Il faut maintenant chercher l'expression de r^"~'^ On a

et, en remplaçant les (piantités X, Y, Z, .r. y, : et ordonnant |)ar

rapport à K,

r2 = R2^3R[^acos4/ + iSsîn4/ + Acos(4/-U) + Bsin(4/-U)

— acofy{^ — u) — h s\n [^ — u)\ + (a-f-AcoslI — BsinU — ^costi + isin u)^ + ( jS + A sin U + B cos U — a sin n — h cos w Y

Posons

/? = a cos \f/ 4- j8 sin >(/+ A cos (\f/ — U)+ B sin (4^ — U)

— a cos (\f/ — II) — h sin (>{/ — w), m^ a+ A cos U — B sin U — /? cos n + b sin u, w = jS + A sin U + B cos U — a sin u — b cos m, ^? = C — r.

Dans l'expression de r:, les deux termes en R sont les deux premiers termes d'un carré, de sorte que l'on a

Or, d'après la manière dont les polynômes k, m, n sont formés, on voit facilement que

k = cos >|/ (a -t- A cos u — B sin u — /ï cos u+ A sin ti)

•|-sin \f/(j8+Asin U + Bcos U — nsinti — icostt) = i»cos>f/ + n sin >[/.

Donc

m^ + w^ - A"^ = (m sin \|/ — w cos >{/)^, et par suite

en posant

/= (m sin \[/ — w cos>J/)^ +/>^

et désignant ainsi par / une quantité toujours positive. Dans toutes les expériences, R doit être très-grand par rapport aux dimensions des aiguilles aimantées, ol par conséquent par rapport i\ A, B. a, b. Donc R est Irès-grand par rapport à /. U suit de là que, si l'on a

une fonction quelconque de la distance r, on pourra la développer en une série ordonnée suivant les puissances négatives croissantes de R, et cette série sera très-convergente. En développant r~<"~'\ il vient

+ 'ÎZll . 'i±i R - (« + 3) ( aRi + /^î + /f

'Lz2.ÎL±I.ÎL±^R-(-+5)(aR/fc+jt2+/)î-^ ,

et , en ordonnant suivant les puissances négatives de R ,