lui, se sont occupés de la théorie des formes ont profondément subi son influence; il suffira de citer le beau Mémoire de Camille Jordan sur l'équivalence des formes, et de rappeler que le merveilleux principe de la réduction continuelle s'adapte même à des recherches toutes modernes sur la théorie de certaines fonctions uniformes.

Hermite, dans la première partie de sa carrière, que je viens de retracer, c'est-à-dire jusque vers i855, fut en relations suivies, d'abord avec Jacobi et ensuite avec Dirichlet, qui était peut-être à cette époque le plus apte à le comprendre; il avait, à ses débuts, trouvé auprès de ces grands géomètres le meilleur accueil et en avait gardé un fidèle souvenir. Il écrivait encore quelques semaines avant sa mort qu'il avait toujours été et qu'il serait jusqu'à son dernier jour un disciple de Gauss, de Jacobi et de Dirichlet. Les affinités entre esprits de premier ordre sont toujours intéressantes et utiles à suivre; le témoignage d'Hermilc à ce sujet est précieux, et l'étude de la plus grande partie de son œuvre le confirme bien, Cauchy, qu'il a cependant beaucoup connu, n'a pas exercé sur lui, au moins à ses débuts, la même influence scientifique.

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La théorie des fonctions abéliennes n'avait jamais cessé de préoccuper Hermite depuis l'époque où il était élève à l'Ecole Polytechnique. Il voulut étendre à ces fonctions le problème de la transformation qu'avaient traité avec tant d'éclat Abel et Jacobi dans le cas des fonctions elliptiques; son Mémoire de i855 sur la transformation des fonctions abéliennes est une de ses plus belles œuvres. Etant données les deux équations diflérentielles qui, pour un radical portant sur un polynome d'ailleurs arbitraire du cinquième ou du sixième degré, définissent les fonctions abéliennes, Hermite considère simultanément les quinze fonctions uniformes quadruplement périodiques iatroduites par Gopel et Rosenhain, et qui sont les analogues de snx*, cn^ et dn^. Le problème de la transformation est alors ainsi posé : Pour un polynôme donné, déterminer un nouveau polynôme tel qu'en formant deux combinaisons linéaires convenables des équations différentielles relatives à ce polynôme, les quinze fonctions abéliennes correspondantes s'expriment rationnellement à l'aide des quinze premières. Pour la solution de ce problème algébrique, Hermite se place au point de vue transcendant, et cherche d'abord à étendre aux fonctions 0 de deux variables l'analyse indiquée jadis dans sa seconde lettre à Jacobi pour les fonctions 0 d'une variable. Mais des difficultés d'une nature arithmétique, que n'avait pas connues la théorie des fonctions elliptiques, se présentent dans le nouveau problème. Les périodes des anciennes fonctions doivent être des sommes de multiples des périodes des nouvelles. Or il existe une relation bilinéaire bien connue entre ces périodes; les nombres