Détermination du montent 4'lnertle k. — On ne

peut pas déterminer le moment d'inertie k du système oscillant par des procédés géométriques; car tes dimensions de l'ni^juillc et de l'é- Irier entrent dans la valeur de k, et le moment d'inertie de ce système complexe ne peut s'obtenir que par l'expérience.

Voici une méthode ing<>nicn!;e dont on peut se servir.

On commence par faire osciller l'ai{ruille du inagnélumètre comme nous l'avons dit précédemment, et alors on est conduit ù une relation de la Tonne

t étant la durée d'une oscillation.

Pcrpendicnlaircnicnt au barreau aimanté Al! (lig. ai i ), un dispose .>!ur le mngnétoinètre une grande règle en bois l'Q , de manière

qu'elle se maintienne horizontale. Sur cette règle sont disposées, il des distances égales entre elles, de petites cavités dans lesquelles on place des pointes métalliques. Sur ces pointes on |>eut faire reposer des anneaux soutenant des poids égaux R. It'.

Dans h>s expériences de Gansii, ces poids étaient d'un demi-kilo-

u3i! LEÇONS SUR LE xMAGNÉTISME TERRESTRE.

graiiiine. C'étaient Jeux sphères très-lourdes d'un métal non magnétique, de platine, par exemple. On fait de nouveau osciller le système, et. si Ton désijjne |)ar C le moment d'inertie de la règle par rapport au lil de suspension et par p^ la dislance des poids à l'axe de rotation . on aura une» expression (l(^ la forme

/f- iM^ + C-r-il^fi.

Kn [daranl les poids à une nouvelle dislance p.j et recommençant l'expérience, on aura une autre équation

Par ces trois expériences on a trois équations entre lesquelles, éliminant C et ï, on trouvera une relation qui permettra de déterminer /•'.

(iomme la détermination de k est très-importante, on ne se borne pas à trois observations, mais on fait un très-grand nombre de groupes de trois observations. On obtient ainsi une série de groupes de trois équations permettant de calculer autant de valeurs de k. Ces valeurs ne sont pas toutes absolument les mêmes, parce cpie V varie dans rintervallo des ex|)ériences en raison inverse deTM.

A Taide du magnétomètre h deux tils, dont nous parlerons dans la suite, on <léterniine la variation de TM, en sorte que l'on peut rapporter les valeui's de F à une seule et même époque, c'est-à-dire (|ue l'on peut trouver les rapports de F', F*', . . . , avec F par exemple; on substituera ces valeurs dans les équations obtenues, et, en employant la méthode des moindres carrés, on obtiendra la valeur de k la plus probable.

313. Procédé de Cloldschniidi pour rendre horizontol rii!Ke maynétlque du barreau. — Pour déterminer la valeur de t, il faut d'abord rendre l'axe magnétique de l'aiguille horizontal: on peut employer, pour effectuer cette opération, le procédé suivant, indiqué par Goldschmidt, astronome de Gœttingue ^^^

llfnuUntv fies iiia^i. Kf»., i84o, p. 158.

MKSURE DK SON INTENSITK. ' 533

Soit ABD(i (fig. -Ji-i) unn section du barreau |ier|>eiidicuiaireuient à son axe de figure; nous supposerons que AB soit la face supérieure, CD la fnce inférieure, \C la face occidentale et BD la fncc orientale.

I* barreau aimanté que l'on emploie a une disposition telle qu'il soit facile de le placer dans l'élrier de manière que son axe de fii-ig. .,.. gure soit horizontal. Le miroir ayant été amené

à être perpendiculaire à cet axe de figure, on note la division horizontale de la règle qui vient en coïncidence avec le Gl de la lunette. On retourne alors le barreau dans son étrier, de façon que la face occidentale AC devienne la face supérieure : il est clair que, si l'axe magnétique faisait avec le plan horizontal passant par l'axe de figure un ang^e a, il fera avec le plan vertical et de droite à gauche le même angle a. On lit la division de la règle qui vient de coïncider avec le fît vertical de la lunette, et l'on marque la quantité dont le harreau a été enfoncé dans l'étrîer. On retourne ensuite le barreau de 1 80 degrés de manière que la face orientale BD devienne la face supérieure, et l'on enfonce ce barreau de la même quantité dans l'étrier; il est clair que, lorsque le harreau a pris une position d'équilibre, l'axe magnétique a repris la nidme position que précédemment; mais comme le miroir n'est pas perpendiculaire à l'axe magnétique, on ne trouvera pas la même division de la règle en coïncidence avec le fil vertical. On dérangera un peu le miroir, et, par une série de tâtonnements, on finira par le régler, de telle sorte qu'en plaçant le barreau dans l'éti'ier la face occidentale en haut, puis la face occidentale en bas, et l'y enfonçant toujours de la même quantité, on aperçoive dans les deux cas la même division de la règle. Alors la normale au miroir reste fixe dans l'espace par le retournement : comme l'axe magnétique du barreau est la seule ligne de ce corps qui garde une position fixe^ Il faut bien en conclure que la normale au miroir coïncide avec l'axe magnétique. Gela posé, on remet le barreau dans sa position habituelle et l'on ne touche plus au miroir. En général on ne pourra plus voir l'image de la règle par réflexion sur le miroir: mais si l'on fait glisser le barreau danti l'étrier dans un sens convenable, la normale au miroir deviendra horizontale.

bU LEÇONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRE.

et alors on verra une ligne horizontale tracée sur la règle coïncider avec la croisée des fils du réticulp. Comme la lunette est autant audessus du miroir que celui-ci est au-dessus de la règle, on est sûr alors que la normale au miroir et par suite l'axe magnétique sont sensiblement horizontaux. Si cette exactitude ne suffit pas, on pourra retourner le barreau dans son étrier, de manière que la face supérieure devienne inférieure, et réciproquement, et que ce soit exactement la même partie du barreau qui se trouve dans l'étrier. En général , la ligne horizontale de la règle divisée ne viendra plus se placer sur la croisée des fils du réticule; on lui fera parcourir la moitié de la distance en faisant glisser le barreau dans l'étrier dans un sens convenable, et l'on verra si, en retournant encore le barreau, la ligne horizontale reste à la même distance de la croisée des fds. On arrivera par tâtonnements à remplir cette condition.

3 1 â . IfleMire exacte de la durée d'une osetllatlon. — La

durée d'une oscillation complète est l'intervalle de temps qui sépare deux retours successifs du barreau au même point avec une vitesse dirigée dans le même sens. On constate que cette oscillation complète est effectuée quand on voit revenir la même division de la règle sur le (il vertical de la lunette, la vitesse de cette ligne étant d'ailleurs dirigée dans le même sens. On trouve plus commode de ne compter que les oscillations complètes, mais il faut bien se souvenir que, dans la formule du pendule, t représente la durée d'une oscillation simple, c'est-à-dire de la moitié d'une oscillation complète. Le choix de la division dont on veut observer le passage est arbitraire; mais si l'on veut suivre un certain nombre d'oscillations, il importe qu'elle soit placée assez près de celle qui correspond à la position d'équilibre de l'aiguille, afin qu'elle reste visible pendant toute la durée des oscillations.

Soient n, h, c trois élongations consécutives de l'aimant à partir de la division G que nous avons appris à déterminer; s'il n'y avait pas de variations dans l'amplitude des oscillations, la division

correspondant à la position d'équilibre serait ~ {n + b) ci - [b + c); ces deux valeurs devraient être égales. Elles ne le sont pas généra-

lement; mais si l'on prend leur inoyenae - (a + c+ub), on aura

la division qui correspond Irès-approxiraalivement à cette position d'équilibre. On choisira , pour en observer le passage , une division très-voisine de celle que l'on détermine de cette manière. 11 faut en effet que celte division reste, pendant toute la durée de l'expérience, comprise dans l'amplitude de l'oscillation. Il y a à ce choix un autre avantage qui est très-grand. En effet, à l'instant où l'on aperçoit le passage de cette division devant le fil de la lunette, l'image de la règle a une vitesse maximum; en sorte qu'il est plus facile d'apprécier d'une manière nette le moment du passage de la division. Si l'instant du passage coïncide avec le battement du chronomètre, l'observation est faite ; mais s'il n'en est pas ainsi , et c'est ce qui arrive le plus souvent, on observe les divisions |; et q qui passent devant le fd au moment où l'on entend deux battements consécutifs du chronomètre comprenant entre eux l'instant du passage de la division d'équilibre que j'appellerai m; alors il est clair qu'il faudra ajouter, au nombre de secondes qui marque l'époque du passage de

la division p, une fraction de seconde égale à ^"~^\ pour avoir l'époque du passage de la division m. Cela revient à supposer que, dans l'intervalle qui sépare le passage des divisions p, q, m,le mouvement du miroir est uniforme.

On observe de cette manière la durée de plusieurs oscillations complètes; mais, pour connaître celte durée avec une précision qui soit en rapport avec l'exactitude de la méthode, il faut faire un trèsgrand nombre d'observations. D'un autre côté, il est impossible de continuer pendant longtemps une pareille observation sans une grande fatigue, et par suite sans chance d'erreur.

Voici le procédé qui a été employé : on observe la durée de quatre oscillations complètes, et, en en prenant la moyenne, on a la durée approchée d'une oscillation; on abandonne ensuite l'expérience à elle-même et l'on y revient au bout d'un certain temps. On observe l'époque d'un nouveau passage et la durée de quatre oscillations complètes. En divisant par la première valeur, trouvée pour la durée d'une oscillation complète, le temps qui s'est écoulé depuis qu'on a abandonné l'expérience jusqu'au moment où on l'a reprise.

536 LEÇONS SUK LE MAGIVETISME TERRESTRE.

on obtiendra le nombre des oscillations complètes qui ont été accomplies dans cet intervalle. Le nombre que l'on trouvera ainsi sera en général fractionnaire, mais on choisira le nombre entier le plus voisin. A l'aide des quatre oscillations dont on a observé la durée quand on a repris l'expérience, on connaîtra la valeur approchée de la durée d'une oscillation à celte époque. e( l'on se servira de cette valeur comme on s'est servi de la première pour calculer le nombre d'oscillations accomplies pendant la seconde interruption de l'expérience. Kn continuant de la m^me manière, on parviendra à connaître la durée d'un très-grand nombre d'oscillations, cinq ou six cents par exemple, et il suilira de diviser cette durée par le nombre total d'oscillations pour avoir une valeur très-approchée de la durée d'une oscillation.

Voici quelques nombres qui ont été obtenus d'après la méthode précédente :

TKHPS tUOKRAL.

i" passage ^i»* 55"' 'j6','i

II* 57 33, i

La durée moyenne est de /ia*,*jo.

On a repris l'observation à a3** 36"* /40*,3 : l'intervalle écoulé depuis le commencement de l'opération est donc 1'' 60*" 33',c). Si l'on divise ce nombre par /iq*,!I0, durée moyenne d'une observation, on obtient pour quotient 1/19,983, ce qui veut dire que, pendant 1'' /io"* 33*. (j, l'aiguille a fait i43 oscillations complètes. En divisant l'intervalle 1'' 4o"' 33',9 par i43. on obtient la nouvelle valeur plus approchée de la durée de l'observation 4!2",t9r). L'expérience que nous rapportons a duréjusqu'à a*' 58", c'est-à-dire environ 5 heures. On a observé 4a a oscillations, et l'on a trouvé pour la durée moyenne d'une oscillation le nombre ila%i8344. On peut certainement répondre des millièmes de seconde.

315. Réductioii à la durée des oseillations iniiiiliiieBt petite*. — Remarquons maintenant que la formule du pendule dont nous avons fait usage ne s'applique qu'aux oscillations dont l'amplitude est infiniment petite, et, dans les expériences qui nous occupent, toutes les oscillations sont petites, il est vrai, mais pas assez pour que l'on puisse négliger les quantités du second ordre. On sait qu'en tenant compte de ces quantités la formule du pendule est

= '\/^('-*-i«in'^'")

Mais si nous appelons a l'amplitude d'une oscillation mesurée sur le cercle dont le rayon est i , c'est-à-dire l'angle compris entre deux positions extrêmes consécutives de l'aiguille, et i sa durée, si elle était infiniment petite , nous aurons

d'où l'on tire avec la même approximation

Il faut donc , pour réduire la durée de chaque oscillation à ce qu'elle serait si elle était infiniment petite, calculer pour chacune

d'elles la fraction ^/) et. en faisant la somme de ces n corrections

particulières , on aura la correction qu'il faudra faire subir à la durée totale. On conçoit combien ces corrections seraient longues et laborieuses, mais on peut les simplifier en tenant compte de la loi de variation de l'amplitude a : en effet, le calcul montre et l'expérience confirme que l'amplitude des oscillations suffisamment petites et suffisamment lentes d'un pendule oscillant dans un milieu faiblement résistant, comme l'air, décroissent en progression géométrique. On vérifie aisément que la même loi s'applique aux oscillations d'un

Oas LEIjOINS SUK LK MAGNÉTISME TERRESTRE.

barreau aimanté. Désif|nons par 6 la raison de la progression, par a, l'amplitude <lc la n""' oscillation, on a

les lennes de correction seront, pour la première, pour la seconde et pour la «'"" oscillation.

Par coflsé(|uont, la durée totale des oscillations qu'il faut corriger de la i^omme de ces corrections devra être diminuée de f ^ .a, ■ et, en divisant le nombre ainsi obtenu par le nombre des oscillations, on aura la durée des oscillations supposées inHniment petites. On peut donaer une autre forme au terme de correction (=7 a et trfinsformer celte formule de manière à n'y laisser que des quantités que rexpérience donne immédiatement. On note la division n et la division b que l'on aperçoit lors de l'écart maximum de la première et de la dernière oscillation.

Examinons en particulier la première oscillation. La normale au miroir passant par la division S (fig. 31 3), on commence l'observation ; cette normale va de ^ en A et de A en S, puis de J en B et enfin de B en S\, elle a alors accompli une oscillation complète : désignons par a l'angle AOB, e! soit a l'excès de la division A observée sur S, en sorte que — mesure l'angle AO.Î, puisque p est Fig. ii3. la distance de la règle au miroir. L'os-

cillation qui a précédé l'oscillation antérieure répond au mouvement de la normale allant de ^ en C, de C en S, de j en A et enfin de A en S. En désignant la moitié de AOC par a, on aura

Prenons le symétrique A' de A par rapport à 0^, nous aurons A'OA"«-f-?, A'0A = b'->1'.

^désignant Tangie A'OB, 4> l'angle GOA'.' On en dt^duil

or

D'un autre côté, les écarts à partir de ^0 décroissent comme les termes d'une progression géométrique ayant ^ur raison 6 aussi bien que les amplitudes des oscillations; on aura donc

AJ=ô.a,

B^= e.AS.

puis

^(p Crf+B^-3A'^ = A^(^ + Ô-^3)--'-^^A^.

Gomme les oscillations vont en diminuant très-lentement , 6 est trèsvoisin de l'unité; il on résulte que l'on a sensiblement

>f/~(p==o, et par suite

or

On aura de même

AOV-î±^-i(|+.);

i-l(<rfl-+.6-)

On tire de ces deux équations

540 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE. Le ternie de correction* prend alors la forme

ou bien

Dans cette expression il n'entre plus que des quantités que peut fournir l'expérience. On peut encore donner à cette expression une autre forme.

Si 0 est très-peu différent de l'unité, on peut poser 2=^ 1 + ^9

et, en introduisant cette valeur dans l'expression précédente,

quantité sensiblement égale à g^; on a donc enfin pour valeur de la correction

X étant d'aillours le logarithme népérien de t • Ayant ainsi la somme

de toutes les corrections, on déterminera aisément la durée moyenne d'une oscillation, et alors on aura tout ce qui est nécessaire pour calculer le produit TM.

M 316. Détermination du rapport tt, • — Equation dea vitesses virtuelles d'une aii^uille auxiliaire soumise à Taetion de la terre, de raiffuille principale fixe et de la torsion. — Nous venons d'exposer les calculs et les observations qu'il faut faire pour trouver la valeur du produit MT. nous allons maintenant entrer dans les développements nécessaires |)our montrer

MRSIIRE DK S0.\ INTENSITl^. 541

comment on arrive à déterminer le rapport j à l'aide de la déviation <]iie l'ai^ruille auxiliaire imprime à l'aiguille mobile.

(Considérons l'état d'équilibre de l'aiguille mobile dont le fil de suspension passe par le point que l'on peut considérer romme le centre de gravité de l'aiguille d(';plaré par l'action de la terre, el clierriions quelle sera la posilion d't^quilibre de cette aiguille sous l'influence de la torsion du (il de suspension, du magnétisme terrestre el de l'alguillf auxiliaire qui a déjà servi dans l'expérience précédente.

L'action de la terre et la torsion du lil se réduisent k des couples; il n'en esl pas de niânie de celle du barreau aimanté. L'attraction de ce barreau peut toujours .se réduire à une Force passant par le centre de gravité déplacé et à un couple. Gomme celte force est trèsfaible et que l'aiguille a un poids bf'aucoup plus considérable, le centre de gravité ne sera déplacé que d'une quantité tr^s-faible que l'on peut négliger. Cela revient à regRrder l'aiguille comme étant seulement susceptible de tourner autour du fil de suspension qui serait un axe fixe : pour qu'elle soit en équilibre, il faut et il suffît que la somme des moments des forces par rap|K>rt à cet axe soit nulle, ou bien encore que la somme des moments virtuels, pour une rotation infiniment petite autour de cet axe, soit nulle d'ellemême.

Nous prendrons pour

axes de coordonnées trois "»••'*■ 1 ■ ■ ■ I.

droites rectangulaires ; 1 axe

des X (fig. ïit A) sera horizontal, situé sur le méridien magnétique

et dirigi' vers le nonl: l'use des y sera horizontal el dirigé vers

542 LEÇONS SUH LE MAGNÉTISME TERRESTUE.

l'ouest; enfin le fil vertical qui suspend l'aiguille mobile sera l'axe des z dirigé de bas en haut. Nous choisirons pour origine des coordonnées un point H situé sur la verticale du fil de suspension et dans l'intérieur du barreau mobile. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point m du barreau mobile et par e la quantité de magnétisme libre on ce point: l'action de la composante horizontale de la terre sur la molécule m sera une force Te et agira parallèlement à l'axe des a:; donc son moment virtuel, pour un déplacement infiniment petit, sera Tedx; par conséquent le moment virtuel des forces dues à l'action de la terre sur toutes les molécules du

barreau sera jSTedx,

Désignons par u l'angle que fait le plan vertical passant par l'axe magnétique de l'aiguille avec le plan du méridien magnétique des xz; par N, l'angle que fait aussi avec le plan du méridien magnétique l'azimut qui contient le zéro de torsion; alors N- m est l'angle de torsion, et, si ô est la force de torsion pour l'unité d'angle, le couple de torsion qui sollicite le barreau sera Ô(N— w); si l'op imprime à l'aiguille une rotation du, de manière h diminuer u, le moment virtuel de la force de torsion sera — d(N--tt)dii.

V^oyons maintenant les forces introduites par l'action du barreau fixe sur le barreau mobile. Appelons X , Y, Z les coordonnées d'un point de ce barreau fixe , Ë la quantité de magnétisme libre en ce

point , et r la distance au point m (^Xy y, z) du barreau mobile.

Ee L'action exercée par cette molécule sur le mobile M sera t • A Yé-

poque 011 Gauss et Weber exécutaient le travail que nous analysons, la loi de la variation en raison inverse du carré de la distance n'était démontrée que par les expériences de Coulomb, dont l'exactitude n'est nullement en rapport avec celle que comporte la méthode d'observation que nous décrivons; c'est pourquoi Gauss et Weber ont introduit l'exposant indéterminé n dont ils ont en même temps cherché la valeur.

Lorsque l'on déplace infiniment peu le barreau mobile, r s'accroîl

E^ de dr, le point d'application de la force — se déplace de dr dans

la direction de cetle force; donc son moment virtuel est --jr--» et.

par consëquent, ^^-rdr sera l'expression du moment virtuel du

couple résultant de Taction du barreau fixe sur le barreau mobile. Nous pouvons maintenant écrire l'équation d'équilibre, qui sera

(4) VTerf:p+22Eé>7-^(N-wV«* = o.

Le premier membre de cette équation est la différentielle, par rapport à u, d'une certaine fonction Cï qui a pour valeur

Ecrire l'équation (4 ) revient h chercher les conditions de maximum et de minimum de la fonction il.

317. Pour trouver ces conditions, il faut commencer par exprimer toutes les variables qui y entrent en fonction de u et de quantités constantes.

Les points de l'aiguille mobile seront rapportés à trois axes rectangulaires fixes dans cette aiguille.

Désignons par a, b, c les coordonnées d'un point [x, y, z) du barreau mobile, en prenant pour axe des a Taxe magnétique, pour axe des c l'axe des z, c'est-à-dire la verticale passant par le point H du fil de suspension, et pour axe des b une perpendiculaire aux deux premiers.

Puisque l'angle que fait l'axe des a avec l'axe des x est m, il est facile de voir que l'on aura les relations

â ar^/ïcosii- Asinw.

(6) < y^fi sin t* 4- /' cos n,

Dans l'expérience, le barreau ordinairement fixe reçoit diverses positions; un point A de son axe magnétique se déplace de manière à décrire une droite hli' qui va passer en un point A' ayant pour coordonnées fixes x = a^y = (i. En faisant l'expérience, on s'efforce de faire coïncider le point li avec H , de sorte que l'on peut regardera

Vkrdet, IV. — Cnnfoppnros tlo physique. liU

544 LEÇONS SlIR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

ot jS comme des quantités très-petites. Rapportons les points du barreau fixe à trois axes rectangulaires AA, AB, hC ayant pour origine le point h. L'axe des A est l'axe magnétique du barreau , Tave des (] est la verticale parallèle à Hz, Taxe des B est perpendiculaire aux deux autres. Désignons par U l'angle de l'axe des A avec l'axe des z , et nous aurons

1 X=/?-f- AcosU — BsinL .

(7) Y = y+AsinU + Bcosl].

et il est facile d'exprimer ces quantités p ei q coordonnées du point h. En désignant par ^ l'angle de la droite ////' avec ï\x et par H la distance hit', on a

p = a + ^cos^y

q = l3-:h Rsin xf-, et

r = y/(\-.r)^ + (Y-.yf + (Z-zy^.

Si l'on substitue dans VTe^ la valeur de .r tirée des équations ( fi ) , on a

^T(x = T cos u ^^ac — T sin u ^Ac.

Vrfg est la somme des moments des éléments de fluide libre de

l'aiguille mobile par rapport à un plan perpendiculaire à son axe magnétique; c'est ce que nous avons appelé le moment magnétique

m de l'aiguille. Quant à ^be, il est nul, puisque c'est la somme des moments des mémos éléments par rapport à un plan passant par

l'axe magnétique. Donc^^Tex-—mT cosw.