Calcul de riniensUé en «uppesant h très-petit

La théorie du magnetisinc que nous venons de développer permet de calculer aussi l'intensité F de la force magnétique en un point de la terre. On a en effet

F = v/X^+Y5 = ^jsin'^«r- 1 .-; ^ ,>

' ( L(i 4-2/icosu)« (i — 2ncosu;?J

r cosu-h/i cosu — h "l'i/'.

L(i-+-2/icosa)« (i — 2/icosu)"J )

en négligeant A^, développant et admettant toujours la même approximation, il viendra

F = ^ )3G/i^sin-Mcos-M+ (costH-/*)(i — 3Acosa)

-(costt — /<)(i +3Acosw) r\\

= ^ 3()/i'-^sin'*acos-a+ 4/r (i --3cosuy-| ^

= î^(. + 3sinn')'.

Cette formule conduit à ce résultat, que l'intensité magnétique au pôle est double de l'intensité magnétique à l'équateur.

L'observation ne confirme pas cette conclusion , et en général la formule qui donne la valeur de F ne se vérifie (|ue d'une manière assez grossière. Cette formule n'est donc pas exacte, mais elle peut servir de type à une formule empirique. Ainsi on pourra poser

aei h étant deux constantes que l'on déterminera au moyen de deux observations. Cependant cette formule ne peut réprésenter la valeur de F en tous les points du globe; elle n'est guère exacte que dans le voisinage de l'équateur.

Les calculs de Tobie IVIayer sont peu différents de ceux de Biot; au lieu de su|)poser l'aimant terrestre passant par le centre de la

terre, il le suppose un peu excentrique, ce qui lui permet d'obtenir des formules plus compliquées à la vérité, mais qui se rapprochent davantage de l'observation.

La conclusion qu'il faut tirer de tout ce qui précède, c'est que, dans l'hypothèse du magnétisme terrestre, il faut admettre l'existence d'un petit aimant dont les pôles sont très-rapprochés. Cette hypothèse revient d'ailleurs à celle d'Ampère sur l'existence des courants terrestres. Il ne résulte pas de là que le magnétisme ou les courants terrestres soient ainsi resserrés dans un petit espace, mais seulement que les choses se passent comme s'il en était ainsi ; rien n'empêche d'ailleurs que les fluides magnétiques ou bien les courants fermés ne soient distribués dans tout l'intérieur de la terre.

3^0. HjpotliéMe d'IlAïuiteeii. — Hansteen, physicien de Christiania, a cherché à perfectionner la théorie du magnétisme terrestre ; il a établi des formules empiriques assez exactes en supposant à l'intérieur de la terre deux aimants excentriques dont l'un serait beaucoup plus puissant que l'autre. Quand on admet cette hypothèse, on est conduit à parler des quatre pôles magnétiques de la terre, qui sont ceux de ces deux aimants; ainsi entendue, cette locution est exacte ; mais elle ne le serait plus si , par pôles de la terre, on entendait, comme on le fait ordinairement, les points où l'aiguille aimantée prend une direction verticale. Au lieu de deux aimants, on pourrait en supposer un plus grand nombre et en ajouter un chaque fois qu'il serait besoin d'expliquer un phénomène dont l'hypothèse faite jusque-là ne pourrait rendre compte. Il est certain qu'on arriverait ainsi à des formules empiriques utiles pour l'observation, mais. rien dans celte manière d'opérer ne ressemble à une théorie du magnétisme.

341. Idée sénérmle de 1a tbéerle de ^mmam et de eoa •fe|et. — Tel élait à peu près l'état de la question quand Gauss l'a reprise. Il a cherché à donner une théorie du magnétisme indépendante de toute hypothèse sur la distribution du fluide magnétique dans l'intérieur de la terre. Il a supposé seulement qu'il y a dans l'intérieur de la terre des aimants analogues à ceux que nous

possédons, ce qui revient à admettre dans l'intérieur de la terre des centres d'action attirant et repoussant en sens inverse du carré de la distance, sans rien préjuger sur l'origine de ces centres, qui pourraient être attribués aussi bien à l'électricité qu'au magnéfisihe.

L'action magnétique de la terre sur une molécule quelconque placée a sa surface sera, en grandeur et en direction, la résultante des actions de tous ces centres sur cette molécule.

3Â3. Déiliiltl^ii de runlté de fluide inasnétlque. —

Désignons par dfi la masse magnétique d'un de ces centres ayant pour coordonnées a, b, c; soient x, y, z les coordonnées d'une molécule magnétique quelconque dont nous prendrons la masse magnétique pour unité, et soit p la distance de cette molécule au centre magnétique a, b, c : nous aurons

p==.^[x-nf-j-{tj~bf+{z--cf,

et les composantes de l'action du centre magnétique sur la molécule

considérée seront

l\^—j-(i(Ji,

343. Défliiltiaii du potentiel. — Nous avons déjà vu que ces trois expressions sont les trois dérivées partielles d'une même fonction

à laquelle Gauss a donni^ le nom de jMteiitlfl. Mais MM. Green et Glausius ont l'éservé le nom de potentiel à J'expression

dfi, (/^' étant les masses de deux molécules appartenant à deux corps

o88 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

différents qui agissent Tun sur l'autre, et ils ont donne? {i l'expression — I — le nom de fonction potentielle. Cette modification paraît

convenable, et nous l'adopterons.

Supposons (|ue l'on cherche la composante de l'action terrestre suivant la direction de la tangente à une courbe placée à la surface de la terre: comme la direction des trois axes est arbitraire, on pourra placer l'axe des x suivant la tangente à la courbe , et alors

cette composante sera représentée par t- ou par ^i ds désignant

l'accroissement de l'arc de la courbe.

Si l'expression -r- est positive, cela voudra dire que la composante

de l'action terrestre est dirigée suivant le sens où l'on compte les arcs; si au contraire cette expression est négative, c'est que la composante est dirigée dans un sens opposé.

(pcosOds et ronséiluencea. —

Cela posé, a|)pelons ^ l'intensité de l'action magnétique de la terre sur la molécule (.r, t/, :) et 0 l'angle de sa direction avec la direction (h, nous aurons

ft\ - --^cosOdft:

prenons maintenant sur la courbe que nous avons imaginée deux |)oints P„ c»t Pi correspondant aux arcs .s„ et s^ , désignons parV„«^t V^ les valeurs de la fonction V en ces deux points et intégrons de|)uis l(» |M)int P., jusqu'au j)oint P, , il vient

ros

On déduit de cette formule plusieurs conséquences importantes: r La valeur de l'intégrale 1 ^^cosOds étant ég«ile h la diffé»-

rence des valeurs de la fonction V aux deux extrémités de l'arc P„ P,, la(|ue]le ne dépend que des coordonnées de ces extrémités, est complètement indépendante de la nature de la courbe (|ui unit les deux points.

îi" (iCUc intégrale est nulle quand, la courbe étant fermée, on revient au point de départ.

3" Quand sur une courbe fermée l'angle ô n'est pas constamment droit, ses valeurs sont en partie plus grandes, en partie plus petites

que - •

3&5. Surfaces de niireAti V = V^ et leurs propriététk —

Soit Vq une valeur particulière de la fonction V : réquation Y=Vo, renfermant trois variables coordonnées d'un point quelconque, représente une surface qu'on appelle surface de niveau : à chaque valeur de la constante V„ correspond une surface différente. Il est aisé de montrer que la résultante de l'action magnétique terrestre sur un point de cette surface lui est normale. En effet, prenons pour ave des z la normale à la surface, les axes Ox et Oy étant situés dans le plan tangent. Puisque V est constant sur toute la surface, il Test dans une petite étendue du plan tangent tout autour du point de

contact. Donc ji,= o, ^ == o pour le point considéré. Les composantes de l'action terrestre sur l'origine, dirigées suivant Ox et Oy^, étant nulles, l'action résultante est dirigée suivant Oz, et par conséquent elle est normale à la surface. Considérons une seconde surface de niveau inHniment voisine de la première \ =^\\-{-d\^,, et soient dz la distance normale des deux surfaces, et (p l'intensité de l'action magnétique sur un point quelconque de la couche V=-V„-. on aura, d'après ce qui précède.

Or d\„ est une quantité constante; donc l'intensité ^ de l'action magnétique en un point quelconque d'une surface de niveau est en raison inverse de la distance normale de cette surface à la suivante infiniment voisine, lien résulteque, si l'on conçoit une série do surfaces de niveau infiniment rapprochées, on partagera l'espace en une suite de couches dans toute l'étendue desquelles la force magnétique sera toujours en raison inverse de l'épaisseur.

Les |)ropriétés dont nous venons de parler ne sont pas suscep-

tibles de vitrification expérimentale; mais on peut établir, pour des points situés à la surface de la terre, des propriétés analogues que l'expérience peut vérifier.

346. Formule V , - Vo =-= ( '<y ros t ds. — Conséquences. — Ad-

mettons qu'en un point quelconque P (fig. 3.33) de la surface de

la terre ^ soit l'intensité et PM la direction de la force magnétique terrestre, tt l'intensité et PN la direction de la projection (p sur le plan liorizontaL Le plan Kig. s33. i^jpjyj j,gj.g |ç p].^jj jy méridien magné-

tique et l'angle SPM =î sera l'inclinaison du lieu.

Par le point P traçons une courbe quelconque sur la surface de la terre et appelons t et 6 les angles que fait la tangente à cotte courbe menée par P avec les lignes PiN, PM. On aura comme précédennnenl

(l\ --r-- Ç cos 0 (h ;

or

(p . o[ cos 6 ^ - cos / ros T ;