XX

'^^ Mém. de VAcad. de$ «r.. Vil ,45.

permis de prévoir des phénomènes entièrement nouveaux et qui auraient sans aucun doute échappé aux expérimentateurs, s'ils n'avaient été indiqués par la théorie. La plus éclatante confirmation de ce genre est celle qui a été donnée par les phénomènes de la réfraction conique, déduits par Hamilton^'^ de la théorie de Fresnel et observés par Lloyd ^'^K

Fresnel, arrêté par quelques difficultés de calcul, n'avait pu obtenir l'équation de la surface de l'onde qu'en la supposant a priori du quatrième degré, et en calculant la valeur de ses coefficients de manière qu'ils satisfissent à certaines conditions faciles à déduire de la considération des ondes planes normales aux trois axes de symétrie du milieu. Ampère est le premier qui ait effectué le calcul d'une manière rigoureuse ^'^ ; plus tard , de Senarmont a fait connaître une méthode de calcul plus simple et plus rapide que celle d'Ampère ^^K

De nombreux physiciens et mathématiciens, parmi lesquels Gauchy se place au premier rang, se sont efforcés de faire disparaître les difficultés qui subsistent dans la théorie de Fresnel. Caucby publia en 1899 une théorie de la double réfraction indépendante de toute hypothèse ^*^ : il démontra que , si l'on considère l'éther comme formé de molécules séparées par des intervalles asse2 grands pour que ces molécules puissent être assimilées, dans leurs réactions mutuelles, à des points mathématiques, il n'est possible, avec un milieu ainsi constitué , de satisfaire aux lois de Fresnel que d'une manière approchée, et seulement dans l'hypothèse d'une double réfraction peu énergique. De plus, pour retrouver les lois de Fresnel à l'aide de la théorie de Gauchy, il faut admettre entre les coefficients d'où dépendent les grandeurs et les directions des forces élastiques mises en jeu dans les vibrations de l'éther des relations dont cette théorie ne montre ni la nécessité ni la signification physique.

Depuis les travaux de Gauchy, la théorie de la double réfraction,

0) Tram, of Ir. Acad., XV, 69 ; XVI , t , 9/i. W Tram. oflr. Àcad., XVII, 3.

^^) Ànn. de chim. H dephyê,, ( f ) , XXXIX , 1 1 3. ^*) Joum. de VEc, PolyUehn.^ XXV* cahier, p. 1 .

^'^ Exerc. de Mathémat., t V, p. 19. — Mém. de l*Acad, des se,, IX, 1 16; X, 998; XVIII, f 53. — Exerc, d'analyse et dephys, matkémaL, t. I, p. 988.

devenue Tune des branches de la théorie générale de rélasticité, a été l'objet de nombreuses et importantes recherches, parmi lesquelles il faut citer surtout celles de Green^^^ de M. Lamé^^^ de Plùcker^^^ et de Béer ^*^

<0 Cambr. Trfliw., VII, lao.

^*î Atm. de phys. et de chim,, ( a ) , LV, 33 s ; LVII ,211. — Leçonê sur la théorie tnathématique de VéUuiicilé des corps solides, Paris, i85a , leçons xvii-xxiv. ^•^î Joum, de Crelle, XIX, 1,91.

f*) Phil. Mag., ('1), II, 397. — GrunerCs Arckiv., XVI, aa3.

THEORIE DE FRESINEL.

117. Principes de la théorie de Fresnel. — Dans les milieux isotropes, c'est-à-dire dans les corps non cristallisés et dans les cristaux du système cubique , toutes les directions sont identiques ; donc, si dans l'un de ces milieux l'éther se trouve ébranlé, la vitesse de propagation de l'ébranlement est indépendante de la direction suivant laquelle il se propage et aussi de la direction dans laquelle les molécules ont été déplacées; de plus, la force élastique développée par le déplacement d'une molécule est toujours parallèle à ce déplacement.

Dans les milieux cristallisés qui n'appartiennent pas au système cubique, c'est-à-dire dans les milieux biréfringents, les différentes directions ne doivent pas être regardées comme identiques : c'est ce que prouvent non -seulement les formes cristallographiques, mais encore \e^ variations que subissent, suivant la direction dans laquelle on les considère , les principales propriétés physiques de ces cristaux , telles que la dureté, l'élasticité, la dilatabilité, la conductibilité pour la chaleur et l'électricité, etc. Dans les milieux non isotropes, les molécules d'éther ne doivent donc pas être distribuées de la même façon sur les différentes directions; la vitesse de propagation d'un ébranlement excité dans l'éther de ces milieux variera par conséquent avec la direction suivant laquelle a lieu la propagation et aussi avec la direction dans laquelle les molécules auront été primi-tivement déplacées, et en outre la force élastique développée par le déplacement d'une molécule ne sera pas en général parallèle à ce déplacement.

Si, dans un milieu homogène quelconque, on suppose qu'un point pris pour centre d'ébranlement soit déplacé dans toutes les directions possibles , le lieu des points atteints par tous ces ébranlements au bout d'un même temps constitue ce qu'on appelle la surface de Tonde. Cette surface est évidemment sphérique dans les milieux isotropes ou nniréfringents , mais présente une forme différente de

ia forme sphérique dans les milieux non isotropes ou biréfringente. Il est clair d'ailleurs que les surfaces de l'onde qui correspondent à des temps différents sont semblables et semblablement placées par rapport au point lumineux : aussi , quand nous parierons de la sur* face de l'onde, sera-t-il toujours sous-entendu que cette surface se rapporte à l'unité de temps.

Les propriétés optiques d'un milieu sont, comme il est aisé de le comprendre, liées de la manière la plus intime à la forme qu'affecte dans ce milieu la surface de l'onde, et la détermination de cette surface constitue , à proprement parler, l'objet essentiel de la théorie de la double réfraction.

Une heureuse conception de Fresnel a notablement simplifié la recherche de la surface de l'onde : cette conception consiste à substituer à la considération de cette surface celle de ses plans tangents , ou, en d'autres termes, à étudier, au lieu de la propagation des rayons divergents à partir d'un centre, celle des ondes planes passant par ce centre et ayant toutes les directions possibles.

Il est facile d'établir la liaison qui existe entre les positions occupées par ces ondes planes au bout d'un même temps et la surface de l'onde. Considérons à cet effet, dans un milieu indéfini, une onde plane, c*est-à-dire supposons que toutes les molécules d'un plan soient animées simultanément de mouvements vibratoires identiques^ de façon que la vitesse et la direction du déplacement soient les mêmes au même instant pour toutes ces molécules : il est évident que , pour que ronde plane se propage dans le milieu sans altération , c'est-à'dire en conservant sa direction et sa polarisation, il faut que les forces élastiques mises en jeu par les déplacements des molécules de cette onde soient parallèles aux déplacements.

Cette remarque , qui est de la plus haute importance et qui constitue une des bases fondamentales de la théorie de Fresnel, une fois faite, imaginons dans un milieu homogène quelconque une onde plane P (fig. 87) se propageant sans altération, et soit P' la position de cette onde au bout de l'unité de temps. Si nous prenons sur l'onde P' un point quelconque A\ un raisonnement tout à fait analogue à celui dont nous avons fait usage pour établir la propagation des ondes planes dans les milieux isotropes (51) montrera que le

mouvement du point A' provient uniquement de l'action d'une trèspetite partie de l'onde plane P, et qu'au point A, centre de cette région elficiicp . l'onde plane P est tangente à une surface de l'onde ayant pour centre le point A' : le mouvement vibratoire employant un temps égal à l'unité pour se propager du point A au point A', cette surface de l'onde doit corresj pondre à l'unité de temps. Soit main- ' tenant une autre onde plane Q tan- I gente en B à cette surface de l'onde et se propageant aussi sans altération dans le milieu; il est clair, d'après ce que nous venons de dire, qu'au bout d'un temps égal à l'unité cette onde passera par le point A' et occupera la position Q', et qu'il en -sera de même de toute onde plane tangente à la surface de l'onde et se propageant sans altération. D'ailleurs, si on imagine que les ondes planes se propagent en sens inverse el qu'à l'origine du temps elles occupent les positions P', Q', . . . , elles prendront évidemment, au bout de l'unité de temps, les positions P , Q , . . . . Donc la surface de l'onde est l'enveloppe de toute» le» <mde» plane» de direction» diverse» qu'on peut concevoir comme ayant posté à un instant donné par un même point et s'élanl etuuile propagies avec leurs infestes et leurs polarisations respective» pendant l'unité de temps.

La détermination de la surface de l'onde se trouve ainsi ramenée ù la recherche des vitesses de propagation des ondes planes. On peut remarquer en outre que, le mouvement vibratoire du point A résultant toujours de celui du point A', qu'on regarde ce point A comme faisant partie d'une ontle émanée du centre d'ébranlement A' ou bien comme appartenant à l'onde plane P, le mouvement vibratoire doit être le même en un point de ta surface de l'onde et sur l'onde plane qui lui est tangente en eu point.

118. njfOêimt» MliHl*e« i^r FresBcl. — La théorie de Fresnel s'appuie sur un certain nombre d'hypothèses que nous allons

maintenant faire connaitre en indiquant par quelle suite d'idées il a été amené à les admettre.

Dans les cristaux à un axe, il est évident, par raison de symétrie, que tout déplacement perpendiculaire à l'axe d'une seule molécule doit donner naissance à une force élastique dirigée en sens contraire du déplacement, et indépendante de la direction particulière du déplacement dans un plan perpendiculaire à Taxe. Un déplacement parallèle à Taxe doit aussi donner naissance à une force élastique dirigée en sens contraire du déplacement, mais d'une intensité différente de la précédente. D'autre part , les lois expérimentales de la double réfraction nous apprennent que toutes les ondes planes polarisées dans la section principale se propagent dans le cristal avec une vitesse constante qui est celle des rayons ordinaires, et que toutes les ondes planes dont le plan contient l'axe et qui sont polarisées perpendiculairement à la section principale se propagent avec une autre vitesse constante qui est celle des rayons extraordinaires perpendiculaires à l'axe. Ces propriétés remarquables deviennent des conséquences d'un même principe si l'on admet :

1° Que les vibraiimis de la lumière polarisée sont perpendiculaires au plan de polarisation y d'où il résulte que sur les ondes planes polarisées dans la section principale les vibrations sont perpendiculaires à l'axe, et que, sur les ondes planes dont le plan contient l'axe et qui sont polarisées perpendiculairement à la section principale, les vibrations sont parallèles k l'axe ;

s° Que, si dans le plan d'une onde plane les vibrations ont lieu parallèlement ou perpendiculairement h l'axe optique, les forces élastiques qu'elles développent ne diffèrent des forces élastiques développées par le déplacement parallèle d'une seule molécule, les autres restant en repos, que par un facteur constant indépendant de la direction particulière du plan de l'onde.

La première supposition est d'autant plus plausible qu'elle conduit à regarder les vibrations des rayons ordinaires, qui sont toujours polarisés dans le plan de la section principale, comme s'eiïectuant perpendiculairement h l'axe optique, et que la simplicité de ce caractère commun paraît l'explication de l'identité de leurs propriétés; si, au contraire, sur les rayons ordinaires les vibrations s'effec-

tuaient dans le plan de polarisation, ces vibrations feraient avec l'axe un angle variable suivant Tinclinaison du rayon par rapport à l'axe.

Si l'on remarque que, dans un cristal à un axe, toute droite perpendiculaire à Taxe est l'intersection de deux plans par rapport auxquels le cristal est symétrique, on est porté à admettre que, dans les cristaux à deux axes, lorsque les vibrations d'une onde plane sont parallèles à l'une des trois intersections des trois plans rectangulaires de symétrie, elles développent aussi des forces élastiques proportionnelles à celles qui résulteraient du déplacement d'une molécule unique, quelle que soit la direction particulière du plan de l'onde, et cette hypothèse explique l'existence des trois groupes de rayons qui, dans chacun des trois plans de symétrie, se réfractent conformément à la loi de Descartes, mais avec des indices différents.

11 est naturel d'étendre à tous les cas une hypothèse qui rend compte de tant de particularités des phénomènes, et c'est ainsi que Fresnel a été conduit à admettre comme un principe de sa théorie que, dans tous les cas, les forces élastiques mises en jeu par la propaga-lion et un système H ondes planes, à vibrations rectilignes et transversales , ne dépendent que de la direction des vibrations et sont dans un rapport constant avec Us forces élastiques développées par le déplacement parallèle d'une molécule unique, les autres restant en repos.

Pour rendre compte des phénomènes au moyen de cette hypothèse^ il est nécessaire d'y ajouter une troisième hypothèse qui a paru à Fresnel n'être que l'expression pure et simple de la transversalité des vibrations. Si les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, comme, dans les cristaux à un axe, les ondes planes extraordinaires sont toujours polarisées perpendiculairement à la section principale , les vibrations de ces ondes doivent être parallèles à la section principale, c'est-à-dire contenues dans le plan qui passe par l'axe et par la normale à l'onde; s'il est en outre nécessaire qu'elles soient absolument transversales, elles doivent être dirigées précisément suivant l'intersection du plan de l'onde et de la section principale. Mais la force élastique développée par un déplacement parallèle à cette direction n'est pas en général dirigée en sens inverse du déplacement, car cette propriété n'appartient qu'aux forces élastiques développées par des déplacements parallèles ou perpendicu-

464 DOUBLE RÉFttACTlON.

laires à l'axe; il semble donc, d'après ce que nous avons vu précédemment, que les ondes planes extraordinaires ne puissent en général se propager sans altération dans les cristaux à un axe. Seulement la force élastique dont il s'agit est, par raison de symétrie, contenue dans le plan de la section principale comme le déplace^ ment dont elle résulte, et par conséquent sa composante parallèle au plan de l'onde est parallèle au déplacement. Si l'on considère cette composante comme seule efficace, la propagation des ondes extraordinaires se trouve expliquée.

C'est ainsi que Fresnel a été conduit à regarder la composante perpendiculaire au plan de l'onde de la force élastique comme n'ayant aucune action sur les phénomènes lumineux, ce qu'il attribuait à l'incompressibilité absolue de l'éther, et à admettre par suite que, pour qu'une onde plane se propage sans altération, il suffit que la composantis parallèle au plan de cette onde de la force élastique développée par ses vibrations soit aussi parallèle à la direction du déplacement.

La quatrième et dernière hypothèse de Fresnel est relative à la vitesse de propagation des ondes planes : il suppose que , lorsqu'une onde plane se propage sans altération dans un milieu homogène quelconque, sa vitesse de propagation est proportionnelle à la racine carrée de la composante efficace de la force élastique mise en jeu par ses vibrations.

Fresnel justifie cette hypothèse par l'analogie qui existe entre les vibrations lumineuses de l'éther et les vibrations transversales d'une corde tendue. On sait en eflPet que la durée d'une oscillation pour iine corde vibrant transversalement est proportionnelle à la longueur de la corde et en raison inverse de la racine carrée de la tension, d'où il suit que le quotient de la longueur de la corde par la durée d'une oscillation est proportionnel à la racine carrée de la tension : de là Fresnel conclut par analogie que , lorsque l'éther vibre transversalement, le quotient de la longueur d'ondulation par la durée d'une oscillation (c'est-à-dire la vitesse de propagation) est proportionnel à la racine carrée de la force élastique, qui joue dans ce cas le même rôle que la tension de la corde.

En résumé les hypothèses admises par Fresnel sont les suivantes :

THEORIE DE FRESNEL i65

Les vibrations de la lumière polarisée sont perpendiculaires au plan de polarisation,

9® Les forces élastiques mises enjeu par la propagation d'un système d'ondes planes, à vibrations rectilignes et transversales, ne diffèrent des forces élastiques développées par le déplacement parallèle d'une seule molécule que par un facteur cotistant indépendant de la direction particulière du plan de l'onde et ne dépendant par conséquent que de la direction des vibrations.

3° Lorsqu'une onde plane se propage dans un milieu homogène quelconque, les composantes parallèles au plan de Tonde des forces élmtiques mises en jeu par les vibrations de cette onde sont seules efficaces.

f\^ La vitesse de propagation d'une onde plane qui se propage sans altération dans un milieu homogène quelconque est proportionnelle à la racine carrée de la composante efficace d/* la force élastique déf^eloppée par les vibrations de cette onde.

119. EiLprewiloii «lialy tique de 1» forée élastique développée par le déplaeement d'une molécule unique* —

La seconde des hypothèses que nous venons d'énoncer conduit natu> rellement à chercher l'expression de la force élastique développée par le déplacement d'une molécule unique; les résultats auxquels Fresnel est parvenu dans cette partie de ses recherches sont indépendants de toute hypothèse sur la constitution du milieu élastique et ont, même en dehors de l'optique, une importance considérable, car ils forment encore aujourd'hui la base de la théorie générale de l'élasticité.

Soit un milieu homogène quelconque, et prenons dans ce milieu trois droites rectangulaires quelconques pour axes des coordonnées. L'action exercée sur une molécule M de ce milieu, qui a pour coordonnées (^, y, z), par une autre molécule M' dont les coordonnées sont (.r', y', z'), a pour expression

IX désignant les masses de chacune des molécules, masses qui sont égales puisque le milieu est homogène, et r la distance des molécules réagissantes. Pour que la molécule M soit en équilibre, il faut et il

VEnDRT, V. — Optique, I. 3o

sulïil i|ue la résultante des actions exercées sur celte molécule par toutes les autres molécules du milieu soit nulle, et par conséquent que l'on ait, en représentant par le symbole 2 une somme de termes analogues,

Supposons maintenant que la molécule M soit écartée de sa position d'équilibre, mais d'une quantité très-petite, et que les projections du déplacement sur les trois axes soient Sx, Sy, Sz. La distance de la molécule M à la molécule M' devient alors r -|- Sr, et, si l'on représente par Ss la grandeur du déplacement , par XSs, \Ss, l^Sn les composantes parallèles aux axes de la force élastique mise en jeu par ce déplacement, de façon que X, Y, Z soient les composantes de la force élastique rapportée à l'unité de déplacement, un aura, en supposant le facteur constant y? égal a l'unité,

Ziv -2/-(r+<îr)iiiizi.

'' ' r-hSr

(i'es expressions peuvent se simplifier en développîint/(^r-t-Ji*) el en négligeant les termes qui contiennent Sr h une puissance supérieure à la première ou les produits de Sr par l'une des quantités Sx, Sy, Sz, ce qui est permis, vu la petitesse du déplacement; on obtient ainsi

, ^ , ../ ^ ,., , f .t -^ S.r — y \ / Sr\

S|/(rj|-J,-/(r)|( ,. -j(i -,;)

vent par conséquent vérifier Téqualion

tangîV« =

Si V est un peu grand, si, par exemple, la valeur de cette variable est supérieure à 3, les restes des séries de Gaurhy sont négligeables, et Ton a

C, = l + Psin-V^--Ocos-V\ 'a a ^ a

Sv=--Pros-V2-0sin-V^

Dans cette hypothèse, l'équation précédente devient

Psîn^V^- Qcos-V^

^ Pros-Vî + Osin-V«

d'où

Or

les termes de cette série vont en décroissant lorsque V est supérieur à 3 : la valeur de Q est donc dans ce cas comprise entre -^yi et ^^3 — iw^ » quantités qui sont toutes deux positives, et l'équation

n'a pas de solution.

II est démontré par là qu'il n'y a ni maximum ni minimum dans Tintérieurde l'ombre géométrique, dès qu'on s'écarte assez de la limite de cette ombre pour que V devienne plus grand que 3 : mais pour faire voir que le décroissement de l'intensité s*opère également d'une manière continue pour les points qui correspondent à des valeurs de V inférieures ù 3, une discussion numérique est nécessaire.

468 DOUBLE REFRACTION.

Les coefTicients de Sx, Sy, Sz dans ces équations sont au nombre de neuf; mais six d*entre eux seulement ont des valeurs différentes, et, si l'on pose

D^s[/(r)-'qa]'.'--'-H-''l, E-2[/(r)-£i^]'"-"';.l--'''.

il vient

\S8=Mx + FSy + ESzy

YSB = ¥Sx+BSy+DSz,

ZSs^ESx + DSy + CSz.

En désignant par a^ fi, y les angles que fait la direction du déplacement avec les axes des coordonnées, on a

Sx Sr Sz

cosa=-ïr, cosp=-^'i cosy=-T-»

es • ôs ' ôs

et les équations précédentes prennent la forme

[ X = A cos a+ F cos ^ + E cos y. (a) < Y = Fcosa+Bcos /3+Dcosy,

( Z = E cosa + D cos ^ -f- (1 cos y.

X , Y, Z sont les composantes parallèles aux axes de la force élastique rapportée à l'unité de déplacement.