RKFRACTIONS \TM0SPI1KRIQI:ES
ÂâO. Phénomène 4u mlraffe. — Théorie 4e Moni^^. —
Lorsque le point d'où émanent les rayons lumineux est situé dans l'atmosphère elle-même et que les couches qui composent celle atmosphère présentent une loi de distribution différente de la loi ordinaire, on observe un phénomène coniui sous le nom de mirnno et dont nous allons donner Texplication.
\ous supposerons l'atmosphère composée découches dont la densité croît ou décroît à mesure qu'on s'élève, mais reste la nièuif' pour un<» étendue considérable d'un même plan liorixontal: cotl<* hypothèse suffit pour les couches peu éloi}{nées du sol. Cette disposition par couches horizontales d'une densité uniforme donne lieu l\ une particularité remarquable quand se présente en un certain point une variation de température dans toute l'étendue du plan horizontal ([ui pass<» |)ar ce point. C'est cette particularité que nous allons étudier.
Prenons pour axe des .r Thorizontale menée dans le plan de la courbe suivie par Ja lumière et passant par le point te plus bas de cette courbe, et pour axe des : une lifjne verticale; désignons par i l'angle de la tangente en un point quelconque avec Taxe des.r : nous
aurons lang/= r • Substituons à / sa valeur en fonction de l'indice
de réfraction. Pour cela, désignons par ^, {x\ (jl\. . . les indices de réfraction des diverses couches consécutives par rapport au vide, et par i . /', /'. . . . les angles des éléments de la trajectoire compris dans ces couches avec les normales aux points où ces éléments rencontrent les surfaces de séparation des couches; on a
SU)/ suw ,
MKTKOKOIJXÎIK OPT[OLK. 7;J3
J'oii 1*011 (l<Mliii(
fxsini =-=|ùt suit =fx sini
relation qui exprima que, pour toutes los couches d'épaisseur finie, fxsint est constant. II est évident <pie la ni^me relation subsiste lors même que la deiuMté du milieu ou Tindice de réfraction varierait d'une manière continue : on a donc d*une manière gifoënilp fxsint =C et, si yi^ et 4 Mnt les valeurs de ^ et de t k lorigtiie, relation précédente devient
fisinr«^8int.;
or, si les coodies succesiiives ont des densités qui «varient, infiniment peu lorsqu^on passe de Tune belles à la couche voisine, tes éléments consécutifs de la trajectoire sont très-petîls, Tangle / que fait un des éléments avec la normale h la couche devient l'angle de la tangente à la trajectoire avec c<»tte normale qui est Taxe des c, et Ton a
tnngt^-j:; en combinant cette équation avec la première, on aura
ré(|uation de la trajecioîri».
On tire de la première
d'oii
et par suite
«^mi —=!=:: , ro«i= ■ ■
ii»sini, ér
Telle est ré(|uation différentielle de la Irajecloin» : il ne reste plu** qu'à intégrer: mais l'intégration est inutile pour le but que nous nous proposons.
Dans le cas des réfractions astronomiques, [i est une fonction de z qui décroît à mesure que z augmente; dans des circonstances particulières il pourra se faire que, pour certaines valeurs de z. jEx décroisse en même temps que zx le phénomène du mirage aura lieu si la trajectoire du rayon de lumière a une tangente horizontale: dans ce cas, le rayon, après s'être rapproché de l'horizon suivant SI (fig. *î()9) par exomple, |K)urra se reWer suivant 10 et montrer à
73a LE(;ONS SUR LOPTIQUE.
l'obseiviilpur. dans une direction OS', l'image S' d'un objet S placé
à une L-crtainc hauteur au-<le!<sus de cette surface.
Concevons que la dciiijilé de l'air aille en croissant à mesure qu'on se rapproclic du sol et jus<|u'à unctrès-petîte distance de l'horizon:
la trajectoire d'un rayon lumineux arrivant de S (Cig. 963) jusqa*i cette distance sera une courbe concave vers l'horizon, et si, » |>artir
- rig. .63.
de la hauteur dont it s'iifjit jusqu'au sol , la densité de l'ulr va en décroissant, il arrivera, pour un grand nombre de rayons, que la courbe restera toujoui's concave: mais pour d'autres plus inclines il pourra se faire (|ue le sens de la courbure clianf'c: il y aura alom un point d'inl1e\ion et. dans ce cas, si le rayon n'est pas arrêté à la surface de la terre et si la couche limite est sullisamment élevée, la trajectoire se relèvera vers l'œil 0 d'un observateur et lui dnnneiv une image S' de l'objet: mais une seconde image S* sera visible: c'est celle que produisent les rayons envoyés directement par l'obiet a l'observateur et qui lui sont parvenus sans avoir traversé les couches d'air inférieures. Ainsi l'observateur croira voir les objets tels que S
MÉTÉOllOLOr.lE OPTIQI È. 73o
et leur image S' renversée et telle que la produirait un miroir; si parmi ces objets se trouve l'atmosphère bleue, il apercevra vers le bas l'image bleue du ciel, ce qui complétera l'illusion et fera croire à la présence d'une nappe réfléchissanle.
A21. Cendittoiis ûwt iihéneniéne. — Pour que ces phénomènes se manifestent, il faut que la trajectoire lumineuse ait um*
tangente horizontale, c'est-à-dire que Ton «it^=o: l'équation différentielle de la courbe devient alors
fi^- fx^sm^>„;
or, comme sini^ est toujours plus petit que l'unité, > est toujours plus petit que (â^; il faut donc que la densité de l'air oii se trouve la portion de la courbe à tangente horizontale soit inférieure à la densité de l'air à une certaine hauteur. L'air doit donc être plus échauffé nu contact du sol; cette condition se trouve remplie toutes les fois qu'une plaine a reçu la chaleur des rayons solaires et que les couches d'air en contact avec le sol ont pris une disposition différente de l'état d'équilibre ordinaire.
Ce phénomène se présente assez rarement dans les climats du nord , car le sol n'est pas fréquemment dépourvu de végétation sur une grande étendue. Cependant on l'observe sur les grandes routes qui présentent un développement assez considérable dans le sens rectiligne, dans les Landes et les plaines sableuses de la Provence, enfin en Kgypte , où on l'étudia pour la première fois.
i!22. rnirafe latéral et mirage supérieur. — Puisqu'une simple distribution inverse de couches d'inégale densité suivant la verticale donne lieu au mirage, on doit l'observer dans des circonstances diverses : ainsi, il y a quelques années, on pouvait voir des effets de mirage latéral sur un mur du jardin du Louvre détruit actuellement. Des phénomènes de ce genre ont été fréquemment observés sur les côtes de Normandie et de Picardie , car souvent la mer est plus chaude que la terre, et, si l'on regarde un objet, on en voit l'image latérale. Sur les cAtes sablonneuses de Dunkerque, Biot et
Veabst, IV. — Confi ronces de ptiysique. k'j
736 LE(;0.\S SLR L'OPTIQIK.
iM. Mathieu oiU eu plusieurs fois l'ocrasion de Tobserver lors «le leurs opérations pour la mesure de la méridienne.
Il arrive même quelquefois une chose assez curieuse : à mesure que Ton abaisse le point lumineux vers la couche avant le minimuin de densité, l'objet finit par ne plus être aperçu. Il résulte aussi de là qu'une personne peut être vue seulement en partie, car il pourra se faire que, parmi les rayons qui partent de certains poinis de l'objet, les uns, qui se redressent, passent au-dessus de l'œil, les autres, qui s'infléchissent vers l'horizon, passent en dessous.
Dans les mers polaires, il arrive souvent que l'on observe une image supérieure et renversée des objets; le mirage est alors supérieur. L'air étant extrêmement froid à la surface du sol , le décroissement de densité dans le sens vertical y est beaucoup plus rapide .que dans nos climats; on conçoit donc que le mirage supérieur s'y produise fréquemment. Du reste, on peut dire que le mirage supérieur existe toujours, car, d'après ce ([uc nous venons de voir, le mirage se manifeste quand les rayons lumineux traversent sous de grandes incidences des couches de densités décroissantes: or, dans l'air supposé calme et dans les états ordinaires du sol, la densité des couches diminue à mesure que Ton s'élève: il doit donc se produire un mirage supérieur; mais, dans les climats tempérés, la loi de décroissement est lente, les rayons partis d'un objet sont réfléchis de manière à ne pouvoir aller de nouveau rencontrer la surface delà terre qu'à une très-grande distance. On peut, grâce à ce phénomène, voir quelquefois des objets situés au delà de fhorizon, mais c'est extrêmement rare. Dans les cas ordinaires, cette sorte de mirage échappe à l'observation pour les objets voisins, parce (|ue les rayons vont rencontrer la surface de la terre trop loin, et pour les objets éloignés parce que la lumière esttro|» atriiiblio par son long |)arcoui*s.
/i!23. Objectlenii feite» à la tiaéorle 4e M^wkgm. — La théorie (|ue nous venons d'exposer n'est (|ue le développement de Texplication suivante donnée» [)ar Monge : lorsque le sol est très-échauffé , l'atmosphère se dispose* inx couches dont la densité va en décroissant: outre les rayons qui arrivent directement à l'œil, il en arrive d'autres qui sont déviés et réfléchis totalement.
MKTÉOROL()(;iK OPTIQIÎK. 7;^
On a fait » cette explication diverses objections; ainsi on a dit qu'il n*y «ivait pas réflexion, car, pour qu'il y ait réflexion, il faut que le rayon incident fasse un angle avec la surface; or il finira par élre langent à une couche d'air, il ne pourra donc pas se réfléchir.
En réalité ce n'est pas là une objection ; il est vrai que le rayon une fois horizontal ne peut plus se réfléchir; mais, si l'on démonti*e par les lois générales qu'il doit se relever, c'est comme si Ton démontrait qu il se réfléchit : c'est donc une difliculté de mots qu'il faut faire disparaître complètement par la théorie.
Nous avons trouvé f4us haut réqnatioo delà trajectoire du rayon lumineux, mais on a objecté à ee calcul que la formule
fisiiiff = /ii^8ioto9
qui sert de point de départ, n'a de seos qu'autant qu'il y a réfraction, et que par coasëquent eUe ue convient que jusqu'au point où le rayon est devenu horizontal. Au delà cW un résultat analytique dont la signification physique aeêt pas du tout déoiontrée. C'est là que se trouve la ilîfteuiié : on y a répondu de deux manières. Dans la théorie de l'émission, on a dit que le rayon lumineux produisant le phénomène rencontrait dans les couches atmosphériques une puissance réfringente successivement décroissante, se trouvait attiré sans cesse par les couches supérieures et plié vers elles, et, si l'inclinaison est convenable, cette attraction pouvait aller jusqu'à le courber et l'obliger à revenir vers le haut de manière à traverser de nouveau les mêmes couches en sens contraire et à remonter \ ers le point où arrive le rayon direct.
h^à. Théorie de Bmvais* — La théorie des ondulations a conduit Bravais au même résultat. Considérons une série de couches parallèles entre elles, de densité variant d'une manière continue, (le que nous avons appelé trajectoire du rayon lumineux est une courbe normale aux surfaces des ondes, c'est-à-dire aux lieux des points animés à chaque instant d'un mouvement concordant. Le problème à résoudre est donc celui-ci : étant donnée à un instant quelconque la forme de la surface de l'onde, chercher comment elle est altérée.
Comme tout est symétrique autour de la verticale, toutes les sur-
IS» t.E(;ONS SUK i.OI'TllJ[îl-:.
faces dp l'onde .sont de révolution autour de cette droite; il suffit
donc de savoir ce qui se passe dans wn ))lan méridien.
Considf^rons donc, dans le |ilan méridien, an rayon de lumiérp SI ((ip, -iB/i) qui rencontre en I la ronche II', menons la normale IP à rc rayon: soient SI' un antre rayon incident «^mnnant de la m^mc source cl l'I* sa normale. Le rayon SI se réfracte (généralement et les deux rayons sont tels qu'ils arrivent en même tcin|is, l'un en 1'. et l'autre en 1"; la droite \T sera donc, d'aprfts la pr«t-
prictr de lu trajectoire, la nouvelle normale au rayon réfracté, el ir nn élément infiniment petit de la Irajecloire du rayon; le lemus employé à le parcourir est fith, en désignant par (i l'inverse de la \itesse de la lumière dans la couclic d'air et par ttn l'élément II'. Lp rayon SK , qui arrive en K en ni^nic temps (jue SI arrive en I, parcourt l'arc Kr=^//jt' de sa tnijertoire avec tine vitesse dont l'inverse est [i; il emploie <l«nc le temps fiih' qrii est égal à /a A.
Il s'njjit de dél((i'niiner ft' et fis'-, or on a d'abord jM' = f/ + ((a; puis les deux arcs th et tin' appartiennent à deux trajectoires infiniment voisines qu'on peul regarder comme ayant même normale et mfime ccntR> de courbure 1*. de sorte que, p étant le ravon de courbure de II" et p celui de Kl', on a
du p'
Or "Il a p- p rr. <'t, dans le triangle U'I', M'^rfutangl'H': mais l'angle l''ir es! formé par le rayon incident avec |« surface
d'incidence, donc il est égal au compit^nicnt de i dunt la (an^^ente est n^; donc on a Vl" ^^(is-j--^ et la proportion précédente devient
ils' " il: , ' 0 — r as
d'où
ffit' ils ( ! }~ flx] '
En substituant s fx eA h ds' leurs valeurs, on trouve
' ^ il: p r/.i-
Le terme du dëveloppeuient qui viendrait ensuite serait du troisième ordre; nous ne l'écrirons pas.
L'é(|uation ^lU = uih devient donc, en supprimant^ les termes comnmns.
a: p (tv
c'est une équation différentielle du second ordre que nous pouvons encore transformer. En effet, on en tire
i dpi 1 ds ^ fi (l: p r/.i" '
or on n
ds I (/: ' \ * I r/.ï *
et en substituant ces valeurs il vient
I (lu dj- du d.i d.t
fi d: . d:^ (à . dz^
Le numérateur de la fraction du second membre est la moitié de la différentielle du dénominateur; on a donc, en intégrant.
dy-
'•^^^'•(•-^sp) '^'-^^
7/iO LE(;o\S SLK L'OPTIQUE,
d'où l'on lire
Telle es! riiitégrale ])n»inière de l'é(|uatioii du second ordre, et par suite IVquation différenlielle du premier ordre de la trajecloire. La valeur de la constante (i n'est autre chose que /lAsiiii; aiusi la théorie générale nous conduit à la même équation que le raisonnement que nous avons lait précédf'mment ; nous en conclurons que le raisonnement était exact.
3** RKKRACTIO> À LA SLRFACe DES PLA^ÈTKS.
Mo. Équations différentielles de la tn^eetoire d^n rajon lumlneuiL. — Nous n'avons considéré dans ce qui prccMe (pie rinllucnce de l'atmosphère terrestre sur la marche des rayons lumineux. M. Kummer ^*^ a obtenu des résultats très-intéressants en étudiant ce qui se passerait à la surface d'autres planètes.
(Considérons un milieu où l'indice de réfraction n est une fonction continue des coordonnées .r, y. :; soity(x,y, r)=H cette fonction: pour avoir les équations différentielles de la trajecloire d'un rayon lumineux, il faut exprimer (pie le rayon lumineux se rend d'un point à un autre dans le temps le plus court, c'est-à-dire que l'intégrale itidit est minima.
Or on a
L'iiih'jjrale à rendre iniiiiina esl doue
Applicpions les principes du calcul des variations, nous aurons Ie5 équations
^' MoHfttHherivhle thr ikadrmù' :n bfilin^ iSCio, j). /loT). Verdct «i iloiim* iiik* aiiatis? 'lu iiiéiiioiiv (if? M. kiiiniiicr dans k>s inn. ffr vhim. et df ffhyk.^ (3), Ll, ài)!» [i86i|.
MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 7ai
ou
et de mc^iiK'
du (I f lut \
dn d I iiy'
r/^ rf / nz' \
En remplaruiil dans ces trois (3(|uations vy"^+y'^+-' ^' p^r sa valeur rf», on a |)our équations différentielles de la trajectoire d'un rayon lumineux, dans un milieu ({ueiconque dont // est l'indice de
réfraction,
, (tji -,-
(In as
d.r " ds
. r/v , d.n ~ du ff,v
dn ' ds d: ds
et on prou\e aisément (|uc ces trois équations se réduisent réellement à deux, Tune quelconque d'entre elles étant une conséquence des deux autres.
&!26. A|i|ilieati«ii à une atinos|iliére foraièe de eoueltee e^neentrliiues avee la iiUméte. — Supposons ces équations ap- |)liquées à une atmosphère planétaire disposée par couches d'égale densité concentriques avec la planète: l'indice n sera simplement fonction de la distance r du point ccmsidéré au centre de la planète, et la trajectoire sera plane. Si l'on prend le plan de cette trajectoire pour plan des x,y. la troisième équation différentielle sera satisfaite d'elle-même, et on déduira aisément des deux premières
, d,i' , dy tjaji -à — ,vdji -f =-= o,
lut LEÇONS SLR LOPTIQUE.
en ayant é|,'ard à la circonstance que, n étant simplement fonction
(In
(in
(\p \ x^-\-if''. IVxpression y > - .r-y , est nulle. Développant, on ob-
tient
/ . (I.v I (ly\ I I <l^ ''>'\
•' (Is (IsJ •' (Is tls '
^Vsl-à-din*
, / (h <Iy\ ( lit d\\ j
V' (h (hj •' (IS (IsJ
(Ir (h
ou. en posanl ,r * y . y;.
ndn • ikIh 0 .
doni rinff'jfralr osl
Si Ton passe des coordonnéps rertan^julaires au\ coordonnées polaires, en faisant
cette éfjuation devient
\ dr^ k r-d^' d'où
Soit R le rayon de la planète; posons r R + r, R^ - ii. On pourra considérer u et r comme les coordonnées d'un point quelconque de la trajectoire dans un système particulier, où les abscisses « seront des arcs de grand cercle comptés à la surface de la planète* et les ordonnées r des hauteurs verticales comptées à partir de la même surface. L'équation différentielb» précédente deviendra
IU:(/r
du
(\\-hv)\{\\-hvyn'-C:
et si Ton place l'origine des coordonnées au point oh le rayon rencontre la surface de la planète, si de plus on désigne par m. et par •
MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. UZ
les valeurs en ce point d<» l'indice de réfraction el de Tangle de la trajectoire avec la direction du rayon de la planète, on aura, en remarquant que i a pour sinus la valeur particulière de l'expression
pour // o. *• 0.
ou
(i K//..sin/
('' U/i..snurtr
^37. Di««iiMiloii 4r réquatieii de la trajectoire. — On
admettra, pour dis<:uter cette e\pi*ession, que l'indice de réfraction, toujours plus [jrand qur l'unité, est une fonction vontinue de la seule hauteur v. <|ui tend vers une limite Unie lorsque v devient intini,et dont les deux premières dérivées ne deviennent infinies pour aucune valeur positive de v.
On supposera d'abord que pour toute valeur de r l'expression
\ (K--r)^,r K-//;;sin^'
garde une valeur positive ditt'érente de zéro. S'il en est ainsi, on démontre aisément que l'intégrale qui donne la valeur de u, prise entre les limites o et oo , conserve une valeur finie: en désignant cette valeur parc, l'équation
rej)résente une asymptote dont la trajectoire lumineuse s'approche indéfiniment à mesure qu'elle s'écarte delà planète. Réciproquement, un point situé à une très-grande distance de la planète, sur la verticale dont Téquation est ii = c, envoie à l'origine des coordonnées
un rayon qui y parvient sous l'inclinaison /. L'excès de l'angle p formé par les verlicale> de l'origine des coordonnées et du point
7/j/i LEÇONS SUR l/OPTKiLK.
n-^c sur l'anjjle / c^st ce (ju'ori appelle la réfraction astroMOfntque, dans le cas restreint (|iie Ton considère ordinairement.
Supposons, au contraire, que \^ s'annule pour une ou plusieurs^ valeurs positives de t\ et soient h la plus j)etite de ces valeurs, a la valeur d<' h correspondante, on aura
ff = I —■ •
.'o (H-hr)v\
On a d'ailleurs, en vertu du théorème de Taylor. en désignant par V(/') la valeur de V (pil ré|)ond à une \aleur particulière I de la variable plus petite ([U(» h,
I «Wanl compris iMitre zéro et h.
Donc, si \'[b) nVst [)as nul en in^^me temps que V(A), r*est-àdire si, lorstpie v passe par la valeur />, V s'annule en changeant de signe, on poui*ra poser
W élanl une l'onction de /* <[ui demeure finie el dill'érenle de zéro pour v=- b. On en conclura, ni applicpiant les règles relatives auv intégrales définies singulières, que la valeur ci-dessus de <i est finie. Au contraire, si \'(h) s'annule en même temps que V(6), on devra j)oser
V\ étant une fonction de v qui ne devient pas infinie pour r:^=A, et on en conclura que la valeur de* a est infinie.
Dans le premier cas, a étant fini, la trajectoire du rayon sVlcve de Torigine jusqu'au point dont les coordonnées sont a ei h; comme
ensuite r ne peut dépasser la valeur b sans que V V devienne imaginaire, on doit, lorsque cette \aleur est atteinte, considérer r romme décroissant t»t allrihuer lo signe à dr. On détermine ainsi une seconde partie de la trajectoire, exactement symétrique de la première, qui par conséquent \a rencontrer la surface de la planète au |M)int dont Tabseisse esl -ui. Il est évident cjue cette marche des
rayons lumineux constitue prérisénient le mirage supérieur dont il a clé question précédemment (422).
Dans le second cas. a devenant infini lorsque v tend \ers la valeur Unie by la trajectoire lumineuse tourne indéfiniment autour de la planète en s'approcbani du cercle asvmptote dont le rayon est
Il est important de considérer Tinfluence de l'incidence i Supposons que l'expression (R + tM^w' prenne sa plus petite valeur pour v = l3^ et déterminons la valeur particulière 1 de i qui réduit V à zéro pour «^ = j8. Cet angle étant aigu, nous aurons
il est clair que V ne pourra être nul que si / est compris entre les
limites I et -• Par conséquent, tous les rayons qui à l'origine feront
avec la normale un angle moindre que 1 s'écarteront à l'inlini de la planète en se rapprochant d'asymptotes rectilignes. Ils offriront donc tous les phénomènes de la réfraction astronomique plus ou moins développés. Mais tous ceux dont l'incidence originaire sera plus grande que I s'élèveront seulement à une hauteur b moindre (pie jS et retourneront à la surface de la planète, a moins qu'ils ne tournent indéfiniment autour de cette surface, en se rapprochant d'un cercle asymptotes En particulier, les rayons pour lesquels / - I ont un cercle asymptote dont le rayon est R + jS, car la valeur dt* V atteint vson minimum pour r---j8, et, comme elle est nulle si on joint à cette hypothèse relie que /=^I. il en résulte que l'on a simultanément V^=-=o, \' o.
/|28. Restpietloiis à Intr^ilulre dan» r»ppll<M»ttoii ans planètes du «ystéme ••lalrc. — ConaéqueiieMi. -^ Pour appliquer ces considérations aux diverses planètes du système solaire, on devra les supposer parfaitement sphériques et négliger la variation de la température de l'atmosphère qui dépend des coordonnées géographiques. On pourra même, dans une première approximation, négliger la variation (pii dépend de la hauteur, et représenter on conséquence le ra|>port de la densité d'une couche atmosphérique
7à6 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.
(le hauteur v à la densité de la couche superfirielle par l'expression connu*'
où A dësi(|[ne |a hauteur d\iiie colonne axant partout la méiue densité i\ue la couche superticielle, (|ui exerc«'rail une pression égale à celle de Tatmosphère totale. Il suit de là <juVn appelant k In puissance réfraclive de la couche superlicielh» on aura
I À ■ Il - r I
