V+RT-V

\i étant une quantité indépendante de u; je dis qu'elle est aussi indépendante de la longitude X. En effet, V^ étant indépendant de u, on peut faire ti = o, et cette quantité ne change pas; mais le pôle appartient à tous les méridiens; donc V^ est indépendant de A et l'on a

d'oii

rfT i^rfV

d\~ RdA'

et, par suite,

Y=— s=— rS'^--

sin a dX sm uJq dX

Il résulte de là que, si l'on connaît pour tous les lieux de la terre la composante nord de la force magnétique, on peut en conclure immédiatement la composante ouest de la même force pour les mêmes points du globe.

La réciproque n'est pas vraie : il ne suffirait pas de connaître la composante ouest, pour tous les points du globe, pour pouvoir en déduire la composante nord. En effet, posons

on aura

donc

ou l)irn

U= I sinu YrfX,

Cette équation fait voir que, si l'on connaît la composante ouest de In force magnétique pour tous les points du globe et la composante nord pour tous les points d'un méridien, ou même d'une ligne quelconque allant du pôle nord au pôle sud, on pourra déterminer immédiatement cette dernière composante pour tous les points du globe.

Ces théorèmes peuvent donner lieu à des vérifications importantes.

353. Nous allons maintenant faire intervenir la composante verticale. Nous avons posé

Si r, tt, X sont les coordonnées du point attiré, point que l'on suppose extérieur à la terre ou à sa surface, et r^, u^, \ celles d'un centre quelconque d'attraction intérieur à la terre, on a

p^ = T^ — arr^ cos fl+ ^c et

cosô=cosucos iio + sinti sin îi„cos(X — X^);

d'où il résulte

-^ = -^ 1 1 — 9 - [cos Mcos «o + sin u sin ti„cos (X — X^)] + f -' j ^| * .

Comme on suppose tous les centres d'action intérieurs à la terre, on aura, pour chacun d'eux, r^ plus petit que la quantité constante r. Il suit de là que l'on peut développer la puissance — en

une série ordonnée suivant les puissances entières croissantes de - ; ainsi on a

Ti, Tj, T3 étant des fonctions entières et rationnelles de cosucosti^ et .sin M sin Mo cos (X — X„). Si maintenant on intègre dans les limites du corps, on aura V développé en série :

R désignant le rayon de la terre, et, pour déterminer les coefficients Pq, P, , . . , , on a

^fdfjL, R^P, == Jt^ r, dfx, R*P, = Jt^ rtdfjL,...,

()00 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE, el, comme id(jL= o, la fonction V se réduit à

et les coefficients P,, P2, P3,. . . satisfont à Téquation aux différences partielles

^ ^ au* (lu si n'a rfX*

Pour avoir les trois composantes X, Y, Z, il suffit de prendre, comme nous l'avons vu,

on a donc

Y Rl^/rfP RrfP, R'rfP N

Z = -^^(^Pi + 35p, + /i^'P3 + ...).

On déduit de ce qui précède les conséquences suivantes : Si Ton connaît les valeurs de la fonction V pour tous les points de la surface de la terre, on pourra s'en servir pour obtenir les valeurs de la même fonction pour tout l'espace infini. On en déduira aussi les composantes X, Y, Z, non-seulement pour tous les points de la surface de la terre, mais encore pour tous les points de Tespare. En effet, si l'on pose r = R, il vient

les fonctions P,, P2, P3, . . . n'ayant pas changé, car elles sont îndédanles de r. Or, la fonction V étant donnée pour la surface de la

terre, on pourra développer rr en une série de la forme

i = A, + A2 + A, + ^ , ., le terme général A„ étant upc fonction entière et rationnelle de

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. GOl

cosucosUq et de sin usintioCOs (X—Xg) et satisfaisant a Féquation aux diffi^rences partielles

et Ton sait que ce développement ne peut se faire que d'une seule manière. Il en résulte

r j = Aj, I 2 ^^ A.2, 13^^ A5, ... ;

donc tout ce développement de V est connu pour tous les points de l'espace.

Pour trouver la valeur de Va la surface de la terre, il suffirait do connaître X pour tous ses points; car X étant connu, en le développant en série et en identifiant, on aurait les valeurs de ^» T^» • • • '

d'où l'on tirerait les valeurs de Pj, P2, . . . en intégrant de zéro à u. Il suffirait de même de connaître Y pour tous les points du globe et X pour tous les |)oints d'une ligne courbe quelconque allant du pôle sud au pôle nord. Enfin il suffirait aussi de connaître Z pour tous les points du globe; car, en le développant en série, on aurait

et, en identifiant,

On pourrait, en déterminant V par l'un ou l'autre de ces trois procédés, soumettre la théorie à de nombreuses vériGcations et obtenir des formules très-précieuses. Malheureusement les données que l'on possède ne sont pas suffisantes pour permettre ces vérifications; c'est pour cela que Gauss s'est borné à une vérification plus simple, mais moins rigoureuse.

Les formules précédentes étant des séries convergentes, on peut se borner aux premiers termes; Gauss s'est arrêté au quatrième. Les formules ainsi simplifiées renferment fi h coefficients numériques. Pour les déterminer, il suffisait de connaître X et Y pour t tk stations difTérentes; ayant déterminé ces ai coefficients, on a des valeurs approchées de X, Y, Z, V pour tous les points de la surface

602 LEÇONS SUR LE MAGiSÉTISME TERRESTRE.

de la terre, et même pour tous les points extérieurs. Pour avoir une idée de la longueur de ces calculs, il suffira de dire que, bien qu'il n'y ait que ai coefficients numériques, il y a 71 termes.

35â. Comp»r»i«oii »vec rexpérience. — Gauss a ensuite comparé les résultats fournis par le calcul avec ceux qui avaient été trouvés par l'expérience en 9 1 stations différentes. Dans un grand nombre de cas, la différence entre le calcul et l'expérience est comparable aux erreurs d'observation : elle est même quelquefois inférieure à la différence qui existe entre les observations faites dans un même lieu par deux observateurs exercés. Gauss a appliqué ses formules à la détermination du pôle nord magnétique, et il a trouvé pour l'année i83o la position suivante : 73°35' de latitude nord, et a 6 4*" 21' de longitude à Test du méridien de Greenwich. Le capitaine Ross avait trouvé par l'observation que ce pôle était situé à 1 degré au-dessous : on peut regarder cette approximation comme très-satisfaisante. Le pôle sud a été trouvé pour la même époque à 7a°35' de latitude sud et i5a°3o' de longitude à l'est du méridien de Greenwich : ce point est situé sur la terre Victoria.

Au pôle nord l'intensité serait 1,701; au pôle sud, a,a53.