Prlnelpe de 1» ■uperp«sHloii dc« élmmUeàtém. — Les
composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement égal h e et faisant avec les axes des angles égaux
H a, /S, y ont pour expression
Xe = Ae cosa+ Fe cos j8 + Ec cos y, Ye = Fe cos a + Be cos jS + De cos y, Ze = Ec cosa + De cos j8 + Ce cos y.
Pour un déplacement parallèle à l'axe des x et égal à la projection sur cet axe du déplacement e , les composantes de la force élastique sont, en posant ecosa = ei,
X^ei = Aecosa, Yiei= Fecosa, Z^ej = Es cos a;
de même, pour des déplacements parallèles à Taxe des y et à Taxe des z et égaux respectivement aux projections du déplacement e sur ces axes, les composantes de la force élastique sont, en posant ecosj8=e2, fiC0sy = e3,
\e2 == Fe cos /3 , Yg eg =- Be cos j8 , Z2e2 = De cos ^ ,
et
XaSa = Ee cos y, Y^Ss --- De cos y, Z^e^ = Ce cos y.
On a par conséquent
Xe = X, Cl + X2e2 + Xaea , Ye-= Yjei + Y2e2 4-Y3e3, Ze = Zi ej + Z2 e2 + Z3 e3.
De ces dernières équations on déduit le principe suivant, connu sous le nom de principe de la superposition des élasticités, et qui joue un rôle important dans la théprie générale de l'élasticité :
La force élastique développée par un déplacement très-^etit d'une molecuU peut être regardée comme la résultante des forces élastiques qui seraient mises enjeu, si la molécule recevait successivement trois déplacements parallèles à trois axes rectangulaires et égaux respectivement aux projections du déplacement réel sur ces axe^.
Ce principe n'est vrai qu'autant que le déplacement est trèspetit, car, dans le calcul qui nous a conduit aux équations ( 3 ) ,
A70 DOUBLE REFRACTION.
nous n'avons tenu compte que des termes qui sont de Tordre de la première puissance du déplacement.
121. railpsolde inveme des élasticités. — Si Ton projette la force élastique produite par un déplacement très-petit, égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, ]8, 7, sur la direction même du déplacement, cette projection Pa pour valeur
P= A cos^'^a^- B cos^^ + C cos2y+ 2D cos /Scosy + aKcosy cos a
+ 9FcosacoSjS.
Supposons ([u on construise une surface dont le ravon vecteur, faisant avec les axes les angles a , /3 , 7, soit en raison inverse de
V^, c'est-à-dire une surface telle, que les rayons vecteurs soient en raison inverse des racines carrées des projections sur ces rayons des forces élastiques développées par des déplacements très-petits, égaux à l'unité et respectivement parallèles aux rayons vecteurs.
L'équation de cette surface est, en désignant par u le rayon vecteur et en supposant le coefficient de proportionnalité égal à l'unité ,
— = \ cos^a + B cos^^ + C cos^y + '^D cos /S cos 7 + aE cos y cos a
+ aFcosacosjS,
d'où , en remarquant que l'on a
cosa=--"» cos/3=^^i rosy=^^ \x' + ]iy^ + (jZ'+ il)y2+ jE2X+ 3Fxy= 1.
La surface est donc du second degré, et, comme elle est nécessairement fermée, ce ne peut être quun ellipsoïde; elle porte le nom d'ellipsoïde inverse des élasticités ou premier ellipsoïde : nous l'appellerons, pour abréger, l'ellipsoïde (E).
122. AiLes d*élR0tielté. — L'ellipsoïde inverse des élasticités peut être rapporté à ses trois axes de symétrie; son équation prend ;ilors la forme
THKOKIE DE FllES.NEL. 471
Si Ton choisit ces trois axes pour axes des coordonnées, les coeflicients des termes qui , dans l'expression de P, contiennent les produits cosj8cos7, cos^cosa, cosacos/3, doivent devenir identiquement nuis, sans quoi Féquation de Tellipsoide renfermerait des termes où figureraient les rectangles des coordonnées. Donc, en prenant pour axes des coordonnées les trois axes de symétrie de lellipsoîde (E), les composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement très-petit, égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, /3, y, sont représentées par
\= Lcosa, Y = Mcos/3, Z=--^cosy.
Cherchons maintenant quelles sont les directions telles, qu'un déplacement parallèle à l'une de ces directions produise une force élastique parallèle au déplacement. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les angles a, /3, 7, formés avec les axes par la direction cherchée , satisfassent aux relations
cos a cos jS cos y '
qui peuvent être mises sous la forme
L cos a cos ^=^M cos a cos /3 , M cos /3 cos y = N cos jS cos y, N cos y cos a == L cos y cos a.
Lorsque les trois coefficients L, M , JN ont des valeurs différentes, c'est-à-dire lorsque le milieu est inégalement élastique suivant trois directions rectangulaires, ce qui est le cas général, ces trois équations ne peuvent être satisfaites (|ue si. l'un des trois angles a. ^, y étant nui, les deux autres sont égaux à 90 degrés, ou. en d'autres termes, si le déplacement est parallèle à l'un des trois axes des coordonnées. Nous arrivons ainsi à cette importante proposition :
Dans un milieu homogène , il existe toujours trois directions rectangulaires telles, quun déplacement très-petit d^une molécule parallèlement à Hune de ces trois directions produit une force élastique parallèle au déplacement, et en général aucune autre direction ne jouit de cette propriété.
/i7î2 DOUBLE RÉFKACTiOIV.
Nous ap[)eileroiis axe d'iHasttctté toute direction telle, qu'un déplacement très-petit s'eiTectuant parallèlement à cette direction donne naissance à une force élastique parallèle au déplacement. Il y a donc en général dans un milieu homogène trois axes d'élasticité; ces trois axes sont rectangulaires entre eux et parallèles aux axes de symétrie de l'ellipsoïde (E).
Si le déplacement a lieu parallèlement à Taxe des x, on a
s'il a lieu parallèlement à l'axe des y,.
X = o, Y = M, Z-o; s'il a lieu parallèlement à Taxe des :,
\=o, Y=o, Z = IV.
On voit donc que les forces élastiques développées par des déplacements égaux s'eiïectuant parallèlement aux trois axes d'élasticité , forces qui sont elles-mêmes parallèles à ces axes, sont inversement proportionnelles aux carrés des longueurs des trois axes de l'ellipsoïde (E).
Si deux des quantités L, M, N sont égales, l'ellipsoïde E a deux axes égaux; dans ce cas cet ellipsoïde est de révolution , et toute droite située dans le plan des axes égaux est un axe d'élasticité. Donc , si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'effectuant suivant deux droites rectangulaires donnent lieu à des forces élastiques j)arallèles aux déplacements et égales entre elles, tous les déplacements s'effectuant suivant une direction comprise dans le plan de ces deux droites produisent des forces élastiques parallèles aux déplacements et égales entre elles si les déplacements sont égaux: c'est ce qui a lieu dans les milieux cristallisés à un axe.
Si les trois quantités L, M, N sont égales entre elles, l'ellipsoïde (Ë) devient une sphère, et toute droite est un axe d'élasticité. Donc, si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'effectuant suivant trois droites rectangulaires donnent lieu à des forces élasti<|ues parallèles aux déplacements et égales entre elles , tout dépla-
cément, quelle que soit sa direction, produit une force élastique qui lui est parallèle, et la grandeur de celte force élastique est indé* pendante de la direction du déplacement.
Revenons maintenant au cas général : si nous représentons par a, &, c les vitesses de propagation des déplacements parallèles aux axes, ces vitesses, étant proportionnelles à la racine carrée de la force élastique, seront inversement proportionnelles aux racines carrées des quantités L, M, N : l'équation de l'ellipsoïde (E) peut donc être mise sous la forme
(E) aV + Ay + c22^=i,
et les composantes parallèles aux axes de la force élastique produite par un déplacement très-petit, égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, jS, 7, ont pour expression définitive
\ = (i^cosa, Y = A*^cos/3, Z = c^cosy.
123. Dlrcetloiis sliisulléres. — Nous allons actuellement chercher quels sont, parmi les déplacements moléculaires très-petits qui peuvent s'effectuer dans un même plan , ceux pour lesquels la projection de la force élastique sur ce plan est parallèle au déplacement.
Si l'on coupe l'ellipsoïde (E) par un plan quelconque passant par son centre et qu'on choisisse pour axes des x et des y les axes de la section elliptique ainsi déterminée, l'équation de l'ellipsoïde prend la forme
Aa^ + By2 4 Cr2 + aDy^ + a Ea?z=- 1 ,
le coefficient F du terme en xy devenant nul. Les trois composantes de la force élastique sont alors représentées par
X =^ A cos a + E cos y,
Y = B cos jS + D cos 7,
Z = E cos a + D cos /3 + C cos y.
Si le déplacement a lieu parallèlement au plan des o;^ , on a
y^90^ cosjS^sina,
DOLBLE REFRACTION.
Pi par suite
\^^ A cosa.
\ —fi sina,
Z - E cos a 4- D siii a
Pour que la projectiun de la force élastique sur le plan des jcy soit parallèle à la direction du déplacement, il faut et il suffit que Ton ait
cosce SI 11 a ou
A cos a sin a =^ B sin a vos a;
lors(jue A et B ont des valeurs différentes, cette équation ne peut être satisfaite que si a est nul ou égal à go degrés, c'est-à-dire si le déplacement est parallèle à l'un des axes de la section elliptique. .\ous sommes conduits ainsi à la proposition suivante :
Parmi lom le» d^lacenients moléculaires qui peuvent s'exécuter dans un même plan, il n'y en a en frénéral que deux qui donnent naissance a une force élastique dont la projection sur ce plan soit parallèle au déplacement; les directions de ces deux déplacements sont recUtngulaires et parallèles aux axes de la section elliptique qu'on détertnine en menant par le centre de rellipsdide (E) un plan parallèle à celui dans lequel ont lieu les déplacements.
Ces deux directions sont ce qu'on appelle les directions singtdières du plan considéré.
Si le plan dans lequel s'effectuent les déplacements est parallèle aux sections circulaires de l'ellipsoïde, toute droite située dans ce pian est une direction singulière, et, par suite, tout déplacement s'opérant dans ce plan donne lieu, quelle que soit sa direction, à une force élastique dont la projection sur le plan est parallèle au déplacement.
12 A. \Hemmm de prop»Siitloii dem ondes ptones. — Les
hypothèses admises par Fresnel permettent d'appliquer à la propagation des ondes planes les résultats que nous venons d'obtenir. Kn
THÉORIE DK FKESINEL. '475
ciïet, comme les forces élastiques mises enjeu dans la propagation d'une onde plane ne diffèrent de la force élastique développée par le déplacement d'une seule molécule que par un facteur constant, et que d'ailleurs la composante parallèle au plan de Tonde est seule efficace, pour qu'une onde plane puisse se propager sans altération, c'est-à-dire en conservant sa direction et sa polarisation, il faut et il suffit que les déplacements des molécules sur cette onde soient parallèles à l'une des directions sinjjulières du plan de Tonde. Si. sur Tonde plane, le déplacement a une direction quelconque, on peut toujours, en vertu du principe delà superposition des élasticités, supposer ce déplacement décomposé en deux autres s'effectuant parallèlement aux directions singulières. Une onde plane donne donc en général naissance à deux systèmes d'ondes sur lesquelles les vibrations sont parallèles aux directions singulières du plan de Tonde et perpendiculaires entre elles. Les vitesses de propagation de ces deux systèmes d'ondes , estimées normalement au plan de l'onde, sont différentes. Ces vitesses, d'après la quatrième hypothèse, sont proportionnelles à la racine carrée de la composante efficace de la force élastique, et par suite, d'après la construction de l'ellipsoïde (E), elles sont en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique déterminée dans cet ellipsoïde.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
A une même direction de propagation normale correspondent deux sys^ tèmes d'ondes planes sur lesquelles les vibrations s'effectuent parallèlement aux axes de la section elliptique déterminée dans l'ellipsoïde (E) par un plan passant par son centre et perpendiculaire à cette direction, et dont les vitesses de propagation mrmale sont inversement proportionnelles aux fowgueurs de ces axes.
Cette proposition constitue à proprement parler la loi fondamen* taie de la double réfraction et s'est toujours trouvée d*accord avec Texpérience. Fresnel y était arrivé par voie de généralisation avant d'avoir tenté de la justifier par la théorie mécanique que nous venons d*exposer.
Il est facile maintenaht de trouver l'expression de la vitesse de propagation d'une onde plane. Soient en effet a, /3, y les angles que
476 DOIBLE HÉFRACTiON.
forme avec les axes des coordonnées Tun des axes de la section ellip* tique faite parallèlement au plan de cette onde dans fellipsoîde (E): les composantes de la force élastique développée par un déplacement parallèle à cet axe seront
X — fl^cosa, Y=- i^cos/3, Z==-c^cosy.
La projection de la force élastique sur la direction du déplacemenl, c'est-à-dire la composante efficace de cette force élastique, aura donc pour expression
d^ cos*-* a + h^ cos-^ /S + c^ cos* y,
et la vitesse de propagation de Tonde plane sera représentée par
y/a^ cos*-^ a + h^ cos^ /3 -j- c^ cos^ y.
En donnant aux angles a, j6, y les valeurs qui conviennent aux deux axes de la section elliptique, on aura les vitesses de propaga-* tion des deux systèmes d'ondes qui peuvent cheminer dans le milieu parallèlement à un plan donné.
Si le plan de l'onde est parallèle à l'un des axes d'élasticité du milieu, l'une des directions singulières de ce plan coïncidera avec cet axe, et par suite l'une des vitesses de propagation de l'onde plane sera égale à ri^ à 6 ou à r suivant que l'onde est parallèle à l'axe des X, à celui des y ou à celui des z.
Si le plan de l'onde est parallèle aux sections circulaires de l'ellipsoïde (E), l'onde pourra se propager sans altération, quelle que soit la direction des déplacements moléculaires, et sa vitesse de propagation sera indépendante de la direction de ces déplacements.
l'25. lléterinlB»ti«ii de 1» «urfiMe d'élMrtlcIté. — Nous suivrons dans la détermination de la surface de l'onde la méthode indiquée par de Senarmont, et nous chercherons d'abord l'équation d'une surface auxiliaire dite surface d*élasticité ou surface des vitesses normales. Pour obtenir cette surface il faut, par un point pris pour centre « mener un plan quelconque et, sur la normale h ce plan, prendre des longueurs inversement proportionnelles aux axes de la
section elliptique faite dans Tellipsoïde (E) parallèlement à ce plan, ou directement proportionnelles aux deux vitesses de propagation des ondes planes parallèles à ce plan qui peuvent cheminer dans le milieu : le lieu des points ainsi déterminés est la surface d'élasticité. Les plans perpendiculaires aux extrémités des rayons vecteurs de cette surface sont les positions occupées au bout d'un même temps par toutes les ondes planes qui passent simultanément par le centre, et, par conséquent, la surface de Tonde n'est autre chose que l'enveloppe de ces plans.
La surface de Tonde se déduisant de la surface d'élasticité, proposons-nous en premier lieu de trouver l'équation de cette dernière surface. Prenons à cet effet pour axes des coordonnées les trois axes d'élasticité du milieu; soient /, m, n les angles que fait avec ces axes • la normale à une onde plane ^a^fi^y ceux que forme avec les mêmes axes un des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde (E) parallèlement à cette onde; nous aurons
(i) cos a cos / + (*os jS cos m + cos y cos n = o.
La force élastique développée par un déplacement parallèle à la droite qui fait avec les axes les angles a, jS, y se projette sur le plan de Tonde parallèlement à ce déplacement, et les cosinus des angles que la direction de cette force fait avec les axes sont proportionnels aux quantités a^cos a, h^ cos ]S, c^cosy (124). Si donc on considère âne droite auxiliaire perpendiculaire à la fois au déplacement et à la force élastique, cette droite sera située dans le plan de Tonde, et, en désignant par m, v, w les angles qu'elle fait avec les axes, on aura
(a) /ï^cosacostt + ^^cos/3 cosv + c^cosy costt?^= o,
(3) cosa cosw + cos/3 cosw+cosy costr= o ,
{J\) cos /cos 14+ cos m cosr + cosiî cosw ==o.
Enfin, en représentant par r la vitesse de propagation de Tonde plane, on a
(5) r^=(i^ cos^a + A^cos^jS + r^cos^y.
Si, entre ces équations, on élimine les quantités a, ^, y, u, v, iv,
M» tH)lBl,E KKKUACTION.
il retilei-a une relalioa entre r, I, m, ii <|ui sera ri!<|ii;tlion p^tlalre de la surface d'élasticité.
Pour effectuer l'éilminalion des angles u. r, tr, nous emploierons la méthode des coeilicients indéterminés; nous ajouterons les équations (i)}, {3|, (4) après les avoir multipliées respectiveraeni, la première parB, la seconde par A, la troisième par i, et nous déterminerons A et B de façon que les coefficients de costi et de cosu' soient nuls. Nous obtiendrons ainsi les trois équations
( ( A + Bn'')cosa + cos/ = o.
(6| ! (A + Btf'jcos^+cosiw-- n.
' (A -I- Br'lrosy-l-cosw '^ o.
Si l'on ajoute ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par rosa, cos/3, cosy. il vient, en tenant rompte des équations (i) el (5|.
A-f Bf^=o,
En portant celle valeur de prennent la forme
< dans les - B|,^-,,'
quai ions ..Isa.
Itil.
ces équations
eus IN
d'où l'on tire
cil.-.*!
-nl>■-
