PREMIERE PARTIE

Mes premières recherches sur la théorie des formes à deux indéterminées ont eu pour objet la démonstration de cette proposition arithmétique élémentaire, que les formes à coefficients entiers et en nombre infini, qui ont les mêmes invariants, ne donnent qu\in nombre essentiellement limité de classes distinctes.

Une notion générale sur les invariants s'est offerte dans ces recherches, amenée par une considération purement arithmétique, la réduction des simples formes quadratiques définies, et l'application très facile que j'ai pu faire pour les formes cubiques et biquadratiques , m'a donné leurs invariants obtenus déjà par M. Cayley, en suivant une tout autre voie. Mais, à partir du cinquième degré, l'application de cette méthode devenait si pénible que j'ai dû renoncer à l'espoir d'en tirer explicitement les expressions de leurs invariants, et, à plus forte raison, celle des invariants des formes des degrés plus élevés. Ramené dernièrement à ces questions, j'ai été conduit à les envisager sous un point de vue nouveau, et j'ai pu enfin aborder les formes du cinquième degré, qui n'avaient pu être traitées par ma première méthode. Les circonstances singulières que j'ai rencontrées dans cette recherche me semblent ajouter encore à l'intérêt de la grande théorie que MM. Cajlej et Sjlvester ont déjà enrichie de tant de découvertes.

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FONCTIONS HOMOGENES A DEUX INDETERMINEES. 297

Mais j'ai eu surtout en vue la théorie arithmétique, dont j'ai ainsi trouvé les véritables éléments, comme l'on verra par la suite de mes recherches : dès à présent, néanmoins, on pourra reconnaître que la théorie des formes binaires, dans toute sa généralité, est étroitement liée à la composition des classes quadratiques , résultat singulier et qui ouvrira de nouvelles perspectives dans l'étude des propriétés les plus cachées des nombres. La loi de réciprocité dont M. Sjlvester a bien voulu déjà annoncer la découverte étant le point de départ de mon analyse, je dirai d'abord en peu de mots en quoi elle consiste.