SECTION III

L'équation générale du cinquième degré est ramenée à ne dépendre que de deux paramètres.

Ce résultat suit immédiatement de l'expression de la forme-type que nous venons d'obtenir. Qu'on fasse, en effet,

et l'on pourra écrire

5I07 ^05 • • •? désignant respectivement ce que deviennent les numérateurs dans ^, JB, ..., quand on y remplace A, J2, J3 par i, K, K^ Nommons de même Iq ce que devient alors l'invariant I, il est clair qu'il suffît de mettre riloy/A, au lieu de yi, pour ramener l'équation <[> = o à contenir seulement les deux paramètres K et R'. Et s'il arrive que A soit une quantité négative, la réduction sera aussi bien obtenue en remplaçant v] par yiIq y/ — ^ ? c'est la seule quantité irrationnelle qui figure dans la substitution, et il est aisé de voir que l'irrationnelle lo \/à. disparaîtra dans l'équation transformée, de sorte que K et R^ entreront rationnellement dans le résultat. L'équation à laquelle nous mène ainsi la notion des formes-types n'a pas la simplicité apparente de la réduite de l'équation du cinquième degré qu'a obtenue Jerrard, mais elle met en évidence les fonctions des coefficients dont dépend essentiellement la nature des racines, et tandis que l'ingénieuse découverte du géomètre anglais est restée jusqu'ici stérile, nous allons pouvoir immédiatement tirer d'importantes conséquences de notre transformée.

Hosted by