Emplttidu («IviuiaHiètr* de W^elier. — L'itHiplitude
du premier écart du hitrrcitu est preporUeuuelle au eou-
. — Il vaut mieux disposer l'aiguille du galvanomètre
au centre d'un cadre elliptique de cuivre rouge où se développent des courants induits de grande intensité, qui tendent à détruire le mouvement actuel de l'aiguille. Telle est la disposition du galvanomètre de Weber, oii le temps nécessaire aux observations suffit pour que l'aiguille revienne d'elle-même au repos. Mais comme on développe ainsi une énorme résistance au mouvement de l'aiguille, le sinus de la demi-déviation ne peut plus être pris sans examen préalable pour mesure de la vitesse initiale.
Nous avons donc h chercher les lois du mouvement d'une aiguille sous l'action du magnétisme terrestre et des courants induits qu'elle développe dans le voisinage. On supposera que l'aiguille s'écarte peu de sa position d'équilibre, ce qui permet de négliger la résistance de l'air.
Soient x^ et x les angles que fait à l'instant initial et à l'époque l l'aiguille aimantée avec une direction fixe arbitraire passant par l'axe de suspension. L'action du magnétisme terrestre est proportionnelle à sin(x — Xo) ou plus simplement à x — x^, dans notre hypothèse de petits déplacements. L'action du courant induit est proportionnelle à son intensité, laquelle dépend de la vitesse de l'aiguille et de sa situation relativement au cadre; mais si l'écart x — x^ est petit,
on peut négliger cette dernière cause et regarder le courant induit
dx comme proportionnel à la vitesse jr •
Il est maintenant facile d'écrire l'équation différentielle du mouvement, en exprimant qu'il y a équilibre entre les forces agissantes et celles qui produiraient le mouvement si l'aiguille était libre, prises en signe contraire. Or chaque point de l'aiguille possède sur
Tare de cercle qu'il décrit une vitesse -r- -> r étant sa distance à l'axe
de suspension; en un temps infiniment petit cette vitesse augmente
de r-Tpdt, et la force qui produirait cet accroissement est mr-^-
La somme des moments de ces forces par rapport à Taxe pris pour tous les points, et en signe contraire, est
,„^ ou -M;^,
M étant le iiiumenl d'inertie de Taiguille par rapport à l'axe de su>-
pension; le moment de l'action magnétique terrestre est — T(j7 — .t^), T se rapportant seulement à la composante horizontale de l'action terrestre.
Enfin, k désignant une constante qui dépend des lois de l'induction, — ^-irest l'action du courant induit. On a donc
(l^x kdx T / \
qu*on écrira, pour simplifier,
arX I dx I »> / \
On intègre cette équation difTërentielle en posant
et en substituant il vient
ou
Si a est réel , il en résulte
équation dans laquelle a' et a^ sont des racines négatives; alors l'écart actuel, étant la somme de deux expressions décroissant en progression géométrique, se réduirait lentement à zéro, et l'aiguille ne passerait point au delà.
Mais si l'on remarque que A, expression de la résistance apportée
par le courant induit, quand t, = ^^ est inférieure à T, il s'ensuit
que h est plus petit que a et que les racines de l'équation précédente sont imaginaires. On a en conséquence
= c*' [A(cos< v/a-'-/»"-'-f-v/~7sin< \V- h')
+ B (cos< \/^^~T^ - v'~~i^ si»( Vflï^^^)] ,
expression réelle si l'on prend pour A et B des valeurs imaginaire»; on a donc
-ht
( M cos / Vfl^ - li^ + N sin < \^a^ - h^j
où les deux tenues de la parenthèse peuvent être réunis comme il suit :
