SIU

-. — = n smr

dr cos i

di acosr

L'équation précédente devient donc

cos /

d'oii

on a d'ailleurs

1 —ik+ i) — ^- ==-0

M*-* COS- r=-{^k-\- I )'^ cos^ i;

n^ sin^ r = sin^ i;

en ajoutant membre à membre, il vient

t?= ,+(ta4.3i.)cos2|'.

d*oii

Pour l'eau, l'indice de réfraction n est égal à 3 environ, et par suite R^— 1 à ^; le dénominateur lfi+ ùk est au moins égal à 3 : la valeur trouvée pour cos t est donc toujours admissible, et, quel que soit le nombre des réflexions intérieures, il existe toujours pour une couleur déterminée une valeur, et une seule , de l'angle d'incidence, pour laquelle les rayons émergents sont cflicaces.

h06 LUMIÈRE .NUN POLARISÉE.

Nous avons mainleiianl à chercher si la rotation des ravons effiraces est un maximum ou un minimum. Pour décider cette question

il faut connaître le signe de -p; or on a

dp / 1 \ dr

le signe de tt est donc toujours contraire à celui de ji *

De la relation

dr cos / di ncosr

on tire d'ailleurs

rf*r -- «Vos* r sin i-^ftsin rcWr

3i* n'cos'r

et, PU remarquant que Ton a

n sin r = sui i", w*^ ros- r = li^ - sm^ » ,

il vient

iPr (i — /r)sin r f/i* M^'os^r

On voit que ^i est toujours négatif et que, par suite , -tt est toujours positif. La rotation des rayons efficaces est donc un minimum. (|uel que soit le nombre des réflexions.

On peut encore se proposer de déterminer la position du point dVmer|rence d'un ra\on quelconque SI par rapport au point d'émergence du ra\on normal SA. Ce dernier point d'émergence est le point A ou le point A\ suivant que le nombre des réflexions est impair ou pair; après k réflexions, l'arc compris entre ce pobt d'émergence et le point A est donc représenté, en prenant le rayon de la goutte pour unité, par [k+x]^. On voit facilement que, pour le ra>on SI, l'arc compris entre le |K>int d'incidence et le point d'émergence est égal, après k réflexions, à (A'-f- i) (ir — ar); il en

DIFFRACTION. 407

ré9i|{te que, pour l'arc compris entre le point d'émergence du rayon SI tt. celui du rayon normal SA, arc que nous désignerons par S. on yura

J=3(it+i)r-f.

Pour savoir si la dislance angulaire S de ces deux points d'émergence pst susceptible d'un maximum ou d'un minimum, il faut égaler à zéro la dérivée de S par rapport à f , ce qui donne

et enfin

'i (^ + i Y cos- 1 = m'-' - t + cos^ »',

cos- 1 =- - /L . ~«

La valeur ainsi trouvée pour rosi est toujours très -petite, car dans U cas d'une seule réflexion elle est égale à y-^) et elle diminue ^ mesure que k augmente ; de plus, comme on a

et quejTï esl toujours négatif, la valeur obtenue pour l'angle d'incidence correspond toujours à un maximum de S.

La distance angulaire S du point d'émergence du rayon SI au point d'émergence du rayon normal, nulle quand le point d'incidence* du rayon SI se confond avec le point A , va donc d'abord en augmentant avec IVngle d'incidence et atteint un certain maxinmm qui a lieu lorsque l^ngle d'incidence est voisin de 90 degrés, c'està-dire quand le rayon SI est voisin du rayon tangent à la goutte d'eau.

Nous avons maintenant à montrer comment l'existence des ravons efficaces peut servira expliquer la production de l'arc-en-ciel. Occupons-nous d'abord des rayons qui ne se réfléchissent ([u'une seule fois à l'intérieur des gouttes d'eau : ce sont ces rayons qui donnent naissance au premier arc-euf-ciel ou arc intérieur. £n faisant dans

$08 LUMIÈRE NON POLARISÉE,

les formules précédentes k= i et en adoptant pour l'indice de* réfraction la valeur approchée j, on trouve pour les an^es d'incidence et de réfraction qui correspondent aux rayons efficaces et pour la rotation totale de ces rayons les valeurs suivantes :

t = 59'*a3', r^âû'ia', />•=»+ ai— ûr= i37'58'.

La déviation des rayons efficaces est dans ce cas, comme le montre la figure 89, égale au supplément de la rotation, c'est-àdire à environ A3 degrés. Si donc on conçoit un c6ne ayant ppur sommet l'œil de l'observateur, pour axe la droite qui joint cet œil au centre du soleil et pour ouverture angulaire &3 degrés, chacune des génératrices de ce cane qui rencontre une goutte d'eau peut être regardée comme l'axe d'un faisceau de rayons efficaces, et par suit? ce c6nc coupe les nuages suivant un arc lumineux qui est le' premier arc-en-ciel, '

La rotation des rayons efficaces n'a pas la même valeur pour les différentes couleurs : d'après la valeur trouvée plus haut pour cos t, l'angle d'incidence des rayons ctriraces est d'autant plus petit que l'indice de réfraction est plus grand, d'où il résulte qu'à mesure que la réfrangibilité des rayons augmente la rotation devient plus grandv, et par conséquent la déviation plus petite :

dans le premier arc-cn-ciel, le viutct doit donc se trouver en dedans et le rouge en dehors. Les valeurs exactes des déviations, calculées d'après les fommles précédentes, sont Ao'i^'pour les rayons rouges, âa'i'Âo' pour les rayons violets.

'''■■ "'■ La rotation des rayons ef-

ficaces étant toujours un minimum, leur déviation dans le premiar arc-en-ciel est un maximum , d'oiï il faut conclure que les gouttes

DIFFRACTION. «09

d'eau plac^ au-dessus du premier arc-en-ciel ne peuvent envoyer il l'œil aucun rayon ayant subi une réflexion unique à l'iatérieur de ces gouttes.

U est aident d'ailleurs que la partie visible du premier arc-enciel provient de rayons qui ont pénétré dans la goutte d'eau audessus du rayon incident normal, car les rayons tels que Sli (fig. 83), qui pénètrent dans la goutte par la partie inférieure sous l'incidence qui convient aux rayons efficaces, se relèvent îk fémersion et sont alors dirigés vers le haut. La portion d'arc formée par ces derniers rayons peut 4tre observée, soit lorsqu'on se trouve sur une baiite montagne au-dessus des nuages, soil dans les ascensions aérostatiques.

Les rayons qui subissent deux réflexions i l'intérieur des gouttes d'eau donnent naissance au second arc ou arc intérieur qui, par' suite de l'affaiblissement qu'éprouve la lumière à chaque réflexion , doit élre plus pâle que le premier. On obtient dans ce cas, en faisant k = Q, » = â' j'our l'angle d'incidence des rayons ellicaces et pour leur rotation totale, les valeurs suivantes :

1 = 70% r= 45'i5', p= ùir + ai — (ir= a3-i"3o'.

La déviation des rayons efficaces est alors égale ù p — tt, c'est-àdire à D9*3o'. Cette déviation augmente en ni^me temps que ta rotation avec la réfrangibilité : dans le second arc-eu-ciel , le violet doit donc dire en dehors I el le rou|je en dedans. Les valeurs évades des déviations sont ici 5o'58'5o' pour les rayons rougets, âi'g'ao' pour les rayons violets. La partie visible du second arc-en-ciel provient d'ailleurs de rayons qui ont pénétré dans la goutte par la partie inférieure el qui, après avoir subi une rotation de aSa'So', sortent du cité de la goutte parleqnel entrent les rayons

ilO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

incidents et sont dirigés vers la terre, ainsi que le montre la figure 83.

Dans le second arc-en-ciel, la déviation des rayons efficaces est un minimum comme leur rotation ; les gouttes d'eau situées au-dessous de cet arc ne peuvent donc envoyer à Toeil aucun rayon ayant subi deux réflexions intérieures. En comparant cette remarque à celle que nous avons faite plus haut au sujet des gouttes placées audessus du premier arc-en-ciel, on voit que les gouttes qui se trouvent dans la région comprise entre les deux arcs doivent paraître très-peu éclairées, car aucun des rayons qui ont subi à Tîntérieur de cei gouttes soit une réflexion unique, soit deux réflexions, ne peut arriver jusqu'à l'œil.

On doit se demander pourquoi, dans les conditions ordinaires, on n'aperçoit pas plus de deux arcs-en-ciel , bien que la théorie en indique une infinité. On conçoit bien que, par suite des réflexions successives, la lumière s'afiîaiblisse de telle sorte que les arcs d'an ordre élevé ne puissent être distingués; mais la difl*érence d'éclat entre le premier et le second arc n'est pas assez considérable pour qu'on puisse attribuer l'absence du troisième à son peu d'intensiti*'. La véritable raison qui empêche de voir le troisième et le quatrième arc -en -ciel, c'est que ces arcs ne se projettent pas sur la partie du ciel qu'embrasse le regard d'un obsenateur tournant le dos au soleil; le premier arc visible pour cet observateur après le second est le cinquième, qui est déjà trop faible pour pouvoir être reconnu.

On trouve en efl'et, pour la rotation des rayons eflicaces, 3 18 degrés dans le cas de trois réflexions, et fioti degrés dans le cas de quatre réflexions; d'où il résulte que les rayons qui se sont réfléchi» trois ou quatre fois dans l'intérieur des gouttes d'eau, qu'ils aient pénétré dans les gouttes par la partie supérieure ou jMir la partie inférieure, en sortent toujours par le côté opposé au soleil. Pour voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, il faudrait donc que l'observateur fût tourné vers le soleil et qu il tombât de la pluie entre lui et cet astre; mais dans ces conditions les arcs sont nové> dans la lumière solaire et restent invisibles.

Pour le cinquième nrc-en-ciel la rotation des ra} ons eflicaces est de /186 degrés, c'est-à-dire d'une circonférence entière plus 1 *i6 de-

DIFFRACTION. 411

grés; la portion de cet arc due aux rayons qui pénètrent dans leb gouttes par la partie inférieure serait donc visible pour un observateur tournant le dos au soleil, si la lumière n'était pas trop aflai«> blie par les réflexions successives.

Les couleurs des différents arcs-en-ciel ne sont pures que sur les bords; car, le soleil ayant un diamètre apparent d'environ 3o minutes, la bande qui, dans chaque arc-en-ciel , correspond à une couleur simple a une largeur égale à ce diamètre apparent : il y a donc superposition partielle des bandes de différentes couleurs, sauf vers les bords de l'arc.

Enfin on peut remarquer (|ue les dimensions transversales des faisceaux efficaces sont d'autant plus considérables que le diamètre des gouttes de pluie est plus grand; l'arc-en-ciel doit donc être d'autant plus brillant que ces gouttes sont plus grosses, ce qui explique pourquoi des gouttelettes très-fines ne peuvent jamais produire d'arc-en-ciel.

On peut obtenir des arcs-en-ciel artificiels en éclairant un jet d'eau cylindrique, soit au moyen des rayons solaires pénétrant dans la chambre obscure par une petite ouverture, soit par une lumière artificielle de petite dimension ; il devient alors possible de distinguer les arcs formés par les rayons qui émergent du cAté opposé à celui par où pénètrent les rayons incidents. M. Babinet a observé les aros formés par un jet d'eau jusqu'au quatorzième et mesuré leurs dimensions angulaires, qui se sont trouvées peu différentes de celles qu'indique la théorie ^^K