OS

(lonr

(Foù

(l\ ^ - TT COR T ils,

COS T (Is.

On conclut de cette relation :

i" Qu(» la valeur de l'intégrale I ncosTds est entièrement indé-

pendante de la nature de la courbe (|ui imit les deux points ,s„ et jï,;

*î" Que cette intégrale est nulle quand on Tétend à tous les points d'une courbe fermée;

3** Que, si l'angle t n'est pas constamment droit sur toute l'étendue de la courbe, il est tantôt aigu et tantôt obtus.

3/l7. Vérifleation de« eonséquenees précédentes. — Les

deux premières conséquences ont été vérifiées par fianss.

Considérons à la surface de la terre supposée sphérique une série de points dont la longitude et la latitude sont connues et où Ton a mesuré l'intensité horizontale du magnétisme terrestre. Joignons ces points entre eux par des arcs de grands cercles, nous aurons formé un polygone sphérique P0P1P2. . . pour lequel les théorèmes précédenls doivent se vérifier. Désignons par J^,, ^|, «îj, . . . les déclinaisons aux points Po, P], P.ii . . ., et soient enfin (o,i),(i,o),(i,q), ( îi, 1 ), . ^ . les azimuts des côtés PoPi, PiPa» • • • aux points P„ ou Pj, Pi ou Ps, . . . comptés ordinairement à partir du sud vers Touest.

L'angle r, qui varie d'une manière continue sur chacun des (ôtés du polygone, change brusquement à chaque ang^e et présente alors deux valeurs différentes. Ainsi, au point P^, considéré tour à tour comme l'extrémité du côté P^Pj et le commencement du côté P1P2, l'angle t a les deux valeurs (1,0) + ^j, 7r + (i,a)4-^o- En désignant par t^ , Tj les valeurs de l'angle t au point Po considéré comme point de départ, et au point Pj considéré comme point d'arrivée du côté P^Pj, on pourra prendre comme valeur approchée

de l'intégrale | tt cos t à relative au côté P^Pj la quantité

i f TT^ COS To + TT] COS Tj J P^Pj ,

OU bien , en remplaçant t^ et T] par leurs valeurs,

iJ7riCOs[(i,o) + ^,]-7r,cos[(o,i)+<î„]|PJ>,.

On trouvera de même, pour la valeur approchée de la mémo intégrale correspondant au côté suivant du polygone PiP^,

iJTraCos [(2,1)4-^.2] — TT, cos[(i,a) + <5i] PiPî,

et ainsi de suite. L'erreur commise sera d'autant plus petite que la distance des points P^, P^ sera moindre. En faisant la somme algébrique de tous les produits analogues relatifs aux divers côtés, on doit obtenir zéro.

Appliquée à un triangle tracé sur la surface de la terre, l'équa^

VesDET, iV. —^ Gunfëreoces de pliysitjue. 38

.VJ2 LHCONS SLR LE M AtiNKTlSMK niHUESTUE. lion I ' TT cos T (h = o donnera

^o |Pol^ cos [(0,1) + s^\ - iM>, cos [ (o,.j ) + ^:j|

-rT,jPJ>,cos[(i,<)-f-^,] -Pol\cos[(i,o:)-+-<J,]j

+ 7r.,jPJ^ fos[(2,o) + ^oj -PiP2C0s[(9,i) + ^.]j=o.

Pour donner une application de cette formule, Gauss a pris les observations suivantes :

(iœttingiie K = i8"3S'. . . i„=^ G7"'oG'. . . 0o= i,'^^>7

Milan 8^ =- 18''33 . . . 1, = GS^ig'. . . ^,= i/jy4

IWis 3^ = 3:?" 4'... ij = ôy^âÂ'. . . ^,— 1,348

d'où l'on tire

TTo^^ 0,r)0(j8o, TTj-^ 0,5701)6, Xj =^ 0,5 180^1.

Kn parlant des positions géographiques suivantes ;

LO.GITLDE LATITLbE. DE

tiUKE^WlCIf.

(ia-lliii|;ue 5r'3îî' c/58'

Miliin /iS'qS' 9" 9'

Paris /i8"5-i' -^-Ji'

et supposant la (erre sphérique, on trouve :

(0.1)= 5°ii'3i"l

(9,0)= 338-30' ao".,,, ...,, ,„ (0,9)= () 4° /io' 19" ('"''■'""' "^^ ■*

En substituant toutes ces valeurs dans Téqualion trouvée et exprimant les distances en secondes, on trouve

17556 w„ 4- 9774 w, — 90377^2 = 0, wj=«o,8Gi 58 7r„4- o,i36 13 Wi.

En parlant des intensités horizontales de Gœltingue et de iMilan, on obtient pour celle de Paris ^2 == ^»'^^69^' valeur qui diffère de 0,001 de l'intensité observée directement, o,5i8o/i.

3â8. Parallèles maffiiétiques V = V,; leurs propriétés. —

Les surfaces de niveau coupent la surface de la terre, et par leur ntersection avec cette surface y tracent une série de courbes fermées. En un point quelconque de Tune de ces courbes, menons un plan qui lui soit normal. Ce plan passera par le centre de la terre supposée sphérique : il est donc vertical. De plus il contient la direction de l'intensité de l'action magnétique terrestre sur le point considéré, puisque cette direction est une normale à la surface de niveau sur laquelle se trouve la courbe considérée. Il résulte de là que la méridienne magnétique est en ce point normale à la courbe considérée. Ces courbes fermées, intersections des surfaces de niveau avec la surface de la terre, qui sont les trajectoires orthogonales des méridiens magnétiques , sont appelées parallèles magnétiques. Les mé" ridienè magnétiques sont des courbes tracées à la surface de la terre, telles, que la projection sur le plan horizontal de l'action magnétique du globe en un quelconque de leurs points leur soit constamment tangente. Prenons deux surfaces de niveau V = Vo et V=V^ + rfV„ qui déterminent deux parallèles magnétiques : si dz est la distance

normale de ces deux courbes, -rr est l'intensité horizontale du ma-

gnétisme terrestre. On voit que, dans toute la zone comprise entre ces deux courbes, l'intensité horizontale varie en raison inverse de la largeur de la zone.

3&9. €oiisidér»fioiis sur I» possiMlité «le PexisteMee 4e deum pôles muffiiéfiques de mente nmn m Mm surlSsee de la terre. — Gauss a aussi examiné la question des pôles magnétiques de la terre. On a souvent émis l'opinion qu'il existait deux pôles magnétiques terrestres dans chaque hémisphère; mais on a donné à ce nom des sens différents. Ce que nous entendrons par pôles magnétiques, ce sont les points où l'aiguille aimantée, librement suspendue par son centre de gravité, prend une position

594 LEÇO.NS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE, vt'rtlciile. Pour explitjuer les phénomènes que l'un observe en Si* héne et dans l'Aiiiëriqiie russe, Hansteen a été conduit à admettre IVxistence de quatre p6les de ce genre. Il supposait que lactioD (urrestre pouvait se ramener à celle qu'exerceraient deux aimanis excentriques dont t'un serait plus fort que l'autre. Hansleen ajoute que CCS quatre pàle;^ ont un niouvemeul régulier autour des p4les lerrestres, les deux pôles du nord allant de l'ouest à l'est dans une direction oblique, et les deux pôles sud, de l'est à l'ouest, au'si obliquement. Il assigne à ces révolutions les duriJes suivantes : le [lôlc nord te plus fort, 1890 ans; le pâle sud le plu.<! fort, à6o5 iins; te pôle nord le plus faible, 8f)0 ans; le pôl" sud le plus faible, t3o3 ans.

Gauss a fait voir qu'il ne peut exister à la surface de la terre que deux pâles magnétiques; en admettre un plus grand nombre, ce serait se mettre en désaccord avec tout ce que l'on observe, comme . nous allons le faire voir.

Au pôle magnétique terrestre l'action magnétique est, par défiuilion . normale à la terre; d'ailleurs elle est aussi normale à la surface de niveau qui passe en ce point. Donc un pôle magnétique terrestre n'est autre chose qu'un des points de contact de la surface de la terre avec une surface de niveau. Cela posé, soient AB (fig. aSh) la surface de la terre et CD une surface de niveau qui ta touche au point P, que nou-i supposerons être un pôle boréal. Puisque le point P est un pôle nord, le lluide austral est attiré vers le centre de la terre; par conséquent, si l'on considère deux surfaces de nîvean CD', CD" infîniinent voisines de CD, dV sera négatif quand on passera de la surface CD à la surface CD", et positif quand ■''*'^*' on passera de CD à CD'. Car soit dî la

distance normale des deux surfaces CD et CD", distance comptée de P vers CD', l'action terrestre sera ^, ■ et, comme elle agit dans le sens de la flèche , il faudra que d\ soit négatif. On verrait de même que (/V est positif lorsqu'on passe de CD à C'ï)'. Il résulte de là que dM

théorie: du MAGISËTISME terrestre. 595

est nul au point P de la surface CD. Lp point P est donc un maximum ou un minimum de V; et comme ta fonction V va en croissant lorsqu'on marche de CD en CD', il en résulte qu'en P elle est minimum. On verrait de même que, au pâle sud, la fonction V est maximum.

350. Supposons maintenant qu'il existe & la surface de la terre plus d'un pôle de même nom, deux pâles nord par exemple, et soient P,, P^ (fig. 935) ces pôles et V,, V^ les valeurs correspondantes de la fonction potentielle, V, étant plus grande que V^ ou tout au moins égale S\ cette quantité, mais pas plus petite qu'elle. Prenons une valeur W, de la fonction V qui soit un peu plus grande que V,, et, par conséquent, supérieure aussi à Vq, La surface de niveau correspondante donnera lieu è un parallèle divisant la terre en deux portions, celle des points où V est plus grand que Wj et celle des points oij il est plus petit, et cette dernière comprend les deux points P, et P^. Ce parallèle doit former autour du point P, une courbe fermée ne comprenant pas le point P^, car, U fonction potentielle étant minimum au point P,, de quelque cAtfJ que l'on s'avance à partir de ce point, celle fonction doit d'abord aller en croissant , et le lieu des points oij V est un peu plus grand qu'en Pj forme une courbe fermée qui ne peut contenir d'autre point minimum que Pj. Le point P^ doit donc faire partie d'une autre zone, oii la fonction V soit plus petite que W, ; ainsi le parallèle V= W, se compose au moins de deux branches fermées renfermant chacune les points P, et Pj. Il est toujours possible de tracer un parallèle V «W, qui embrasse à la fois les deux points P, et Pj; car, si l'on donne à W^ la plus grande valeur de V, ce parallèle laisse toute la '"'«■ •'!■ surface de la terre d'un mémo

c6té. Si maintenant on fait varier V d'une manière continue depuis W, jusqu'à W;,. on obtiendra d'abord une série de parallèles à deux branches fermées, dont chaque branche enveloppe les points P,

596 LEÇONS SUR l,E MACNKTISME TERRESTRE. et Pî, puis une série de parallèles à une seule branche embrassant i la fois les deux points P, et P^. Le passage de l'une de ces séries â l'autre se fera nécessairement par un parallèle en forme do 8, ou

par un parallèle composé de deux parties fermées tangentes en ud seul point, ou bien tout le long d'un arc, comme l'indiquent les figures 336.

Dans chacun de ces trois cas on est conduit à des conséquences qui paraissent en contradiction avec les faits. Dans le premier cas, le parallèle aurait un point multiple, et, comme la direction de l'aiguille de la boussole de décHnaison est normale au parallèle en ce point, cette aiguille devrait prendre deu\ directions, ce qui est impossible : il faut donc que l'intensité soit nulle en ce point. Dans le cas oix il y a deux hrnnches tangentes, la composante horizontale ne devrait à la vérité avoir qu'une seule direction au point singulier, mais elle devrait avoir deux sens opposés, suivant qu'on s'en approche par des points situés dans l'intérieur de l'une ou de l'autre eouriic, ce qui est impossible. Il en résulte que la composante horizontale doit encore être nulle. Le point singulier est donc, dans les doux cas qui précèdent, un vrai pâle magnétique, mais un pAlc tantôt nord, tont&t sud : nord par rapport aux points situés à l'intérieur de la courbe, analogue k la lemnlscute, et sud pour les points extérieurs. Dans le troisième cas on aurait une série de pAles analogues. Comme les résultats de l'observation sont contraires à ces conséquences, nous admettrons qu'il n'y a qu'un pMc magnétique.

351. InemKctltude d'une méthsde b^équcMimeBt «■>playèe pour déterminer les |»dle* mat^nétlqueB. — Nous ferons reinartjuor, en passant, une erreur que l'on a commise quelquffris en voulnnt déterminer la position du ])61e. Après avoir choisi deux points où l'inclinaison est très-voisino de 90 degrés, on rons-

truit les méridiens correspondants et Ton regarde leur intersection comme donnant la position du pôle. Cela suppose évidemment que les parallèles infiniment voisins du pôle sont des cercles. Or ces parallèles sont des courbes résultant de l'intersection de la sphère terrestre avec les surfaces de niveau. Lorsque ces deux surfaces sont très-près de se toucher, leur intersection a pour limite une ellipse ot non un cercle.

352. Rel»fioiui entre le« trois élémente ma^nétlquee d*uii lleii. — Examinons maintenant les vérifications et les applications que Gauss a faites de sa théorie. Il faut pour cela établir des relations entre les trois éléments magnétiques d'un lieu, inclinaison, déclinaison , intensité. Prenons trois axes rectangulaires : l'axe des x sera horizontal, contenu dans le méridien astronomique du lieu et dirigé vers le nord; Taxe des y sera horizontal aussi, mais dirigé vers l'ouest. Soient M un point quelconque de la terre supposée sphérique, pour lequel on veut connaître les trois composantes X, Y, Z de l'action magnétique du globe, et V la fonction potentielle.

On a

Y d,\ V ^V 7 dV

dx ay a:

Soient u la colalitude du lieu et X la longitude comptée on allant de l'ouest vers l'est. Si R est le rayon de la terre, on a

(/a? «r — R(/m, rfy «» — R sin u rfX,

et, par suite,

WTu' RsinM(/X*

Considérons l'intégrale définie T = 1 \(h; il est aisé de voir fine l'on a

ilonc, en intégrant.

(lu (lu