SECTION IV

Les invariants de tous les degrés des formes du cinquième degré sont des fonctions entières des quatre invariants fondamentaux A, J2, J3 et I.

Dans la première Partie de ces recherches, j'ai obtenu pour les invariants dont le degré est ^ o ou ^ 2 (mod 4) les expressions générales

eo(J3,AJ,,A3) I9i(J3, AJ„A<^)

A{J. ASJ. '

OÙ entre en dénominateur une puissance de A; mais on peut aller plus loin et parvenir à des expressions entières par la considération de la forme-type. En effet, <ï> étant une transformée de/*, par

une substitution linéaire au déterminant -7-? comme il est aisé de

le voir, tout invariant de f s'exprime au moyen d'une fonction semblable des coefficients de <ï>, multiplié par une certaine puissance de J3. Mais ces coefficients de la forme-type sont, comme nous l'avons établi, des fonctions entières des invariants fondamentaux divisées par une puissance de J3 ; donc déjà, tout invariant de la forme proposée est une fonction entière des invariants fondamentaux, ou au moins une pareille fonction divisée par une puissance de J3. Distinguant maintenant les deux cas où le degré des invariants est ^ o ou ^2 (mod 4)? nous reconnaîtrons bien aisément que l'expression générale

où F est une fonction entière, se réduit dans le premier à la forme

Ho(A, J,, J3)

et dans le second à la forme

IHi(A, J2, J3)

Hq et H^ étant pareillement des fonctions entières. Cela suit, en

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effet, de ce que le carré et les puissances paires de l'invariant I du dix-huitième degré s'expriment en fonction entière de A, J2 et J3. Voici donc, par exemple, pour les invariants dont le degré est multiple de 4, deux expressions différentes qui doivent être égales :

eo(J3, AJ^, A3) Ho(A, J., Jg) .

AI- Jl

or les trois quantités A, J2, J3 qui j figurent n'ont entre elles aucune relation et doivent être considérées comme absolument indépendantes; l'égalité

Ho(A, J,, J3) ^ eo(J3, AJ„ A3)

entraîne donc que Hq est divisible par J3 et 0 par AH-, c'est-à-dire que les invariants en question s'expriment en fonction entière de A, J2 et J3. Quant au second cas où le degré est ^ 2 (mod 4), il se traite tout à fait de même, car il conduit à l'égalité

l&Ah, AJ,, A3) ^ IHi(A,J„ J3)

qui, après la suppression du facteur I, coïncide avec celle qu'on vient d'obtenir; ainsi donc, en général, tout invariant d'une forme du cinquième degré, dont le degré par rapport aux coefficients est ^ o (mod 4), est une fonction entière de A, J2, J3, et tout invariant dont le degré est ^ 2 est le produit d'une pareille fonction multipliée par l'invariant I du dix-huitième degré. Les expressions suivantes :

Sa.AUpf, ISa.AUp^",

OÙ les quantités a sont numériques, représentent donc tous les invariants des formes du cinquième degré, d'où l'on voit qu'il existe autant d'invariants linéairement indépendants, d'un degré donné m , qu'il j a de solutions entières et positives de l'une ou l'autre de

ces équations

On en conclut, par la loi de réciprocité, que les formes d'un degré quelconque m ont autant d'invariants du cinquième degré par rapport à leurs coefficients qu'il j a de solutions entières et

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FONCTIONS HOMOGENES A DEUX INDETERMINEES.

positives des mêmes équations. Ainsi, parmi les formes dont le degré est impairement pair, il faut aller jusqu'au dix-huitième degré pour rencontrer un invariant du cinquième ordre.