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en Faisant, pour ahréjjer,
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On conclu! de là
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V étant toujours positil, on voit que \' est croissant et ne peut s'annuler (|ue pour une valeur unicjue d(» v. Si V^' est négatif pour r - o, cette valeur /S est positive, et réci[)roijueincnt. Mais si V est positif pour «?= o, il est aussi positif pour toute valeur positive de p. La fonctifui \ est donc constannnent croissante et ne se réduit jamais à zéro, puis(|ue sa valeur initiale est positive. Ainsi on n'observera que les phénomènes de la réfraction astronomi(|ue. et, à parler rigoureusement, aucun point de la surface ne sera visible d'un autre point de la surface, sur tous les corps célestes pour lesquels on
aura
VIÉTÉOKOLOGIE OPTIQUE. IW
cest-à-dire
Tel est le cas de ia terre, pour laquelle
et par suite
Si au contraire on a
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V sera nul pour une valeur positive j8 de t? qui se calculera numériquement sans dlfTiculté. Soit I l'angle aigu qui réduit V h zéro , pour r-«]8, on aura
Sin i - ~~ rm-T: 1
et pour toute valeur de t comprise entre 1 et - l'équation aura deux
racines réelles et positives, puisque en supposant, dans V, r= S et
I compris entre I et -» Vest négatif. La plus petite h de ces racines
sera le maximum de hauteur où pourra s'élever un rayon dont l'incidence initiale est plus (;rande que I. En appelant comme plus haut aa la distance de l'origine au point où ce rayon vient couper une seconde fois la surface du corps céleste, on voit facilement que 6 décroît continûment de jS à zéro, et aa de l'infini îi zéro, si i croît de I
à—- Donc, en désignant par i\, i^, h-- - - la série des incidences
pour lesquelles aa a les valeurs Rtt, ^Rtf, SRtt, .. ., ces valeurs forment une série décroissante dont le premier ternie est plus ou
moins voisin de ~ et le dernier terme est I. Il suit de là que d'un
point quelconque de la surface du corps céleste on verra cette surffice tout entière, et même qu'on en verra une infinité d'images, constituant par leur ensemble une calotte concave, limitée par un
7/i8 LKCjONS SLR l/OPTIODK.
ccrch» é\e\é (l(> 1 au-dessus de l'Iiorizon vrai, (luî sera Tiiorizon
appareuL La [)reniière image scTa comprise à rintérieiir liu corele
élevé de /, • la seconde formera un anneau compris entre les
cercles élevés de - — h et de - — /.,, et ainsi de suite. Il n'est iws
besoin de faire remarquer de cpielles étranges déformations ces images seront affeclées; en particulier le point situé aux antipodes aura pour images successives la série des cercles limites qui viennent d'être délinis.
Si l'on suppose /conq)ris entre zéro et 1 , l'angle j^ est toujours |>asitif et croissant avec/. D'ailleurs, comme, à la limite I. on a simultanément \ -^ o. V -- o, on Noil, on remontant à l'expression de ^ que cet angle croft jusqu'à l'infini. Si Ton appelle /', /", T", ... les valeurs particulières de i qui rendent tt successivement égal à w,
•>7r, Stt, . . ., ces angles formeront une série croissante ayant pour limite I, et il est facile de voir que d'un point quelconque de la surface de la planète on verra la sphère céleste tout entière, qu'on en verra même une infinité d'images, limitées successivement par des
cercles élevés au-dessus de l'horizon de — T, T, Z^, • • • *
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