OU
tanga-=— y— |-j== Afj— A tanffj.
fjri tangente de la dévintion est donc proportionnelle à la tangente de rinclinaison; elle est du reste aussi proportionnelle au nombre de rotations effectuées en une seconde. Le rapport des déviations observées h l'aide de l'appareil en différents lieux fera donc connaître le rapport des inclinaisons. Du reste, si l'on a déterminé la constante A par des expériences préliminaires, l'appareil fera connaître langt au moyen de tanga.
THKOHIE l)[ MACi.NÉTISME TERRESTRE.
H 3 /l . A ncienne théorie du masuétisnie terrestre fondée mur l'hypothèse d*iiii aimant dont l'aiLe est un diamètre de la terre. — On doil à Eiiler le premier essai d'une théorie mathénialique du magnétisme terrestre. Cette théorie est fondée sur l'hypothèse d'un aimant terrestre. On suppose que cet aimant est dirigé suivant un diamètre de la terre qui fait avec l'axe de la terre un très -petit angle, et que ses deux pôles sont à égale distance du rentre. On peut déduire de cette hypothèse plusieurs conséquences sans le secours de l'analyse : i° Sur tous les points d'un grand cercle perpendiculaire à l'axe magnétique de l'aimant terrestre, l'inrlinaison est nulle; ce grand cercle est donc l'équateur magnétique. 9" En chaque point de la terre, l'aiguille aimantée est toujours dirigée dans le plan du grand cercle qui passe par ce point et par l'axe de l'aimant; les méridiens magnétiques sont donc des grands cercles. Quant aux lignes d'égale inclinaison, ce sont des petits cercles dont le plan est perpendiculaire à l'axe de l'aimant.
Si l'on veut aller plus loin, il faut nécessairement faire des hypothèses sur la position des pôles de l'aimant et admettre la loi de Tatlraclion en raison inverse du carré de la distance. Euler, qui ne connaissait pas cette loi, y a suppléé par des hypothèses purement gratuites que nous ne rappellerons pas. Quant à la position des pôles de l'aimant, on la suppose assez voisine de la surface de la terre, afin d'e\pli(|uer comment il se fait que, dans le voisinage du pôle nord et du pôle sud, l'aiguille aimantée prenne une position verticale. On sait en effet que, si l'on promène une aiguille aimantée près d'un aimant, l'aiguille prend une position verticale lorsqu'elle passe au-dessus du pôle de l'aimant.
335. Caleuls de Biot. — Détermination de l'anirl^ «■« to résultante maf^nétique avee l'axe maf^nétique du i^lobe.
— Cette hypothèse n'a pu se soutenir dès (pi'on a eu les éléments
THEORIK DU MAGNETISME TEBKKSTIIE. 579
ix^cuKiiaires pour Irucer les méridiens el l'équatcur magnétiques; en effet, ni les méridiens ni réi|niitcur ne se Irouvunt Ôlre des grands rerctes. Cepe&dnnt il étiiil ulile de voir jusqu'à quel point elle représentait les observalions et de chercher si i'oii n'en pourrait |ias déduire des formules euq)iriques sullisaminent exactes. (]e travail a été accompli par Biot, qui en a publié les résultais en iSo'i. IjC même IravHil avait été déjà exécuté par l'aslrononio allemand Tobie Mayer; mais il ne fut publié qu'en 1810, après la mort de cet astronome. Biot utilisa les déterminations que de Humboldt avait faites dans l'Amérique du Sud, où il avait mesuré l'ini-linaison et l'intensité du magnétisme terrestre pour un grand nombre de stations; tl y joignit les obsenalions qu'il avait eiïecluécs luimême dans diverses contrées de l'Europe, en France, en Allemagne, en Italie, en Espagne, discuta toutes ces observations, les compara à la théorie d'Euler, et cette étude eut pour résultat de changer eomplétement les idées que l'on s'était faites sur la position des pôles de l'aimant terrestre. C'est ce quo nous niions essayer de faire concevoir.
Par l'aimant terrestre et |iar le lieu de l'observation , faisons passer un grand cercle que nous prendrons pour plan de la figure. Soient 0 (fig. !i3i) le centre de la terre, xx' l'axe de raimant terrestre, A le pôle austral et B le pôle boréal de cet aimant : nous supposerons ces deux pôles situés à égale distance du centre 0 et nous poserons OA = OB = a.
Soit \I un point de la surface de la terre : cherchons l'action exercée par l'aimant terrestre sur une molécule de lluide austral placée en ce point, dont nous désignerons ''■ '^'* les coordonnées par j, y. Pre-
nons pour unité la masse magnétique de la molécule de fluide austral placée en M , et appelons /* les masses magnéti(|ues des deux pôles A et B.
L'action du pôle A sur la molécule M sera une force répulsive
ayant pour expression
L'aclion du pôle B sur M sera attractive et aura pour expression
BM- '
Soit MP la direction de ta résultante de ces deux forces. I^our calculer cette résultante et sa direction, nous allons chercher ses composantes X et Y [)arallèles aux axes Oj; et Oy.
Suivant Ox, la force répulsive émanée de A donne
,— :, cos M Aj; , AM-
et la force attractive émanée de B
~i::COsMBx.
Donc A ^ 4 , cos MAx - JL. cos MB^- = fà!±^ ^ fil£^ .
AM^ BM- AM^ BM^
On aura de même
Y ^ ^, sin M Ax - J^^ sin iMBx «.^, - ^ .
Joignons les points 0 et M, désij[nons Tangle ÎAOx par u et le rayon de la terre par r, nous aurons '
a: = r cos w, y =*= r sin u, AM' = 0L^=^à^+r' + ^nr cos u, BiM = a'* = a^4-r^—-* a or cas il,
ou hien, en posant a = hr, h étant une quantité à déterminer, a'i ^ r2( 1 + 3/1COSM + A2), a'^ = r^{\~ ah cos u + /**)•
On en déduit
Y fx /(OS a -h A cos a — li\
y (JL /sin (( sin u\
Désifjnons par jS lan^jle que fait avec Ox la résultanle MP, nous aurons
(i) tan{j/3 = ^ =
COS M -f- /l -PT
Celte formule ne peut pas servir immédiatement pour éiablir une comparaison entre les résultats de la théorie ei ceux de robservation, car elle contient l'indéterminée A. Biot a commencé par déterminer i la position de l'équateur magnétique. Comnie il ne s'agit qae d'une vérification approchée, on ne devra pas prendre pour ëquateur magnétique la ligne réelle qui est à double courbure, mais le grand cercle qui s'approche le plus de cette ligne. 11 suffit donc de eonnattre deux points del'équateur magnétique, mais, pour plus d'exactitude, on devra prendre deux points assez éloignés. Biot a choisi deux observations faites, l'une par Lapeyrouse sur la côte du Brésil, par io"57' de latitude australe et iî5"*j5' de longitude occidentale, l'autre par de Humboldt au Pérou, par 7° i' de latitude australe et 8o°4i' de longitude occidentale. A l'aide de ces deux observations, Biot a pu déterminer la position d'un grand cercle qui ne s'éloignait pas trop de l'équateur magnétique vrai.
336. Nous pouvons maintenant expliquer comment diî la formule (1) on peut déduire l'inclinaison pour le point M. Désignons
par a' la latitude magnétique du point M, nous aurons X'=r-=^ — «;
|)Our obtenir l'inclinaison, menons la (angente MH au point M, Tinclinaison 1 sera égale à l'angle HMP; quant à l'angle /S, il est égal à l'angle obtus xPM', et si Ton pose MPx = /S', on aura /3'= /S - 1 80". Cela posé, on trouve facilement
Portant cette valeur dans la formule (t), il viendra
(3) tang(X' + ;)^ ''''^'
J8i l.liÇOHS SLR \.E M AGiNKTISMK TKHHKSTltK.
et cettti runuuli' doiiiieri) riiirlinaiiioii r ijiianJ on connaîlra la latî-
lu(k> iiiugiiéli(|uc >'.
\ oyons iiiiiinluiianl coiiiiiicnl on [ictil calculer ctiltc hititiide. Soient i\E (lij[. ;i3'j) rûquiiteur terrestre, .NE' l'éiiuateur nidfrnû-
tiijue <]iie l'on su|i[)osc lître *mssî un grand cercle, et M le lieu donné
sur ie (rlol)c ayant pour longitude AK = / et pour latitude géo};raphlque MK ^ X. Menons de ce |)oinl l'arc de grand cercle MK', peqiendiculaire à l'équateur magnétique ^E' : cet arc re|»résentera la latitude magnétique >' du point M. Or, comme on connaît la longitude AN ou « du nœud de l'équateur magnétique, on aura ^E = / — «. Ainsi, dans le triangle sphéinque MNE rectangle
en K, un connaîtra les deux côlcs MK, NE; on ()ourra donc cak-uler
l'bypoténuse MN ou H et l'iingle ^ par les formules
IMIS H ^ cos X cos (/ - «l»).
lî-N-'
si»:/-^;
l/iuigle N étant coiniu, im en retnincli.TJi i'iijtii liaison I =ENE' dfs deuv équaleiirs, et l'un connaîtra l'angle MNK'. Alors, dans le Iriatifjle MNK'. l'arc ME' ou X'. Iiililtide magnétique du jmint M, s'obtiendra par la formule
sinX'--sinHsin(N- I).
337. Vétcrnilnntlsn de In conalniitc 'i- — Pour déterminer la \aleur de la uonslanle /'. Itlol a choisi une observation faite par de Huinboldt à la station de tiarirhana par l)"3V de latitude boréale el 70" iS'dc longitude occidentale, ce (|ul donne 1 i°5a' ponr latitude magnétique du lien. L'observation a donné 3o°-j&' ponr l'inclinaison en ce lieu. En partant de là, si l'on voulait résoudre la Formule par rapport à li. on trouverait une valeur négative, ce qui ne peut avoir aucun sens. 11 a donc fallu, pour se faire une Idée de la valeur de h, o|iérer d'une aulre manière. Après avoir remplacé
dans la formule (s) ^' par sa valeur, on a donné à li différentes valeurs et Ton a calculé les valeurs correspondantes de i, que Ton a comparées à celles (|u'avait données l'observation. Voici le tableau des résultats obtenus :
VALEtRb DE II.
0,6 0,5 0,îi 0,1 0,01 0,001 lufiaimeul petit.
IKCLIRAISOTIS
calnilôes.
•jy-
ay"
nCLlBiAlhOV
observée.
3o" îi/i'
DIFPEBKNGKS
avec les
inclinaisons
observées.
338. Conséquences du calcul de /i. — Du tableau précédent il ne résulte pas qu'en prenant h très-petit on représente d'une manière suffisamment exacte l'observation ; cependant on doit en conclure que si l'on veut assimiler le magnétisme terrestre à un aimant il faut supposer les pôles de cet aimant très-voisins du centre de la terre, et toute hypothèse physique qui conduirait à un résultat contraire devra être rejetée.
En partant de ce résultat, on peut metire lu fornmie (1) sous une forme assez simple. On ne peut pas faire immédiatement A=o dans la valeur de lang^S, car elle devient indéterminée; mais on suppose d'abord k très-petit, de telle sorte que h^ soit négligeable. Alors, en développant, il vient
a^= i + 3AcosM, a*= 1 — 3/icosu;
en substituant on trou>e
tangj8 =
sinu
SI nu cosa
sin aa
COSM —
3cosu
cos^u
ô C0S2ti+5
Cette formule devient, en introduisant l'inclinaison 1 et la latitude
.)8â LIiÇONS Slill LK MAGiNÉTISME TEHRESTRE.
ma{jiictique ,
(3) la..g(X' + /)= ""■^^'
COSâA — »
M. krall'l, aslroiioirie russe, a donné h la formule de Biot une e\|)resKion beaucou]) plus simple.
La formule (3) peut cire mise sous la forme
tang ( en développant ,
ian^X'-f
'jsinX' cosX'
9C0S-A — « lanjj/ 3 lai
[n)gX'
cos* À'
I — langX'lang/ .. 2
cos*X' d'où
4tan{ïX --^:^)/x'-+ *"fî'~ cô?Y""'^^^"{'^ -ilany-X langi.
olanin j + tani^-X —tt' rrr = o,
ou bien , en observant (lue 1 + taïuî-X' =^ — jv-. ^
» o cos X
tang/ utangX' â)s*X'~~côs"T'''^^'
et par conséquent
tanyî=^ îilangX'.
On en déduit le théorème suivant : la tangente de rinclinaison est double de la taujjente de la latitude magnétique.
(lelte formule représente assez exactement les observations dans le voisinage de Téquatcur magnétique; on en fait un fréquent usage pour obtenir les divers points de cet équateur. On détermine l'inclinaison en un point voisin de féquateur magnétique et Ton calcule à l'aide de la formule précédente la valeur correspondante de X': on déduit de là la position d'un point de cet équateur, car en chaque point on connaît la direction du méridien magnéti(|ue sur lequel on doit porter X'.
