U'^ — 1 ( /•- — •>/»• ) COS V

et enfin

(t ) COS/ = 1/7. , .

c étant plus petit que 90 degrés, sa valeur est déterminée sans ambiguité par cette équation, et il en est de même des valeurs de r «t de p.

MKTÉOKOLOlilb; OPTIOLK. 765

On voit d'abord, parla valeur de cos ?, que. si n est pliis petit que Tunité, il n'y a jamais de rayons efficaces. Ainsi, un nuage.de bulles d'air, observé du fond d'une masse d'eau, ne donnerait pas d'arcen-ciel. De plus, cos i devant être plus petit que l'unité, on doit avoir

ou

Si l'indice n est compris entre i et îj , il y aura des rayons efficaces, quelle que soit la valeur de /r, qui est toujours au moins égale

a l'unité. L'indice de réfraction de l'eau étant d'environ J, on en

conclut que, lorsque les rayons solaires tombent sur des gouttes d'eau, il y a des rayons efficaces pour tous les nombres possibles de réflexions intérieures.

Si n est compris entre â et 3 , /; doit être au moins égal à a ; ainsi , dans un nuage de petites sphères de diamant, ou, ce qui est facilement réalisable, dans un jet de sulfure de caFbone tenant du phosphore en dissolution, le premier arc manque; celui qu'on voit correspond à deux réflexions, aussi est-il très-pâle.

En général, l'indice étant compris entre deux nombres entiers consécutifs, le nombre de réflexions k doit être au moins égal au plus petit de ces nombres.

4â5. Explleatioii des ••«Icura. — L'arc-en-ciel n'est pas seulement une ligne brillante; c'est de plus une ligne colorée. Pour se rendre compte de cette coloration, il suffit de remarquer qu'à chaque valeur de l'indice de réfraction n correspond une valeur de p déterminée; il y aura donc autant de rayons efficaces différents qu'il y a de rayons différents dans le spectre solaire; aussi le phénomène sera-t-il formé de bandes diversement colorées. On peut déterminer l'ordre dans lequel se présenteront les couleurs. En effet, dan$ l'expression générale de la rotation,

si l'on convient de représenter par p la rotation minima pour un

766 LEÇONS SUR LOHTIQUE.

nombre k do niflexions, p ne dépendra plus que de la variable n, et, par conséquent , on verra comment varie la rotation des rayons efficaces lorsqu'on passe du rouge au violet en cherchant le signe àe^: à cet eflTpt, prenons la dérivée de p par rapport à n, nous aurons

du ' (Ifi ^ ' f du

Pour remplacer -T- et -T- par leurs valeurs, revenons à Tëquation (i); il viendra, en prenant la dérivée des deux membres»

et comme

on a

r// '}Sk^~^^k)

dn ^ ^ ■>'^]'(7.^ir--/ê-i '

D'un autre roté, on tire de l'équation sin i=n sinr

sini 1 (A-hi)* — n* sni r = — = " 1 / — n ï —

ros

dr \ f . di . A

d'où l'on déduit

dr 1 r n^(k^-\-ik) /(Ah-i1*-/iO

il j

et enfm, en portant les valeurs de r- et j- dans l'expression dn t^»

dp 2 y (A 4- ly — /i' c/w 7t y n- — 1

Celte expression est toujours poj-itive. ci par suite la rotation des rayons efficaces augmente d'une manière continue lorsqu'on passe (les rayons rouges aux violets.

446. De« tkrwm visibles. — Cherchons maintenant quelles sont les conditions de visibilttë du phénomène. Supposons qu'on mène par l'œil de l'observateur 0(fig. 267) une parallèle SOS' aux rayons tels que SG qui tombent sur la goutte, et faisons tourner la ligne

SCi d'un angle égal à la rotation des rayons elticaces, qui peut être de plusieurs circonférences. Si la direction des rayons émergents est telle qu'ils passent derrière le nuage, soît en s'élevant vers le ciel, soit en s'abaissant vers le sol, qu'ils ne rencontrent qu'à une grande distance, le phénomène n'est pas visible pour l'observateur; mais si la direction des rayons efficaces se dirige vers la terre suivant GO, par exemple, l'observateur qui tourne le dos au soleil a devant lui une infinité de gouttes qui lui renvoient une lumière très-intense. D'ailleurs le plan de la figure est un plan quelconque passant par la parallèle OS' aux rayons lumineux: si on le fait tourner autour de OS', la direction des rayons efficaces qui arrivent à l'œil décrira un c6ne dont l'intersection avec la surface du nuage dessinera la ligne des gouttes d'eau brillantes, et, comme le phénomène est projeté sur la sphère céleste, cette ligne d'intersection sera un arc de cercle en général plus petit qu'une demi-circonférence, le soleil se trouvant au-dessus de l'horizon presque toutes les fois que l'on observe l'arc-en-ciel ; si le soleil est A l'horizon, on aperçoit une

VïiiDïT, IV. — Conrérencn) i\e {itijtltjLie. 't^

708 LliCONS SI l( LOPTIOUK.

(l(Mni-circoiilV*n*nn'; riiriii, s*il <'st au-dessous de riiorixon ef i|u*ou observe le phénomène en ballon ou du haut d'un pic élevé, on verra plus d'une demi-circonférence; ces dernières circonstances se présentent assez rarement.

Nous avons supposé jusqu'ici que le système des gouttes d'eau qui produisent l'arc-en- ciel était immobile; en réalité, les gouttes d'eau sont en mouvement, et le phénomène serait instantané si, en se succédant assez rapidement à la même place, elles ne produisaient sur la rétioe une impression persistante.

Du reste, on a souvent occasion d'observer les effets produits par un systènie de gouttelettes d'eau immobiles, le matin, lorsque la rosée forme des gouttes égales à la même hauteur sur Fherbe d'une |)rairie. Dans ce cas, l'arc étant déterminé par rinteraection de la surface conique dont nous avons parlé avec la nappe de gouttelettes qui est à peu près plane et si peu de distance de Tobserrateur. l'intersection peut être une des trois sections coniques; Fins lumineux que l'on observe est le plus souvent un arc d'ellipse.

/|/i7. Premier are. — Considérons en particulier le cas où le milieu réfringent est l'eau, el cherchons l'effet produit sur les rayons lumineux par une seule réflexion. Pour cela, dans la formule générale de la rotation,

nous ferons /•== i et nous substituerons h I el à r leurs valeurs déduites de ré(|na(ion

'-"" - yj iPT-.iir

qui donne la direction des rayons ellicaces. (îes directions changent avec l'indice de réfraction des rayons que Ton considère, et, si l'on

prend les valeurs - ou ^- el^--pour indices de réfraction de l'eau

relativement aux rayons rouges et violets, on en conclura pour les rotations correspondantes

*> ri / •> ' p, 1 ♦>() '10 -H) .

MKTKOIU)LO<;iK OPTIQIJK. 769

Un rayon de lumière blanche tombant sur la goutte (j dans la direction S(i s'épanouira <lonc, après une réflexion dans rintérieur de la goutte, en un faisceau divergent compris entre les rayons GRet GV, et tous les rayons colorés effic«ices réfléchis une fois dans la goutte se trouveront compris entre les deux surfaces coniques que l'on obtiendrait en faisant tourner les droites GR et GV autour de GS' comme axe. Par conséquent un observateur dont l'œil est placé en 0recevra dans la direction GO de la goutte G une lumière rouge plus intense que celle qu'il reçoit des autres gouttes situées dans le même plan, et, comme les choses se passent de la même manière dans tous les plans menés par la h'gne SO, l'œil recevra des rayons efficaces rouges de toutes les gouttes qui seront à l'intersection de la surface du nuage avec la surface du cône engendré en faisant tourner la droite OG autour de l'axe OS'. Quelle que soit la forme du nuage, les rayons rouges ainsi reçus par l'œil se projetteront suivant un arc de cercle qui sera l'intersection de la sphère céleste avec la surface du cône dont nous venons de parler et dont la deniiou\erture angulaire, appelée la dévifition. est égale au supplément di» p^, c'i'sl-îi-dire à

On vmra de même les autres couleurs du s|>ectre disM^minées sur des arcs de cercles concentri(|ues produits par l'intersection de la sphère céleste avec des surfaces coniques dont Taxe commun est la ligne OS' et dont la demi-ouverture angulaire est comprise entn» la déviation ROS' des rayons rouges et In déviation VOS' des rayons violets, laquelle, étant égale au supplément de p,, a pour valeur

'io"t6'/io".

(i(\s arcs seront donc distribués à l'intérieur de l'arc rouge suivant l'ordre des réfrangibilités croissantes. Il semble, d'après cela, qu(» l'on doive observer une série d'arcs de couleurs diverses et trèspures et présentant les raies de Frauenholer. En réalité, les teintes se fondent les unes dans les autres, et l'on ne voit même pas d'une laçon bien distincte l'orangé et l'indigo. On explique cette confusion des couleurs en remarquant que cliacjue point du soleil donne lieu

à un arc prticulier, et , comn)i> rd astre a un diamètre appan^nl de 33 minulr>s, Insnn-fl se sufiorjiosent |iarllcllcment i^l on n'y voit pas cIp raies pour la même raison qu'on n'en distingue pas lorsqu'un fnî.srcau luiiiincux. qtii pénètre dans une chambre obscure par une fente l'troile, tombe sur un prisme et ne traverse pas une lentille. Du reste, si l'on tonsidèrc les rayons d'une rtJfrangtbilitë déterminée partis de loule la surface du soleil et tombant sur une même «joutle, on voit ([u'ils forment un cône dont l'ouveriurc angulaire est égale au diamètre angulaire du soleil, et, comme tous ce» rayons éprouvent la même rotation, ds forment à l'émerarnce un cône de même onverlure: on a donc le véritable arc en imaginant que cbaque espèce de rayons donne lîeti >'i nue bande é^a\e au illamèlre apparent du soleil , et il y a autant de bandes que de couleurs diiïérenles: de lii le manijuc de pureté du |>bénomène résultant.

Parmi les rayons par;dlèles qui tnmbeni sur la goutte d'eau el émergent après une seule réflexion. ceu\ qui éprouvent une rolatîon minimum ne contribuent pas tous à former la partie visible de l'arcen-ciel; menons, en ell'et, par le centre 0 (fig. 'j68) de la (joulte une parallèle 80 aux rayons incidents : celte droite partage, dans le plan de la figure, la goutte en dciii; parlies symétriques; deux ravons SI et Sl|, pris à égale distance de SA el de part el d'autre de celte ligne, subissent la ménie rotation; mais tandis que les rayons tels que SI émergent en se dirigrani vers la terre suivant l'R pour produire, s'ils ont la position ^'«-■**- (jiii convient aux rayons efii-

caces , le |)remier arc-en-ciel , les autres se relèvent à l'émereion suivant IJ'H, et ne [leuvcnt être reçus par un observateur placé A la surface de la lerre, mais ils donnent un arc que l'on a quelquefois observé, soit dans les ascensions aérostaliques, soil au sommel

lU' hautes mi)iitafj[nes , en s'i^lcvant au-dea^us des nimbes. Dans ce cas, on peut apercevoir un rcrcle complef lorsque le soleil est suf- (ÎHaniinent voisin de l'horizon.

Vi8. DMnlAïae »rc. — Les rayons qui émergent après deux n'*fle\ions donnent naissance à un arc-en-riel e.\lcriour an premier que l'on appelle denxii^ine arc. Faisons en effet (t^--= ;> dans rcxjiression de la rotation , nous aurons pour valeurs des rotations des rayons cHiraces roupes et violets

p, - -i^Ui" 9'3o'.

Ces rotations étant supérieures à i8n dcjjrés, il est aisé de \oir que h's rayons ellicaces routes ou violets qui loiohent sur la j;out(e à sa partie supérieure, c'esl-à-dire au-dessus du rayon qui passe par son

centre, se relèveront après deux réflexions de manière à émerger vers le haut; au contraire, les rayons qui rencontrent la goutte h sa partie inférieure en 1 (ftg. nfiy) sont, à l'émergence, dirigés vers le has et peuvent être reçus par l'observateur.

Soient don<' GR(fig. a'yD)el GV les directions des rayons efficaces rouges et violets obtenus en faisan! tourner le rayon incident, dans le sens de la flèche, des angles p, et p.: l'observateur placé en 0 recevra plus de lumière rouge de la goutte G que de toutes les autres

ni 1,K(,;()\S SI It LOl'ïlyLK.

silui'-es dans le plan di' ia lijjurc, l'I les youtU-s <[iii lui L'iivoienl do

ravom cliicaces mugi's seront sitn''es sur iiii cône qui a pour ave OS'

l'I <loJit le demî-aiiglc au soiuim-l t-st é([al à p, — 1 80", c'esl-à-ciire à

De inètiii-. lus ([uulti's i|tii entciront en 0 dits rayuns tiulcls <-Mît:accs scTont dislnbui'CB sur iiu tôiie ajiiiil unSaie aw rjue le pn'rt-ûdeiit et dfiiil 11! denii-iinf>;le au suiiiiuel a pour valeur p, — i8<r, T'ost-â-dirv

»'i"»('mi)".

(ici au);lii i!sl plus {'rand i|uu i-elui (|iii i-urrc(i|)oiHl iiiix raxms rinryes; jiar cunsilquenf le second are-«n-ciel |)ré!i«ii(erii ses corileiini dans l'ordre iiiver.sv du premier : le vtolel iiera À IV\lérivur et le riiii|;e ù l'inléHeur. Les autres conleurs seront étalées sur lu miw comprise sur la sphère céleste entre les deux cAnes dont les demiouvertures angulaires sont &o°.>H'Jo'' et ôVj'so*.

La diiïéronce de ces deuv angles élfint 3° 1 o'3o*, si on la ronipare à la dillerence correspondanl an premier îirc <|ui est \"'iW, 011 voit ([ue les couleurs seront liien plus élaléi's dans le second arc «|Ue dans le premier : elles seront donc moins intenses pour vvlle raison, et aussi parce que la lumière se trouve répandue sur un arc a|>parteiiant à un cercle d'un plus grand diitiuèlre. Il est une autre circunstance i|ui routriliue particulièrement à affaiblir l'éclat des rayons qui ju-oduîstMit le second arc, c'est la double n>l1e\ion qu'iU /■prouvent n l'intérieur de la goutte; an^si arrîvi'-l-îl soiixeiit iiuc cet ;mt est à peine visible.

MÉTÉOHOLOGIE OPTKjLE. 773

^^\). Arc0 d'ordres «upérleurM* — Les deux iU(\s dont nous venons de parler sont les seuls qu'on aperçoive, bien que, d'après la théorie, il |)uisse s'en produire une infinité. Il est vrai que le nombre de ces arcs sera limité à cause des réflexions successives qui affaiblissent l'intensité des rayons lumineux: cependant la différence du premier arc au second n'est pas tellement grande (|u'on ne puisse penser que le troisième arc sera visible. Nous allons voir que le troisième et le quatrième ne pourraient être observés que dans des circonstances tout à fait exceptionnelles, mais que le cinquième peul être aperçu par un observateur placé entre le nuage et le soleil.

Considérons d'abord le cas de trois réflexions : faisons A* =3 dans la formule qui donne la rotation des rayons efficaces; si nous ne considérons que les rayons rouges, nous trouverons

,•=. 76"3o' et p - 3i8°a/r = 36o" - 4i°3G'.

La direction des rayons efficaces passe donc derrière le nuage et. pour recevoir ces rayons, il faudrait se trouver sur une montagne au moment où le soleil à l'horizon serait masqué par un pic étroit el où un image se résoudrait en pluie entre le soleil et l'observateur, concours de circonstances qui se réalise rarement. Si l'on suppose quatre réflexions, on trouve

La déviation difl^re peu de la précédente; les rayons efficaces qui rencontrent la goutte à sa jiartie inférieure sont dirigés vers le haut: c'est l'inverse pour ceux qui la rencontrent à sa partie supérieure. Cet arc ne peut être observé avec la lumière solaire.

Pour le cinquième arc, t== Si^qG', p== 486°= 36()*'+ i*j6'*: la déviation est de ^/i degrés. Cet arc est visible à l'extérieur du second , et on l'a quelquefois observé malgré sa faible intensité, surtout dans les cascades où les gouttes sont assez rapprochées de l'œil.

Les arcs supérieurs au cinquième n'ont jamais été observés que dans les laboratoires et grâce à des dispositions expérimentales particulières. M. Babinet en a vu davantage en se servant d'un jet d'eau éclairé par une source lumineuse très -brillante. Le minéralogiste anglais Miller a observé les douze premiers arcs en subs-

nu LEÇONS SUK L'OPTIQUE.

lituant au jel d'eau une lige de verre cylindrique dont la section transversale peut être assimilée à celle d'une goutte d^eau.

Enfin M. Billet a observé les dix-neuf pi^emiei^s arcs en ëclaîrant, à l'aide d'un faisceau de rayons solaires renvoyé par un héliostat, une colonne cylindrique d'eau qui tombait verticalement au centre d'un cercle de 3 mètres de diamètre : une lunette portée par une alidade permettait d'observer les divers arcs qui se sont trouvés dans les directions indiquées par la théorie.

/|50. Eelalrement des diverses résk^nm dM mi

Pendant la durée du météore, l'édairement des diverses régions du nuage n'est pas uniforme; l'espace compris entre les deux premiers arcs est relativement obscur, la partie supérieure au second arc est plus éclairée, enfin la partie inférieure au premier est encore plus brillante. Pour rendre com|)le de ces particularités, cherchons dans quelles circonstances la déviation (;sl nu maximum ou un minimum :

il suffit pour cela de déterminer le signe de -77 • On a successivement

Le signe de 7.7 est donc contraire à celui que prend -j^ quand on

donne à i la valeur de l'incidence des rayons efficaces. Or, de Téquation sin / =- n sin r on déduit

(Ir cos /

(li n cos r "

. . . Hr

.^ - n cos r sm < + /i SI n /' cos 1 -p-

crr di

cli* n^ cos^ /'

Le signe de -7^ est donc celui de

. . . . dr

cos r sm 1 — cos t sin r -jr •

di

En remplaçant -.-par sa valeur, on a

. . cos- / sin r n cos* r sin 1 — cos* i sin r

eus r sin i -^

/i cos r II cos /*

L*angle r étant plus petit que 90 degrés, le numérateur est toujours positif et l'expression prend le signe du numérateur, lequel a

pour valeur

. . sin^i sin I , sin^i . . sini

n sin t = H sin t »

Il a n n

si Ton suppose m = 5 ; n sin t est plus grand que 1 le numérateur

est toujours positif 9 et il en est de même de ^; la rotation des rayons

efficaces est donc toujours un minimum, quelle que soit la valeur de k.

Il résulte de là que, si la déviation s'obtient en retranchant une quantité fixe de la rotation, la déviation est aussi minimum; si c'est la rotation qu'on retranche d'une quantité fixe, la déviation est un maximum.

Le premier arc offre un exemple du second cas. Au-dessus de cet arc, les rayons réfléchis une seule fois et qui sont les plus brillants ne peuvent arriver à l'œil de l'observateur, parce que l'angle des rayons incidents et des rayons émergents qui produisent le premier arc a la plus grande valeur possible. Au contraire, les rayons qui partent de la région intérieure à l'arc arrivent à l'observateur aus>i bien que les rayons diffusés et produisent l'éclairement de cette ré-

Pour le second arc, on se trouve dans le cas d'une déviation minimum; par suite, l'espace qui le sépare du premier arc n'envoie aucun rayon réfléchi deux fois; l'espace qui le surmonte en envoie et paraît plus éclairé, mais il est moins brillant que la région inférieure au premier arc. Entre les deux arcs le nuage n'est éclairé que par les rayons qui ont subi plus de deux réflexions : de là son obscurité relative.