DE L'ARC-EN-CIEL

L'étude des phénomènes de diffraclion produits par les ondes non sphériques est encore très-peu avancée; un seul cas a été traité par le calcul : c'est celui de l'arc-en-ciel. Aussi ce chapitre sera-t-il consacré entièrement à la théorie complète de ce phénomène météorologique et des apparences qui s'y rattachent.

104. Aaelemie théorie ûm r«rc-en-etol. — L'arc-en-ciel est, comme on sait, un phénomène qui consiste en bandes colorées de forme circulaire qu'on aperçoit en tournant le dos au soleil lorsqu*il tombe de la pluie. Dans la plupart des cas on voit deux arcs, et dans chacun de ces arcs les couleurs se succèdent dans le même ordre que dans le spectre solaire; l'arc le plus brillant est l'arc intérieur ou premier arc-en-ciel, qui présente le ronge en dehors et le violet en dedans ; l'arc extérieur ou second arc-en-ciel est beaucoup plus pâle que le premier, et les couleurs y sont disposées dans l'ordre inverse, c'est-à-dire que le violet se trouve en dehors et le rouge en dedans. Le centre commun de ces arcs est toujours sur la droite qui passe |)ar le centre du soleil et par l'œil de l'observateur, de sorte que les points culminants des deux arcs-en-ciel sont d'autant plus relevés que le soleil est plus voisin de l'horizon. Leurs diamètres apparents sont constants; dans le premier arc-en-ciel le demi-diamètre apparent est de ^o degrés pour le violet et de ha degrés pour le rouge; dans le second, le demi-diamètre apparent est de 5 1 degrés pour le rouge et de .Vi degrés pour le violet. L'espace compris entre les deux arcs-en-i*iel est toujours notablemenl plu> obscur que le reste ilu ciel.

DIFFRACTION. 403

1^ production de rarc-en-ciel a été de tout temps adribuc^o à in réflexion des rayons solaires dans les gouttes de pluie. La théorie de ce phénomène, ébauchée par Antoine de Dominis, évoque de Spalatro, fut développée par Descartes et complétée ensuite par Newton en ce qui touche Tordre des couleurs. La théorie de Descaries est insuflisante en ce qu'elle ne tient compte que de la condensation l^us ou moins grande des rayons suivant les différentes directions et non de leur différence de marche; aussi, comme nous le verrons plus loin , ne peut-elle expliquer toutes les particularités du phénomène. Néanmoins, avant de faire connattre la théorie complète due à M. Airy, il est utile de rappeler les points essentiels de la théorie cartésienne.

Supposons que sur une goutte d'eau de forme sphérique tombe un faisceau de rayons solaires parallèles entre eux : certains de ces rayons seront diffusés à la surface extérieure de la goutte et feront voir les nuages et la chute de la pluie; d'autres ne reviendront ù i'œil de l'observateur qu'après s'être réfléchis une ou plusieurs fois dans l'intérieur de la goutte. Parmi ces derniers rayons considérons en particulier ceux qui émergent de la goutte après s'être réfléchis une seule fois dans son intérieur; les rayons émergents qui correspondent à des rayons incidents infiniment voisins divergent en faisant entre eux un angle qui en général est un infiniment petit du premier ordre; mais il existe toujours une incidence telle, que deux rayons infiniment voisins, entrant dans la goutte sous cette incidence, en sortent en faisant entre eux un angle infiniment petit du second ordre; en d'autres termes, à un faisceau incident infiniment étroit, pénétrant dans la goutte sous cette incidence, correspond un faisceau émergent composé de rayons parallèles et conservant par suite son intensité jusqu'à une grande distance. Les rayons qui émergent parallèlement sont dits rayons efficaces, et si l'on admet, comme le faisait Descartes, que les intensités des rayons qui arrivent à l'œil s'ajoutent toujours arithmétiquement , il est évident que la goutte paraîtra beaucoup plus fortement éclairée lorsque l'œil sera placé sur la direction des rayons efficaces que lorsqu'il occupera toute autre position. Cette considération des rayons efficaces, qui forme la base de la théorie de Descartes. s'up*

A0& LUMIÈRE NUN POLARISÉE.

p)î<|ue égalemenl aux rayons qui Rubiseent |)lusïeur8 réflexions à

l'inl^rieur de la goutte d'eau.

Pour déterminer la direction des rayons efficaces, il est nécesr sairc de suivre la marche des rayons lumineux dans une goutte de pluie. Tout est symétrique autour du rayon qui, tombant normalement sur la surface de la goutte, va passer par le centre: il suQîldonc de voir ce qui se jtasse dans un plan quelconque mené parce rayon. Soit SI ( lig. 8 1 ) un rayon incident quelconque : ce rayon se réfracte suivant H', se réfléchit une première fois suivant l'I'et émerge en partie suivant m ; une autre partie du rayon se réfléchit suivant l'r el émei^e suivant l'R', et ainsi de suite. Nous appellerons en (général retatioH d'un rayon , lorsque ce rayon change de direction, l'angle de ta nouvelle direction avec le prolongement ;hange plusieurs Tois de direction, nous nommerons rotation totale la somme des rotations partielles qui correspondent il chacun de ces changements de direction; nous désignerons au contraire sous le nom de dématùm l'angle formé par U direction définitive du rayon estimée dans le sens de la propagation avec sa direction primitive estimée en sens contraire de la propagation : ainsi la rotation du rayon émergent TR est égale à la somme des angles Hll. HTI", HTIt. et sn déviation à l'angle de la direction rKavccla direction IS. Ceci posé, désignons pari l'angle d'incidence du rayon 51, par r l'angle de réfraction corre^ondant : U rotation produite par la réfraction en 1 est égale à i^r; celle qui résulte de la réflexion ((ui s'opère en 1', et en général de loule réflexion à l'intérieur de la goutte d'eau, est représentée par « — ar; enfin, quand le rayon émerge, l'angle d'incidence ù l'iotérieur de la goultc t>st égal k T, et par suite Tiingle d'émergence à i; la rotation qui a lieu k l'émei^nre a donc encore |>our valeur i — r. On voit

de l'ancienne; lorsqu'un rayo

DIFFRACTION. Û05

par là qu'en dësignant par p la rotation totale d'un rayon qui subit k réflexions à Tintérieur de la goutte » on a

p=a (i — r) + /:(7r— ar).

Les rayons efficaces sont évidemment ceux dont la rotation est maximum ou minimum; il faut donc, pour déterminer la valeur de l'angle d'incidence qui correspond aux rayons efficaces, annuler la dérivée de p par rapport à i, ce qui donne

De la relation

on tire