ARC-EIS-CIEL

^àl. DMieriptloii du pliéii#méneé — Les gouttelettes d'eau provenant de la condensation des nuages produisent, lorsqu'elles réfléchissent les rayons solaires, un phénomène très-brillant que l'on appelle arc-en-cie/. On l'observe à l'opposé du soleil, lorsque les rayons solaires rencontrent de ce côté un nuage se résolvant en pluie : il se présente sous la forme d'un arc de cercle dont le centre est sur la ligne passant par le soleil et par l'œil de l'observateur, et qui est formé de bandes concentriques offrant toutes les couleurs du spectre, le rouge à l'extérieur et le violet à l'intérieur. Trèssouvent, en dehors de ce premier arc, on en distingue un second, beaucoup plus pâle, qui présente la même série de couleurs que le premier, mais dans un ordre inverse. Dans la région comprise entre les deux arcs , le ciel paratt plus obscur que partout ailleurs.

La théorie de l'arc-en^ciel , entrevue depuis longtemps, a mis un grand nombre de siècles à se compléter. Les premières idées exactes sur l'explication de ce phénomène paraissent dues à Théodonch. moine dominicain, qui en donna, au xiv* siècle, le vrai principe reproduit plus tard par Antonio de Dominis, archevêque de Spalatro en Dalm^tie. La théorie développée par Uescartes et reprise par Newton, qui ne fit qu'expliquer la coloration, a été complétée dans ces derniers temps par M. Airy : elle se trouve maintenant établie de la manière la plus satisfaisante.

La description que nous avons donnée du météore indique déjà qu'il est dû à une combinaison de réflexions et de réfractions de la lumière solaire. Il y a réflexion, car on voit l'arc sur les nuages à l'opposé du soleil ; il y a de plus réfraction , le phénomène de dispersion qu'on observe en est la preuve ; et comme l'arc-en-ciel n'apparatt qu'au moment ou les nuages se résolvent en pluie, on peut

^') On n^a pas reproduit ici Pexplicalion complèlc du phénomène des couronnes parce qu^ellc il été donnée (lar Verdet dans un mémoire inséré aux Annale* de chimie ei de phyeique (3), XXXIV, p. 99, et réimprimé dans le tome l*' de sesoiuvres, p. 97.

760 LEÇONS SIJR L'OPTIQUE.

en conciiin* (|irii y a réflexion de la lumière sur les gouttelettes d'eau et réfraction dans leur intérieur.

442. Prineipe de la tliéarle de Deaearte». — Considérons une gouUe d'eau, à laquelle nous pouvons supposer la forme sphérique, puisque c'est la forme d'une masse liquide abandonnée à elle-même: supposons qu'elle soit rencontrée par un faisceau lumineux composé de rayons parallèles et cherchons ce qui se passe dans un plan de symétrie : une infinité de rayons parallèles situés tous dans ce plan arrivent à la circonférence de grand cercle qui limite la goutte d'eau; ils sont partiellement difl'usés à la surface extërieare de la goutt<' et rendent visibles le nuage et la chute de la pluie: parmi ceux de ces rayons qui pénètrent à l'intérieur de la goutte, il en est qui, après s'être réfractés à la première surface, se réflë^ chissent à la seconde, sont renvoyés vers la première et sortent de la goutte, soit immédiatement, soit après avoir subi un certain nombre de réflexions intérieures.

Etudions en particulier ceux de ces rayons qui émergent après une seule réflexion à l'intérieur : il est visible qu'ils n'éprouvent pas tous le même changement de direction ; or, s'il en est un dont la déviation soit un maximum ou un minimum , un rayon très-voisin de celui-là, en dessus ou en dessous, émergera en faisant avec lui un angle qui sera un infiniment petit du second ordre, tandis qu'ji une certaine distance de ce rayon deux rayons incidents infiniment voisins soiiiront de la goutte en faisant un angle qui sera un infiniment petit du premier ordre. Il résulte de là que les rayons émergents ne seront pas renvoyés indifleremment dans toutes les directions et par suite ne seront pas distribués uniformément dans toutes les portions de l'espace : il y aura accumulation de rayons dans le voisinage de la dii*ection d'émergence du rayon qui correspondra au maximum ou au minimum de la déviation, et il en résultera un plus grand éclairement si l'on admet que les intensités des rayons s'ajoutent toujours arithmétiquement.

Au lieu d'une goutte d'eau . si Ton considère un système de gouttes frappées par les rayons du soleil , celles qui sont dans une position telle que les rayons qui émergent dans la direction d'éclairement

XIÉTÉOROr.OUIE OPTIQUE. 761

I lombent dans l'œil de l'observateur paruitroiit plus brillantes que les autres et se dessineront avec plus d'éclat sur le nuage qui se résoiil en pluie; et, comme le phénomène est le même dans touN les plans qui se coupent suivant la droite menée |Nir h soleil et l'œil de l'observateur, l'ensemble des gouttes les plus éclairées formera un arc de cercle dont le centre sera sur cette droite et dont l'étendue varient aver la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon.

Telle est en résumé la théorie prnpnsée par Desrartes et que nous allons développer.

â^3. ItoranB «nieacca. — Soit un ruuin lumineux SI (lig. a 66) émanant d'un point de la surface du soleil et tombant sur une goutte d'eau de forme sphérique. Par ce rayon et le centre 0 do la goutte menons un plan qui détermine pour section un grand cercle. Li'

rayon incident SI se réfracte en se rapprochant du centre, et arrive suivant U' fi la <leuxiémp surface; au point 1' une partie du rayon émerge et «ne autre se réiléchit suivant l'I', arrive en 1' où se produit une autre réflexion partielle, et ainsi de suite justju'au point 1", par exemple, où nous considérons le rayon émargent TR'. Ce rayon a donc été réfléchi un nombre quelconque de fois et réfracté deu\ fois. Pour déterminer sa direction, cherchonH l'angle dont tourne le rayon à chaque rencontre avec la surface. Ces rotations connues, si l'on en fait la somme arilhniélique on aura l'angle

dont il faut faire tourner le rayon incident pour avoir la direction d'émergence. Cet angle, (|ue nous appellerons rotation totale, pourra être de plusieurs circonférences. Il est un autre angle très-important aussi à considérer, c'est celui que fait la direction du rayon émergent tel ({ue Y^ dans le sens suivant lequel il se propage avec le rayon incident IS compté du point d'incidence vers le soleil : on l'appelle la déviation.

Pour trouver la valeur de ces angles, désignons par i l'angle d'incidence, par r l'angle de réfraction; ? — r est la rotation du rayon réfracté IT par rapport au rayon incident SI prolongé; l'angle dont tourne ensuite le ravon est

Hrr^-TT-irr':

or iri"= ar, donc la rotation est égale à w — ar. Toute rotation ultérieure aura la même valeur; donc la rotation totale pour un nombre de réflexions représenté par k est

k(it — fir).

A l'émorgence» l'angle de réfraction étant r, l'angle de la normale avec le rayon émergent sera t, la rotation sera encore t — r, et l'on aura, en désignant par p la rotation totale,

La direction du rayon émergent se trouvera donc définie sans ambiguïté quand on connaîtra l'angle d'incidence et le nombn^ de réflexions.

Pour deux rayons du faisceau incident placés symétriquement par rapport à la droite qui va du soleil au centre de la goutte, les angles d'incidence ont la même valeur: il en est de même des rotations : lesra>ons à l'émergence sont donc symétriques; de plus, si l'on considère des rayons d'un même côté de l'axe de symétrie, l'angle t a des valeurs qui croissent depuis zéro, et l'angle p prend des valeurs correspondantes; il en résulte que le faisceau de rayons parallèles qui tombe sur la goutte d'eau se transforme, après un nombre quelcon(|ue de réflexions, en un faisceau divergent. Si l'on

MÉTÉOROLOCIB OPTIQUE. 763

reçoit ce faisceau sur un écran, réclairement, au lieu d'être indépen* dant de la distance comme cela serait si Ton supprimait la goutte, va en décroissant très-vite à mesure que Ton éloigne l'écran de la goutte. De plus, si l'écran reste à une distance constante et que Ton en considère différents points, Téclairement n'y sera pas uniforme; il sera d'autant plus grand que l'écart angulaire de deux rayons émergents provenant de deux rayons incidents voisins sera plus petit; et si cet écart est assez faible pour qu'il y ait presque parallélisme, l'éclairement qui en résulte sera incomparablement plus grand que dans le voisinage.

Il est clair a priori qu'il doit y avoir quelque chose de pareil pour que l'arc-en-ciel se produise; en effet, si en aucune région l'intensité de la lumière réfléchie n'était plus grande que dans les régions voisines, le nuage qui se résout en pluie offrirait un éclairement à peu près uniforme dans toute son étendue.

On arrive à la même conclusion par l'étude de la. fonction p. Soit I la valeur de l'incidence qui correspond à un maximum ou à un minimum de cette fonction, si elle en est susceptible; pour les valeurs de i voisines de I, l'angle des rayons émergents provenant de deux rayons incidents très -rapprochés sera extrêmement petit par rapport à celui que formeraient à l'émergence deux rayons également rapprochés l'un de l'autre, mais dont la rotation ne serait pas voisine du maximum ou du minimum : en d'autres termes, une variation infiniment petite de i produit en général une variation de même ordre pour p, mais dans le cas du maximum ou du minimum la variation de p est un infiniment petit de second ordre; les rayons émergents, étant presque parallèles, produiront un éclairement plus grand et dessineront sur le nuage une ligne brillante dont il s'agit de chercher la position et la forme. On appelle rayons efficaces ces rayons qui correspondent au maximum ou au minimum de la rotation.

Le point important consistait à établir qu'après un nombre déterminé de réflexions il y a une direction unique pour ces rayons efficaces. C'est Descartes qui en a démontré l'existence et expliqué les propriétés. Pour ce qui est de la coloration du phénomène, il la reproduisit en exposant une boule de verre à un faisceau de rayons so-

704 LEÇONS SLK L'OPTIOIjE.

laires; ^e\\(on lit connaître ({uollc vn était la nature el couipléta ainsi la théorie de Descaries.

fiàà. DireetioB des rayons efllc»mfi« — Les rayons eiljcaces ont pour angles crincidenre les valeurs de i qui rendent la rotation maximum ou nn'nimum. c'est-à-dire celles (|iii annulent la dérivée de p prise pai' rapport à /: on a donc

et comme, de ré({uation