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et il est facile de reconnaître a posteriori que ces expressions de X et ^ en ^ donnent bien
(5) /(Xi, X2, . . .) =f(Xi, X2r . . .)•
Reprenant en effet l'équation (i) et l'équation (2), on verra par
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29'i lœUVRES DE CHARLES HERMITE.
l'équation (3), équation satisfaite d'elle-même, qu'on retombe précisément sur l'équation (5) qui était à vérifier. Donc enfin, les expressions cherchées de X en x^ qui donnent la transformation en elle-même d'une forme quelconque, s'obtiendront en résolvant par rapport aux quantités \ les équations (4)? et substituant les valeurs en x^ qu'on aura trouvées de la sorte, dans les formules
Considérons pour l'application les formes binaires
f =z ax'*- -f- 1 hxy -f- q/'^,
où nous mettons ^ et y au lieu de x^ et ^sî nous aurons successivement
et
X =z ^-f-X(^^-f-cr]) =^(n-X6)-f-Xc7),
d'où, en résolvant,
Soit, pour abréger, on trouvera
j (i — \b) X — 'kcy
\ax ■^{i-\-\b)y
2 X «a? + ( n- 2 X 6 + X2 D )jK
Y = -^^-/= mFD-
Or ces formules, en posant
^ i-hX^D
ce qui donne deviendront
^2__DW2 = I,
X = a7(^ — bu) — cuy^
Y ==:xau-h{t -hbu)y
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REMARQUES SUR UN MÉMOIRE DE M. CAYLEY. sgS
C'est la forme analytique obtenue par M. Gauss pour la question arithmétique où l'on veut que les coefficients de la substitution soient des nombres entiers.
Enfin, si l'on fait l'application de la même méthode à une forme quadratique d'un nombre quelconque d'indéterminées dans le cas où elle est une somme de carrés, on trouvera immédiatement les résultats que M. Cajlej a obtenus dans son beau Mémoire, et je m'empresse de dire que je dois à l'étude de ce Mémoire l'analyse que je viens d'indiquer en peu de mots. J'ajouterai cependant encore les théorèmes suivants, qui servent de lemmes à une recherche arithmétique importante.
I. Ayant ramené à une somme de carrés de fonctions linéaires une forme quadratique quelconque, de sorte qit on
ait, par exemple,
si V on désigne par 51, B, C, ... ce que deviennent respective* ment A, B, G, ... lorsqu^on fait dans f une substitution quelconque qui la change en elle-même, on aura évidemment
% = a A-hP B-t-Y G-}-..,,
|3-a'A+p'B-f-Y'G-f-..., €= a" A H- !â"B-f-Y"GH-...,
les quantités ol^ P? y? • • • étant des constantes convenablemen t choisies. Cela posé, à une substitution qui change f en ellemême on pourra toujours faire correspondre une telle représentation de f par la forme
que r expression
A:SV-f-B|3-hGC-^...
ne contienne aucun des rectangles AB, AG, ....
Pour donner une application de ce théorème, nous allons considérer le cas des formules quadratiques ternaires
/= A2-hB2-h G2.
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Alors des constantes a, P, y, . . ., devant être telles que
auront, d'après M. Gajlej, les valeurs suivantes :
/:a = IH- X2 — jjl2 — v2, ko:'= 2(Xfx~ v), ka" = 2(Xv-l- fji),
/:Y = 2(vX — |jl) /:y'= 2(v(J.-i- X), â:y" = i — X2 — jjl2 -}- v^,
OÙ
/: = i-hX2-H jjl2+v2,
et, à toute substitution S qui change f en elle-même, on pourra toujours faire correspondre un système de fonctions linéaires A, B, G, jouissant de la propriété qu'en devenant respectivement J?l, î>, C lorsqu'on effectue la substitution S, on aura les relations
P''-hy'=o.
De la se tire la conclusion que deux des quantités A, [ji, v sont nulles. On peut donc faire, par exemple,
OU bien
13 =: Bcos6-hGsin6, € = — B sine-f-Gcos8.
De là ces théorèmes :
