IX
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Ann,, LVI, 633.
i8'i3. (fALLE, Ueber die in Bd. LVI, S. 633, d. Pogg, Ann. beschrie-
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Ann,, LVIII, 111.
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18V1. G. -F. Schumacher, Die KinstalUsatiott des Eises, Leipzig. \^l\l\, 18^1. LowK. On paraselenie seeii at high lieldhouse, Lenton. Notlin-
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Mâ8 RlHLIOr.RAPHlK.
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gewiflsen krankheilen des \ugoH uni die Flaiiinieii erUieki.
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Pogg. Ann., X( i M . -.< l\ ô .
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1859. (JsA>i>. Uelier die larbigeii Riiige welelie Hilsteheii weiiii eioe init
Lykopodiuiii heslreute Glastalel gegen eine . Lichtflamme gehal-
len winl. VeilmiuU, der \\ îiizh. (lesellneh,, IX. iGi.
IiSSTRllMK\TS D'OPTfQlE.
M h, WéûwàkUmwÈm. — Nous définironH les instruments (ro|)liqup (les rontbinaisons de surfaces réfléchissantes et de surfaces réfringentes, dont le but est de substituer à l'objet lumineux une image réelle ou virtuelle plus avantageuse h considérer. Tantôt, comme dans la chambre claire, on se propose de donner à Timage une situation commode pour la dessiner, tantôt, comme dans la lanterne magique et la chambre obscure, on cherche k ampliiier ou ù réduire l'image ; entin, dans les instruments d*opti(|ue les plus importants, comme les lunettes et les télescopes, l'image est virtuelle et toujours amplitiée.
Cette définition exclut de la catégorie des instruments d'o|)tique les appareils tels que le kaléidoscope et le phénakisticope , fondés sur Ja réflefxion seule et sur les propriétés de la rétine ; l'héliostat et le |>orte*lumière, qui ne sont encore que des surfaces réfléchissantes; le collimateur, les goniomètres, qui, tout en ayant un emploi fréquent en optique, ne sont pas compris dans les instruments d'optique proprement dits.
On peut distinguer, dans les instruments d'o|)tique. deux systèmes :
1° Le système objectif, qui donne une image réelle de l'objet; cette image est contemplée par l'œil ou reçue sur un écran et sert, par exemple, à produin» des impressions |>hotographiques:
â° Le système oculaire, donnant de l'objet une image virtuelle qu'il est plus avantageux à l'œil de contempler que l'objet mt^me; il peut d'ailleurs être dirigé sur l'objet ou sur une image réelle, c'estiVdire avoir un objectif ou en être dépourvu.
De là trois espèc<*s d'instruments :
r Les instruments à objectif;
•1* Les instruments à oculaire :
3" deux (|ui ont à la fois système objectif et svsième oculaire*
Toute étude des instruments d'optique doit donc ^tre nécessai-
830 LEÇONS SMH i;OPTIQIlE.
remenl préiMuléf* |)ar une étude complète des systèmes objectifs el onilairos; nous suivrons la marche universellement adoptée, en commençant par l'élude des miroirs et des lentilles et passant ensuite h IVtude de leurs combinaisons.
Mb. Hystémea •bjectifs. — Les appareils producteurs d'images réelles ou systèmes objectifs sont de deux sortes : les systèmes réflecteurs et les systèmes réfringents; en d'autres ternies, les miroiini et les lentilleH, (Ihacun d'eux a ses avantages propres el mérite uo examen attentif; on peut d\iilleurs les comprendre dans un même système d'étude, comme nous le montrerons plus loin ; mail» il convient de consi<lérer d'abord chacun en particulier.
1® MIROIAS.
/|76. ]fllr«lr« eoBcaves* — Nous rappellerons d'aboni la relation (jui existe entre les distances de l'objet et de son image au sommet d'un miroir spliérique concave et le rayon de ce miroir. La convention (|ue nous ferons sur les signes sera transporti^ du reste à tous les autres miroirs : toutes les longueurs seront comptées à partir du point où la surface est rencontrée par son axe, point que Ton appelle sommet; elles seront prises positivement du côté d'-oii vient la lumière, et négativement en sens contraire; le raxon du miroir aura lui-même un signe conforme à cette convention. Cependant, lorsipi'on introduit dans les formules la distance focale, il peut arriver rpron la considère comme une quantité numérique; il y a donc lieu de distinguer deux sortes de fommles, mais on |>oumi toujours les ramener sans difliculté à un seul type, à l'aide des conventions sur les signes.
Ml, Tliéorir élémenialre des mlr^ira
Soient A ifig. '^S*;») le sommet du miroir MM', (lie centre, P le fover lumineux, P' son foyer conjugué: en posant
on a
fonnule oh le^ quantités sniil censées positives dans le .sens indiqué précédemment. Il sullit de la discuter pour connaître le cas de réalité
ou de virtualité des images. Si en elTet p est supposé plus grand que R, on a "<ï;' *^l '' en résulte rI>B' ou/t'<;K.D'ailleurs, p' doit être plus grand que ~ pour que la somme -;-|- - puisse £>tre égale à T^> On voit par là que, si p décroît jusqu'à A, le fojer se déplace depuis le foyer principal jusqu'au centre du miroir. Si maintenant on suppose />< R. il faudra que l'on aity>R. /» décroissant jusqu'à -T p' croit jusqu'à l'inlini. Enfin, pour p<C—'p' est négatif, on a un foyer virtuel qui. situé à l'infini lorsque p ditfèro Irès-peu de -• se rapproche du miroir quand/) diminue et se trouve sur le miroir miîme si ^; = o.
Reste à considérer le cas où p est négatif. Ce que nous appelons en elTet le point lumineux est le point de croisemenl de l'axe du miroir avec les rayons lumineux ; on peut donc concevoir que ce [)oint soit situé derrière le miroir. La formule
indique en ce cas ([ue />' est positif et plus petit que -■ Le foyer conjugué du point lumineux virtuel est donc réel et compris entre le sommet et le foyer principal.
La formule que nous venons de discuter est oblcnue on ne tenant Ykimt, IV. — Conférence» rie pKjwique. â.1
8^2 LKcjONS SI U LOPTIQIK.
pas compte de quantités petites qui ne sont négligeables que dans le voisinage de Tavo; elle n'est donc qu'une première approximation. et il est nécessaire d'examiner les phénomènes de plus près.
(Iherclioils d^abord comment sont distribues len potafe de rencontre des rayons rëflëcbis avee Taxe. Pour le» rayoïiM centraux, la formule (i) donne la valeur exacte
mais elle m coovient poa aux rayons rëfléchiii & qutl^ut distance de l'axe, M I par axample* Dana la trianfjfia PIP\ IC Ml la biasec-
trice de l'angle 1, CP^;? — R, CP'-=R — /?', et l'on a
/)- W W - p' PI PI
Substituons, dans cette é(|iiation, à PI et Pi leurs valeurs en fonction de l'angle ACI =- (1 .
PI - V H^^ (/?- in* + VR(/i ~ H7ro7(;; PI \ R2 + (Il pY o|l(K-//)cos(;,
il vient, en élevant au carré,
I IV- + {p W f 4- '^ R (p R ) <-(>s CJ ( R ~ j,' f
.-1 R->+ , w ..j/f- oR (R- ;,')cosq [p- R)^
Simplifiant et sup|)rimnnt le facteur {p—p)^ qui donne une solution p=p étrangère h la question, on a
R (p 4- // ) - -îR- - *^ (p R ) ( R - ;>") cos (; ^ o ,
d'où
Telle est la distance au sonnnet du point où Taxe est coupé par les ravons réfléchis en I , et sur tout le cercle que découpe sur If miroir un cùne concentrique d'ou>erture *ï(\. Si nous supposons qu'il
LnstkUments d optique. 8:î;i
s'agisse des rayons marginaux. C sera la demi-ouverlure angulaire du miroir et fl la distance du sommet au foyer de ces rayons.
A78. Aberration lonsitudiiuile. — Si Ton désigne par// la distance focale conjuguée des rayons centraux, f étant celle des rayons marginaux, la différence p -p mesurera en (juelque sorte l'écart qui existe entre le miroir tel qu'il est et le miroir hypothétique considéré d'abord. On appelle cette différence une aberration , et comme elle est comptée dans le sens des longueurs focales, on l'appelle aberration longxUidinale; p et p' ayant des signes et des grandeurs variables, nous conviendrons d'appeler aberration longitudinale la différence /?' —y/ prise avec son signe, et nous la représenterons par
Si la différence y ~p' est positive, cette longueur sera portée a partir du foyer des rayons centraux, du côté des valeurs positives; si elle est négative, on la portera en sens contraire; il ne reste plus aucune ambiguïté en ayant égard à ces conventions.
delà posé on a, en remplaçant p'^ par sa valeur t>^
, , uK(/i-U)M'-œsCj
P ~Po '" "(ti/i-Rjfl^-f-ilp-lVcosCr
expression dont le nunjérateur est toujours positif; la longueur P p'o ^^^ ^'^"^ toujours négative, à moins que le dénominateur ne soit négatif.
Considérons d'abord le cas où le point lumineux et le foyer sont réels.
àSoit j[;>R : le dénominateur est positif el, par suite, on a //'— /?^<Co; ainsi, tant que le point lumineux est au delà du centre du miroir, il faudra porter du côté du nnroir la longueur />'—/?'. Si p
est compris entre K et -» le facteur *\p- R est positif et le signe de
l'aberration est déterminé par celui du facteur U+ «j [p — R) cos C. Elle est négative comme dans le cas précédent, si l'on a
H+ ^ ^^ .. R)cos(:> 0, p:^ R (i -^-^^).
«34 LEÇONS SIK i;()PTlOLE.
et, comme on «i co.sd-c^i, i rr-r'< ■» la condition nréfé-
(lente revient donc h
^ étani moindre que -i condition qui est remplie tant que ^ e>t
compris entre R et - •
L'aberration est donc toujours né(][alive quand le point lumineux el le fover sont réels.
Considérons maintenant le cas de^;<I-- Le Tactour a» — B
est négatif: l'autre [)eut encore «^tre positif pour des valeurs suffisamment ijrandes dey;, el alors Taberralion est positive. Le fover des rayons centraux est virtuel et plus éloigné du miroir que le fover des rayons marginaux. Mais p continuant à diminuer, on arrive u
avoir /><K(p et ^< -î alors, les deux facteurs du dénominateur
étant négatifs, l'aberration red(»vient négative; le foyer des ravo^^ centraux est alors le plus voisin du miroir, il est clair d*ailleurs que.
lorsque y> = R f i 7> j y laberralion est infinie.
Enlin, si p est négatif, mettons en évidence son signe en posant p '--^ — ts. Le facteur - ^to* - R est négatif: \\ — m (tff + R) ros (!. l'autre facteur, devient aussi négatif pour une valeur sudisammenl grande de tar et conserve ce .signe; donc, si le point lumineux esi • virluel. l'aberration longitudinale de s|)liéricilé commence par ^tre po.sili\e. puis, lorstpie Ton a
\\- '* ('m+ \\ )cos(! :Z ^1 elle devient négalive. Elle i^>\ encore infinie pour
Il •) (tsr-hR) cos(; ou or-^Rf /^ — i ) •
La considération de l'aberration longitudinale ne suffit pas pour définir l'effet des réflexions sur un miroir. Les rayons, en effet, s'écartent de l'axe après l'avoir coupé, et cette diffusion inilue aus^i bien que la concentration des rayons sur l'illumination d'un écran.
INSTttUMEiNTS DOPTlOUIi. . 835
Dans un plaii pai<saiil |>ar l'axe, il y a cuncenlration de ta lumière dans le voisinage d'une courbe à laquelle sont langents les rayons n'fléchis; mai» la consîd<^riiti«n de cotte courbe, appelée caustique, n'a pas d'titllili^ dans l'étude des iiislruuicnls d'optique; nous nous bornerons à étudier la distribution de 1» lumière sur un écran situé dans une position particulière, après avoir défini ce qu'on appelle aberralion latérale.
479. AbemMl«M ■•«ér»le. — Faniii les Toyers compris entre celui des rayons centraux et celui des rayons marginaux, celui où la lumière est la plus intense, parce que les rayons j sont plus rapjirochés, est celui des rayons centraux: c'est à lui qu'on s'arrêtera en cberchant avec un écran le foyer conjugué d'une source lumineuse. L'écran élanl on ce point 1'' (fig. ;t83), les rayons réllécbis loin de
l'uM* viendront rencontrer son plan en une série de points situés dans un con-li' dont le rayon sera l*'ll si le miroir est su|iposé limité en M. O'est le niyon de te cercle qu'on appelle abenatioii laléraU.
Sou expression s'oblienl sans dilliculté qriaiid on connaît l'aberration lougiludiiiidc X an sifjue près. On a en offel. en In désignnnt par ^,
fj-. Xiangl''l',H— Xliing();+I),
car rP,IUMI»,A-M(;A+C.MP,; l'angle MCA=C. douii-ouverture angulaire du miroir, etC\tP, = l, angle d'iuridencc des ravons marginaux; I est une roriction de C et de ^ qu'on déterminerait par le calcul du cercle d'aberration latérale.
.^80. Abcrr»*!*»* prlncip»!*». — Bonioiis-iiuus au ^eiilns iiii|iorliiiit pour le* iiislrtiinciils irnpliijue, rt'Iut où les rayons ino- ■lent.s ^imt [><l^allcl(^^ à l'iixe du miroir, iiinsi quf ci>la est r^r^eoli'
sur la ii'^urtj )H&. Ïms uburratioiis F]K et VU reçoivuiil alors le nom d'tiberration» primpale». Sï l'on fait ^=—00 dans l'exprewiftn lie p' - ■ p\ il vifliit
on a do in(!mi\ pour f<.
■711 Illl-COsC'. r-
KH - fi ^^,.0,,; tang aC.
[ci en eiïrr I (i. \,v ^i);Ml■ ili> ^ n'ii mu-une sif|nilïc8tion, puisqnf fï est lp rayon d'un n-rrli-.
Si l'otiviTtur»' anf;ul;iin- du miroir n'i'st pas très-grande, ce «|iii t'st le ras ordinain- do la prnlir|up. on peut exprimer d'une manière très-simplr (■( îi-sc/ priîrisc In.-. (|iinnllir's X et ,a on fonclion do Tordonnéo oxlrôtm-du miroir.
Soi! fu cll'i't y l'onloniK'o du poiul M. ou a
vii'-r
INSTRUMEM'S D'OPTIQUE. 837
De là les expressions de X el /sx.
/ru.
hv(l\-v ir-r)
Ces valeurs conviennent, quel que soit ït; mais si ce rapport est assez petit pour qu'on puisse négliger w^i elles se simplifient beaucoup. La précision que Ton obtient est d'ailleurs très-grande dans les cas ordinaires; ainsi, pour un miroir de i mèlre de rayon et de
10 centimètres de largeur, on a y — — -^o"*,o5; Tapproximation
sera poussée jusqu'à la ([uatrième puissance de — i c'est-à-dire ;g^ de millimètre.
Développons les radicciux jusqu'à vv degré :
'iK
Substiliiant.. il vient, iiii iix^ino rlfgro (riinuruxiinaliun.
•»'< -/■■ -ry , y\ - y
Ainsi, raberraliun longitudinale esl proportionnelle au carré de l'ordonnée des bords du miroir ou à la surface du miroir, et en raison inverse de son rayon. I/aberration latérale est proportionnelle au cube de l'ordonnée ou de la largeur du miroir, et en raison inverse du carré du rayon.
/i81 . Effet pUjmàigue 4e rAberrAtion. — On décrit souveni les effets de l'aberration d'une manière très-incomplète: on laisse
838 LEÇONS SLK LOPTIQUE.
croire que sur un écran placé au foyer principal des rayons centraux le cercle d'aberration latérale principale sera à peu près uniformément éclairé : or, il n'en est rien ; il serait inconcevable, dans l'hypothèse de ces images élargies par l'aberration, que les miroirs des télescopes pussent donner des images distinctes des objets éloi* gnés, lorsque ces miroirs ont i mètre de rayon et i o centimètres de largeur, chaque point donnant lieu dans ce cas à un cercle lumineux
de ^ de millimètre de rayon. Une telle image grossie n'aurait plus rien de distinct. En réalité, il y a très-peu de lumière sur les bords du cercle d'aberration; l'illumination décroit très-rapidement à partir du centre, et l'image sensible d'un point se réduit presque au centre même si la lumière incidente est peu intense.
Pour le reconnaître, considérons un faisceau de rayons incidents parallèles compris entre deux cylindres infiniment voisins dont les rayons sont y et y +dy\ ces rayons tombent sur une zone infiniment étroite du miroir et sont réfléchis tous de manière à éclairer une couronne comprise entre deux cercles d'aberration dont /x et ft + i/ft sont les rayons. La quantité de lumière incidente est proportionnelle à anydy; elle est renvoyée sur une surface égale à ù7rfid[x. Donc la densité de la lumière à une distance latérale (i de l'axe vis-à-vis du foyer des rayons centraux est
Or on a
ATT Y (1 Y Y iIy 'ÀTTfxdfÀ [X (lyL
(Iy jK- y(Iy
MV
(Ifji .') r* ' f (Ifx
Substituant pour y sa valeur y = \/îif/R-, on a
y(Iy MV \\V U'v^
IX, 1(1 3^ .,^|^.|> .,.,^i i nf
L'intensité de la lumière sur le cercle d'aberration va donc en décroissant en raison inver^se de la puissance » de la distance [i: elle décroît donc fort vite du centré à la circonférence. D'après cette
expression, rintensité de la lumière au centre est infinie; cette inexactitude provient de ce qu'on a négligé les quantités qui empêcheraient l'expression de devenir infinie. Une objection plus grave à ce calcul serait qu'on a ajouté tous les rayons sans tenir compte des lois de l'interférence; il ne faut donc le regarder que comme fournissant un simple renseignement sur la manière dont décroit la lumière. Nous indiquerons plus loin comment on ferait le calcul rigoureux. Mais, d'autre part, il faut avoir égard à la remarque suivante : que la théorie du l'émission suffit pour rendre compte de la production des images, de la formation des ombres, des effets des miroirs quand ils ont des dimensions sensibles ; en conséquence, le calcul qui précède a son importance; il suffit pour expliquer la netteté des images que produisent les objets éloignés dans les miroirs des télescopes. Chaque point donne en effet pour image, non point un cercle uniformément éclairé, mais un cercle où la lumière a une intensité maximum au centre et décroît rapidement à partir de ce point.
^82. miroln conirexefl. — La théorie des miroirs sphériques convexes se déduit des formules obtenues pour les miroirs concaves en changeant le signe de R. Lorsque je? est négatif, le foyer est virtuel ; il est réel lorsque p est positif. On a trouvé
, , —2\\{p—ï{Y (l— COSC
p ~~Po~'('2p-\\) [|\4- 2 (/)-R)COsC] *
Si l'on met en évidence le signe de R, on a
et l'on voit que, si p décroit de l'infini à zéro en étant positif, on a toujours^' <C o, ce qui indique un foyer virtuel; en valeur absolue
p' décroit de - à zéro; ainsi, lorsque p a une valeur finie, le foyer
est compris entre le foyer principal et le sommet du miroir. Lorsque p est négatif, c'est-à-dire lorsque les rayons tombent sur le miroir
8A0 LKÇONS SLR LOPTIOIK.
^11 ronvcTgeaiil. on peut avoir un Oncr réel. Discutons celle hypothèse. Faisons varier p en valeur absolue depuis zéro jusqu'à 7 • // est positif el rroît de zéro à oc: le foyer est donc réel; mais si^
dépasse -« c'est-à-dire si la lumière virtuelle a son origine au delà
du foyer principal, le fojer conjufjué est virtuel aussi, et entre les distances des foyers conjugués au sommet il y a les mêmes relations que dans le cas des fo\ers réels et d'un miroir concave. Il suffit, ponr le démontrer, de changer tous les signes de la formule qui convient à celui-ci; elle ne change pas et convient au miroir conveie. L'aberration longitudinale est égale à
P Po~ ap+H;:a(p-i-l\)cosC-B]"
Son signe dépend encore uniquement de celui du dënominaieur; elle est positive tant que Ion a
« |/;-|-K)cosC :> R
ou
IWi — '4cos()^
ce qui indique une limite au-dessous de laquelle les valeurs positives de p donnent une aberration négative. En considérant des valeurs négatives de p, on voit facilement que, si p en valeur absolue est
moindre (pie -» Taberration esl positive: ([u'elle est négative, si p
dépasse - •
Les valeurs (b»s aberrations principales sont d'ailleurs les mêmes. au signe près, ipie [)our les miroirs concaves,
l\ i losC» l\(i-cosC;, .,
A=-= 7^-^i a--^—^ TT— taneali.
On ferait du reste les mêmes calculs (|ue précédemment pour trouver la répartition de la lumière sur le cercle d'aberration latérale.
.Nous avons étudié les aberrations longitudinale et latérale des miroirs sphériques pour un point lumineux situé sur l'axe. Si l'on
INSTRUMEMS D'OPTIQUR. S'il
veiil considi'rcr un point luniiiieiiv ppii dlsfant t\v rcl nxp, ît Milfit (le rv'péliT sur l'avi- s*>niiiil»irc li's r»nstniPh«ns (|uc nous moTis fHiti's sur \'a\t' principal.
^83. Mlr«lr* aptonétlvue*. — Considérons inaintcnani les miroirs ii|iliini?li()ups. cV'st-à-dire ic^ miroirs <|ui réHi-chissent vers un point unique lii lumière qui tombe sur leur surface. La surface inlërieuri' d'un ellipsoïde de révolution à l'un des foyers duquel OR aurait [)lacé un point lumineux , relie d'une des nappes de i'hvperlïoloide de révolution à deux nappes, le '"'' '■ point lumineux étanl au foyer
de l'autre nappe, sont des systèmes aplanéliques. De même, si l'on suppose un système de rayons incidents parallèles, un parahiiioïdc de révolution dont l'axe est parallèle aux ravons les renverra tous vers un nicime point.
Dans Ions les ras, la tliéorie géométrique de l'optique indique pour iniafji- dti point lumineux un |M)inl niatliématique. Tel n'est pas rependant l'effet de res miroirs : à un point mathématique ils substituent un système d'anneaux colorés plus ou moins étalés et résultant de ce que tout miroir est nécessairement limité.
Pour nous rendre compte de ce lait . considérons d'abord une onde sphéri(|iie limitée AB (fig. -iSâ). et cherchons la liunière qu'elle envoie dans le j)tan :;/ mené par le centre 0 per|»endiculairenienl à l'axe Ox.
Sur la calotte sphérique ACB nous n'avons que des mouvements vibratoires concordants. Nous la supposerons assez petite pour avoir le droit de considérer les vitesses envoyées au point 0 comme sensiblement paraltètes, c'est-iWlire comme s'ajoulant algébriquement, et, aiin de n'avoir pas à tenir compte de l'inlluence mal connue de l'inclinaison des rayons lumineux sur la surface de l'onde, nous ne 'pioiis occu|ierons, dons le plan mené |iar le point 0, que des points tels que M très-voisins de celui-ci.
Hhi r.KÇONS SUR I.OPTIQUE.
Le puiiil M réouvrait d'un élément unique t/^o- de Ja sui l'onde, situé en P par exemple, une vitesse proportionnel surface (/^v, car il est bien évident que, si nous considéroi éléments infiniment voisins de la même surface, comme il: même position relativement au point M, ilt> lui enverront cha vitesses égales, et par conséquent leur ensemble enverra une double de la vitesse envoyée par un seul. Celte vitesse dép outre de l'angle que fait la direction MP avec la surface de dans les conditions actuelles, cet angle est sensiblement de grés: enfin clic dépend de la distance MP>=J, et tout | croire qu'elle est en raison inverse de la simple distance. Ma ne tiendrons pas plus compte de celle inHuence que de la dente, en nous astreignant à la condition de ne considérer < points très-voisins de l'onde sphértque concave. Cette inflot très-sensible sur la phase du mouvement vibratoire commun point M, mais elle ne l'est pas sur son intensité.
Ainsi, en désignant par h le rapport constant de la vil vibration communiquée au |M)int M à la surface d^v qui 1' on a pour expression de octte vitesse
Le mouvement vibratoire dont <P<7 est animé peut se repi par le siims d'un multiple du Ifmjis: il en doit donc élre de ni point M . seulement le mouvement qui anime le point M k Vé est le même que celui qui existait à l'époque ( — r *■"* 'a sui l'onde. Si donc les variations du mouvement vibratoire se sentent sur celle-ci |par sin ^wj,- elles se représenteront | point M par une expression qui se déduira de la précédente < plaçant ( par I- ç- On a donc pour cette vitesse htfitrsin ^11(7^,— A ■
.\ous supposons lii vitesse rectiligne sur la surface de l'ondi conséquent au point M; néanmoins nos résultats seront géi car, si la lumière n'était pas polarisée, on pourrait toujours
poser la vitesse suivant deux axes rectilignes, et alors nos raisonnemonts porteraient sur une de ces projections.
La vitesse envoyée au point M à une époque quelconque par toute la surface de Tonde sera donc
A I I sin 97r ('T "~ î ) ^<3^-
Pour intégrer, il faut remplacer i et <P<y,par leurs valeurs eûibaction des coordonnées i?, K de M, et j?, y, 2 de JPa; or on a, en appelant/ le rayon de Tonde,
(fia'=dydz.
Mais nous simplifierons Texpression de S en supposant les ternies yi?, xK très-petits par rapport à/*, et les termesi?*, Ç* nëgligealdes devant cette même quantité; malgré cette restriction, nous aiirobs traité le problème d'une manière générale, puisque nous trou^^rôhs que dans cette hypothèse la lumière est insensible à une distance extrêmement petite du foyer; dès lors il serait inutile de chercher ce qui se passe en des points situés au delà des limites pour lesquelles on peut négliger n^ et ^. Prenons donc pour S
L'expression à intégrer est ainsi
/.jjsin «^ (i-{-f ^^) dydz.
('ne des intégrations sera toujours possible, soit par rapport à y, soit par rapport à z; mais la seconde intégration ne sera pas possible en termes finis, parce que nous supposons Tonde limitée par un cercle; néanmoins cette expression a été étudiée avec tant de soin et de détail par M. Knochenhauer, que la distribution de la lumière autour du foyer est aussi connue que si Texpression précédente {)oùvait se résoudre en termes finis. Nous ne la discuterons pas et nous renverrons aux leçons sur la diffraction, où ce calcul se trouve
»U f.K(.;0NS SI B I.OfTIOUE.
•>ous IMK- ronnc peu difT^rentf de cette qu'il i-un\ieiidrail de lui donner iil.
te r^ullat du trIcuI pst le suivant : l'inlensil/- de la lumière vit nia\iniiim an foyci': rllo drcroît lciitenii-i>t d'aliord, puis iilus rapidcmi-nl, el alliïinl un niiniinuin lrès-|)vu iliIFérent df zéru: en s'éloignaut toujours du foyer elle croit, alloinl un serond maximuoi beaucoup plus faible rjnc le premier, puis une série de roiniota et de maxima qui vont en décroissant. En prenant pour abscisses 1rs distances des points au foyer et pour ordonnées les intensités lumineuses à ces distances, on a une rourbi' analogue n celle qui est représentée tîg. 986, ol qui montre H l'œil les variations de Tintensité lumineuse, \insi, dan^ nn miroiraplanétique. loin d'a- F:f. .SA. voir un point niîÉthématiqw
lumineux au fover. on a une liichc n*n(ralc brillante, d'un éclal assez tiiiiroruie-. elle est cnvîninnce d'un anneau as.<«z obscur, celui-ci d'un anneau brillant, et ainsi de suite. Les anneaui obscurs ne .-.ont jamîtis i-nniplétcnienl iioiis. Les diamètres de ces anneaux ne suivent pas une loi simple, ils approchent des termes consécutifs de la néric des nombres impairs, tin représentant pur 1 lu quantité de hiniière i-oniprise dans la lacbe brillante centrale jusqu'au ])rumier minimum, les quantités de lumière cobaprifes entre deux ininima cnnséculifs sont :
Du i"aii ■)' uiiminuiii o,o6g3
Du 4' au It* niinimiim CoS^S
Du :t' nu h' mimuiuui u.0073
Du '1' iUi .S* luimmum 0.0011
Les aulres quantités sont trop petites pour qu'il y ait inférât i en tenir compte. Si l'on fait la somme des quantités de lumière conli>-
INSTBUMKMS DOPTIQIIK. Hhh
nues dans li*s annt'nux brîlluiits limités romnii' on vient de le fnire, el qu'on In compare à la quanli(<^ de lumière rcnfermëe dans la tache centrale, on voit quf eelle-cr contient les j de la lumière émise par la calotte spltériqur.
Lu disposition de ers atincauv dépend de la li>n(rueui' d'onde; nous aurons donc une apparence d'anneau\ colorés, phénomène rappelant les aberrations de réfrangibililé. Cette aberration particulière résulte nécessairement du mode de propagation de la lumière; mais il est possible de la réduire sin^'ulièrenient ou de diminuer de beaucoup le diamètre des anneaux. Ce diamètre varie en effet en raison inverse de l'ouverture angulaire du miroir, c'est-àdire du rapport y de la largeur du miroir à sa distance focale; par suite, en aujrmentant la valeur de ■^. on réduira les diamètres des anneaux. On peut arriver facilement à des dispositions (elles qu'ils ne soient visibles qu'it la loupe ou au microscope.
^sà. I
Que se passe-l-il si li- miroir n'est pas aplanélique? Dans re rus la solution mathématique du problème est beaucoup plus difficile el n'a mi^me pas été donnée jusqu'ici; mais on peu! sans elle rendre un compte exact des phénomènes, ainsi que nous niions le montrer.
Nous n'étudierons qu'un ras particulier, celui d'un miroir sph^rique NN' (lig. 987). recevant des rayons parallèles à l'axe. Soit F
le foyer des rayons cenlraui; cherchons comment se distribue la lumière dans le pian mené par le [Htint F [lerfiendirulairemenl à
846 LEÇONS SUR L'OPTIOUE.
Taxe AF. Prenons le point A pour origine et AF pour direction des X positifs.
Le mouvement vibratoire au sommet A du miroir étant repré-
senlé par sin 27r jo cherchons à représenter le mouvement vibratoire incident au point P. Ce mouvement aurait aussi pour expression sin fîTT r-p si le ra\on SP arrivait jusfpi'au plan tangent en P'; il est donc représenté en P par
sin •??! -=,— ou sin tîTr (= + i j ,
d'après la règle qui nous fait passer du mouvement vibratoire d'un point d'un rayon lumineux a celui d'un point d'un même rayon situé plus près de la source. Ce mouvement incident en P enverra au point M des vitesses proportionnelles à la surface ft^a de Télément P et à une fonction h de la distance MP et de l'inclinaison de cette droite sur la surface de l'onde; mais, comme précédemment^ nous supposerons h constant pour tout le miroir. Posant MP = <^, il suffira de remplacer i par / — y dans l'expression du mouvement du
point P pour en déduire celui du point M; nous aurons donc |>our expression de la vitesse envoyée au point M, parallèlement à un axe déterminé,
et, comme précédemment, remarquons qu'il n'est pas nécessaire de supposer le mouvement vibratoire rectiligne en M; s'il ne l'est ps, on le décompose suivant deux axes perpendiculaires et la vitesse en M résulte de deux vitesses rectangulaires
Notre calcul nous conduira donc à des résultats généraux, lors même qu'il n'aura été fait que dans l'hypothèse d'un mouvement vibratoire rectiligne.
Il nous reste ii trouver l'intégrale qui représente l'action du miroir
tout entier
Or, en appelant/, ri, Ç les coordonnées du point M; x, y, z celles du point P, on a
S^K(f~xf + (,-yf^{K-:f
ou, à cause de l'équation de la sphère dont le miroir fait partie, et
qui est
.rV. /,/:r + yi + :2.o,
il vient
Dans cette dernière expression , nous n'avons pas tenu compte de n^ et ^^ ; nous supposons le point M assez près du foyer pour que ces quantités soient négligeables et que ny et Kz soient très-petites par rapport à/^; on aura donc avec la même approximation
D'ailleurs
donc l'intégrale à calculer est
h\^dyih,xn^n{^^\+ ^^y^^^^ ),
ou il reste encore à remplacer x par sa valeur tirée de l'équation de la sphère. Or, tant que l'ouverture angulaire du miroir n'est pas
très-grande, on peut se contenter de la valeur approchée jp = • ^ ^' ^ qui s'obtient en négligeant x^. On fera donc cette substitution dans l'expression à intégrer après avoir développé j — ^ en série, et on ne conservera dans cette expression que les termes de l'ordre ^"t" .
Verbit, IV. — Conférences de physiqne. 54
848 LEÇONS SUH L'OPTIQUE.
Il (îsl nécessaire de pousser rapproxiinalion jusque-là pour avoir uni* différence entre les miroirs aplanétiques et ceux qui ne le sont pas. On obtient de la sorte une expression dont l'intégration dépend de la suivante :
I ds cos (»M^ + w*)'
<jui n'est pas connue et qui n*a pas été étudiée; de sorte que la théorie précédente n'a pas été développée jusqu'au bout, mais il n'est |)as nécessaire d'aller au delfi |)our le but (|ue nous nous proposons, car l'observation permet d'expliquer les phénomènes d'une manière complète.
485. Effets produits par les miroirs optoiiMI%iieo des pions porolléles ou pion foeol prlnelpoi. — Supposons (jue l'on observe avec une loupe oculaire l'image produite dans le plan focal principal par un miroir aplanétique; nous avons décrit les apparences qui s'y manifestent. Que l'on éloigne un pou la loupe de Treil afin de voir la distribution de la lumière dans un plan situé un peu plus près du miroir, on \oit la tache centrale blanche se percer dans son centre d'un trou de plus en plus obscur; si l'on avance davantage la loupe, le trou obscur devient un anneau obscur a\ec une tache blanche qui apparaît au centre et dont l'éclat est différent de celui de la tache précédente, et elle se perce à son tour d'un trou obscur; si l'on avance encore la loupe, on remarque en môme temps que, à mesure que l'on s'écarte du plan focale les intensités lumineuses de ces divers anneaux deviennent de plus en plus comparables. On a les mêmes apparences si Ton rapproche la loupe de l'œil de façon à voir ce qui se passe dans des plans plus éloignés du miroir que le plan focal.
Par conséquent, à mesure qu'on s'éloigne du foyer d*un miroir aplanétique, on diminue l'accumulation de. la lumière au centre et on rend sa distribution de plus en plus uniforme sur un grand ei^ pace.
Nous pourrons expliquer ces faits d'une manière très-satisfaisante comme il suit. D'abord la forme circulaire de la tache et des anneaux résulte de la symétrie qui existe par rapport à Taxe du miroir.
INSTHUMENTS D-QI-TigUK. Si!»
Si le miroir est a^ilaïu'tique, toutp.s le^ vibrations onvojt'es au loyer principal sont rigoureusement concordantes, mais elles oiïrenl des différences de phases sensibles lorsqu'on s'écarte uti peu <Iii foj er sur Tnxe du miroir : si nous prenons, par exemple, un point plus voisin du miroir, le» difFérents ra>oiLs (|ui j urritent n'ont pns parcouru des chemins é)|[iiu\; nu lifii d'upporter des vibrations rancordanli^s , ils déterminent des mouvements <|uî se détruisent en partie, et retle destruction peut devenir assez complète pour donner naissance îi une larhe à peu près noire, il en sera ainsi lorsque, les difTérences de marche du rayon qui parcourt le chemin le plus long et du rayon qui parcourt le chemin le plus court étant X, on pourra diviser tous les rayons en deux groupes ayant une différence de marche moyenne égale à-- En s'avançant encore, les différences de marche augmentent et on trouve un point pour lequel les rayons peuvent se diviser en trois grou[)es analogues à ceux qu'on vieul de définir: denv de res groupes se détruisent et le troisième subsiste: on rnmpi-end donc qu'à l'obscurité pn-sque complète de la taclie rioin' surrè<le un maxiniunt de lumière, el ainsi de suite.
