SECTION I

Loi de réciprocité.

Elle est contenue dans le théorème :

A tout covariant d*une forme de degré m, et qui par rapport aux coejfficients de cette form^e est du degré p^ correspond un covariant du degré m par rapport aux coefficients d^ une forme du degré p.

Soient

f{^,y) = a{x -f- (xy) {x-\- a'/). . .{a; -h y.^nt-\)y^ — a. norme {x -^ ocy),

une forme du degré m décomposée en facteurs linéaires, et '^{x^ y) un covariant de cette forme du degré p quant aux coefficients, el d'un degré quelconque en x el y.

Si nous faisons

F =z aP.norme(X-HaY-f-a2Z4-. . .-i-a/^T),

les coefficients de F seront des fonctions entières de degré p des coefficients de/, et l'on démontrera facilement ces deux lemmes :

i"* Toute fonction entière et du degré p des coefficients de f s'exprime linéairement par ceux de la forme F.

2^ Les coefficients de F ne sauraient être liés par aucune relation du premier degré dont les coefficients seraient numériques, c^ est-à-dire indépendants des coefficients de f. D'où

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résulte qu^ une Jonction du degré p de ces coefficients n^ est absolument susceptible que dhtne seule expression linéaire par ceux de F.

Cela étant, voici comment du covariant '>p(.^, y) qui se rapporte

à la forme y* du degré m, se déduit un covariant se rapportant à

une forme du degré /?.

Soit

m>jn — I ^ ^

de sorte que les constantes a^b^ c^ ... soient ce que nous avons appelé les coefficients de f\ nous leur donnerons une désignation plus expressive, en les représentant de cette manière

a =. ««), b = «^-^ro), c =: «-^r§ ). • • • ;

ainsi l'expression de/(^,jK) deviendra, par la suppression des parenthèses, la puissance

ixx^^yyç^y^K Faisons de même

F = aP. norme (X -l- a Y -h a^ Z h-. . .-1- a/>T ) = (XKo 4- Y Yo -h. . .-h TTo)^'S

en convenant, après le développement de la puissance, d'écrire, par exemple,

(X-)X- (X--iYo)X— lY, ...,

respectivement, au lieu de

X'"X'« X'"-i YaX'"-! Y

ce qui sera une désignation commode des coefficients de F. Cela posé, d'après le premier des lemmes ci-dessus, on pourra, et d'une manière seulement, exprimer linéairement les coefficients du covariant f (^5 JK) par les quantités

(X-), (Xr^Yo), ...; or il se présente cette conséquence remarquable Ayant exprimé o(Xy y) par les quantités

xy^), (X--»Yo), ...

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concevons que Von supprime les parenthèses, on arrivera par là à une fonction du m^^^^ degré par rapport aux quantités

Or cette fonction sera un covariant de la forme suivante, de degré p,

XqxP -\-p\QXi>-'^y -

Zo:rP-2j2.

■T.yP.

Rien d'ailleurs ne vient ici changer le degré des indéterminées X ety dans cette métamorphose que subit la fonction ^(x^ y) ; ainsi ce sont des covariants de même degré par rapport aux indéterminées qui se trouvent liés l'un à l'autre par la loi de réciprocité. Mais il j a une seconde manière de passer ainsi d'un covariant se rapportant à une forme d'un certain degré, à un covariant se rapportant à une forme d'un autre degré. L'analyse précédente conduit en eflPetj et très aisément, à ce second théorème :

Etant donné un covariant quelconque du m^^^^ degré par rapport aux coefficients de la forme

Xç^xP -\- pYç.xP-'^y -^ ^-^ ^ Zo^/>-2j^2.

To7^

si Von transforme en symboles, dans V expression de ce covariant, les quantités

Yffi Y'«— 1 Y

^0 5 ^0 ïo, • . -,

en les remplaçant respectivement par

(X-), (X--^Yo), ...

coefficients de la forme F, ce covariant se transformera en un autre se rapportant à la forme f(x,y)^ et du degré p relativement aux coefficients de cette forme.