Ares 0uriiumérsâpcs« — Théorie ë'Totuis. — La

théorie que nous venons d'exposer est , comme nous l'avons dit , in-» complète en ce qu'elle suppose que les intensités des rayons s'ajoutent toujours arithmétiquement; aussi ne peut-elle expliquer Is^ présence des bandes colorées qu'on désigne sous le nom d'arc* 9ur^ numéraires ou supplémentaires. Ces bandes se montrent le plus souvent à l'intérieur du premier arc-en-ciel, plus rarement à l'extérieur du second; immédiatement en contact avec le violet de l'arc principal, on voit du rouge, puis du vert et du violet; ces alternatives de cou-

f'- Ci?., IV, 645.

AÏS

LUMIÈRE NON POLARISÉE.

leur peuvent se reproduire plusieurs fois au-dessous du premier arcen-ciel ou au-dessus du second. Il est à remarquer que les arcs surnuméraires ne sont visibles en général que dans leurs parties culminantes.

Young a essayé le premier de rendre compte de la production de ces arcs surnuméraires'"; il a remarqué que, la rotation des rayons efficaces étant toujours un minimum, il doit exister des rayons qui, pénétrant dans la goutte de part et d'autre des rayons efficaces, éprouvent des rotations égales et émergent par conséquent parallèlement. Ces rayons, ayant parcouru dans la goutte d'eau des chemins difiérents, sont susceptibles d'interférer, pourvu que leur différence de marche ne soit pas trop grande, c'esl-À-dire pourvu qu'ils ne soient pas trop éloignés des rayons efficaces. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse des rayons qui se réfléchissent une seule fois I » l'intérieur de In goutte, et soit SI (fig. 8Â) le rayon efficace, pour lequel la rotation est d'environ 1 38 degrés. Pour les rayons incidents compris entre le rayon I efficace SI et le rayon normal SA, la rotation croît de i 38 à 1 80 degrés. Pour les rayons incidents I compris entre le rayon efficace Si I et le rayon tangent SK , la rola- I tîon va également en croissant à I mesure qu'on se rapproche du "*■ "'■ rayon Sk; pour le rayon SK, U

rotation est égale à air - Ar, r étant l'angle de réfraction qui correspond H un angle d'incidence de 90 dcgn>s: pour l'eau. cpI angle de réfraction est â8°35', ce <|ui donne pour la rotation du ra\Dn Sk i(iâ"Ao'. Il résulte de li^ qu'à chaque rayon, tel que SB, qui rencontre la goutte d'eau entre te point I et le (wint k, rorre«pond un rayuu incident S(l qui éprouve la même rotation et qui est compris entre SI et SA: il est facile de voir que ces rayons SB

<^> EiperimfDU and CtlculalioDi rdilivc lo Ph]nial Opiio (PkO. Tr*—.. lioi. p. 8).

DIFFRACTION. A13

et se, qui émergeni parallèleonnt , doivent se réfléchir dtnss Tintërieur de la goutte au même point. La déviation des rayons efficaces étant un maximum dans le 6as d'une seule réflexion, celle des rayons qui émergent parallèlement doit être inférieure à la déviation des rayons efficaces, et, comme ces rayons parallèles donnent lieu ù un maximum ou à un minimum de lumière suivant que leur diflérence de marche est égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation, il doit se produire à Tintérieur du premier arc-en-^ ciel une série de maxima et de minima alternatifs pour chaque couleur simple, et par conséquent une succession de bandes. colorées. Les rayons parallèles dont la déviation diflère peu de cell^ des rayons efficaces présentent seuls une diffi^rence de marche assez petite pour que les couleurs dues aux interférences de ces rayons soient distinctes; aussi les arcs surnuméraires ne sont-ils visibles que dans le voisinage immédiat de Tare principal. Une bande d'un ordre déterminé correspond toujours à la même difl'érence de^marche des rayons qui émergent parallèlement, et cette différence de marche pour une même déviation est d'autant plus grande que le diamètre de la goutte est plus considérable; h une même déviation correspond donc une bande d'un ordre d'autant plus élevé que la goutte est plus grosse, et, comme les gouttes augmentent de volume en tombant , les bandes vont en s'écartant dans les arcs surnuméraires à mesure qu'on se rapproche de la partie culminante de ces arcs, ce qui explique pourquoi elles ne sont visibles que dans leur partie supérieure.

Les arcs surnuméraires qu'on aperçoit quelquefois à l'extérieur du second arc-enH;iel s'expliquent d'une manière analogue par les interférences des rayons qui émergent parallèlement après avoir subi deux réflexions; ces arcs sont Irès-pâles et restent souvent invi-^ sibles. Les arcs surnuméraires s'observent en grand nombre lors-« qu'on produit des arcs-en-ciel artificiels. M. Babinet a vu jusqu'à 9eize franges colorées à l'intérieur du premier arc-en-ciel formé par un jet d'eau , et a pu distinguer huit franges h l'extérieur du second arc principal ^'^.

i'^ C./?.. IV, 638.

MA LIIMIÈRK NON POLABISÉK.

106. literie d'AliT. — BKpltM»«l*n «•mplèc» «le l'wc- Mi-«lel. — L'expiiralion donnée par Young n'est en réalilé qu'un simple aperçu, et son principal mérile est d'avoir montre ce qu'il v a d'inexact dans los anciennes théories. M. Airy est le premier qui ail donné une théorie romplèlc de toutes les particularités que présente le phénomène de l'arc-en-ciel'". Cette théorie est fondée sur la considération de l'onde qui correspond aux rayons émergents. L'onde émei^ente, dans une quelconque de ses positions réelles ou virtuelles, est évidemment une surface de révolution ayant pour axe le rayon incident normal , et toute section méridienne de cette onde est une développante de la caustique formée par les rayons émei^ gents compris dans le plan de la section. Il suffit d'après cela de voir ce qui se passe dans un plan mené par le rayon normal SA (fig. 8S). Supposons qu'il s'agisse des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'intérieur de la goutte d'eari, et occu|>ons-noiis seulement des

rayons qui pénètrent dans la goutte au-dessus du rayon incident normal SA. Les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre le rayon normal SA et le rayon efTirace SI forment une branche ADE de la courbe caustique, branche qui e^t asymptote au prolongement l'T du rayon émergent eflirace l'R. puisque le ravon émergent tend ù devenir parallèle à l'R à ti

"i Inlpniily of Li|;lil in llii> \fi|;lil>nurhnoil of* Caiislic (Trant. o/ll^Sf.i^Camir.. VI.37y).

DIFFRACTION. AÏS

qU«> le point d'incidence sf- rapproche du point I: de plus cette branche est tangente en A au rayon normal SA. line serotide branche de la rausti<fue est engendrée par les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre SI el le rayon tangent; cette seconde branche ETG est asymptote au rayon émergent eflîcace TR el tangente en F au rayon émergent dont le point d'émergence est sur la circonférence à une distance du point A aussi grande (|ue possible, rayon ([uî. comme nous l'avons vu (105), correspond à un rayon Incident voisin du rayon tangent.

La section de l'nnde émergente par le plan de la figure est une développante de la caustique dont nous venons d'indiquer ta forme générale; de plus, en vertu du théorème de Gergonne (3), elle coupe nrthogonalement les rayons émergents compris dans ce plan. Cette courbe, au point 0 où elle rencontre le rayon émergent elUcace l'R un son prolongement, est donc normale à la direction de ce rayon: son rayon de courbare devient infini en ce point, d'où il résulte qu'elle présente un point d'inflexion en 0 et qu'elle affecte dans le voisinage du point 0 la forme figurée en HOt. Prenons pour ori- I gine ce point 0 (fig. 86), pour e des y le rayon émergent efTècace l.et ])Our axe des s une perpendî- I nilaire à ce rayon . les j- étant comptés positivement du côté d'où j. gj viennent les rayons incidents et

les y du côté vers lequel se dirigent le» rayons émergents, c'est-à-dire au-dessous du point 0. La courbe HOL, qui est la section de Tonde émergente [lar le plan de la figure, passe par l'origine et est normale en ce point ii l'axe des y; de plus elle présente à l'origine un point d'inflexion ; on doit donc avoir -.ni point 0 sur celte courbe

dr 'l'y

il suit

si l'on 11

lid^re la courlu"

■ dans If

kdisiuage

&16 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

du point 0, ce qui est suffisant pour le but que nous nous propor sons, son équation peut être mise sous la forme

^ = -3?' en posant

Nous allons chercher maintenant à déterminer Tintensité de la lumière en un point M situé dans le plan de la figure, et dans une position telle que la droite qui joint ce point k l'origine fasse un angle très-petit avec Taxe des y, c'est-à-dire avec la direction du rayon émergent eiTicace. Désignons Tabscisse de ce point par p et

son ordonnée par q; le rapport- sera une quantité très-petite. Un

raisonnement tout à fait analogue h celui que nous avons fait pour substituer une onde circulaire à une onde sphérique prouve que l'intensité envoyée par l'onde émergente en M est proportionnelle à celle qu'envoie en ce même point l'onde linéaire HOL; il suffit donc de calculer cette dernière intensité.

Prenons à cet effet sur la courbe HOL un point S dans le voisinage du point 0; désignons par s l'arc OS, par S la distance SM, et

représentons par sin sir ^ «b la vitesse envoyée en M par rélément

de Tonde linéaire qui a pour milieu le point 0.

En remarquant que l'on peut négliger les vitesses envoyées en M par les éléments de l'onde linéaire qui sont éloignés do pâle et que ce pôle est toujours voisin do point 0, Ion voit que l'intégrale qui représente la vitesse totale envoyée en M par l'onde linéaire peut , sans qu*il en résulte d'erreur sensible , être prise de — oo ii + oo ; de plus, comme les seuls éléments qui influent sur la valeur de cette intégrale correspondent à de petites valeurs de $, et que, dans le voisinage du point 0, la courbe s'écarte très-peu de l'aie des X, il est permis de remplacer dans cette intégrale dit par dx. La vitesse envoyée au point M par l'onde linéaire a donc pour

DlKPRACTfON. 417

expression

J^^sin'»^(i-j^)f/x.

On a d'ailleurs, en désignant par x et y les coordonnées du point S et en remplaçant y par sa valeur tirée de Féquation de la courbe.

X étant toujours petit, le terme en afi peut être négligé, et, en posant

il vient

En développant * par la formule du binôme et en négligeant les termes qui contiennent x k une puissance supérieure à la troisiènu*, on a

\ r' ar 6a c ac ar ar /

Comme p est très-petit par rapport à q, on peut remplacer c ou \^l^+q^ pary + — % et même plus simplement par q, dans les

dénominateurs des termes de l'expression précédente, ce qui donne, en négligeant p devant q et devant c,

' ai/ q 'Uf Va^ ,5rr/

le facteur -^ peut être supprimé comme étant très-petit vis-à-vis de T^' Pt il vient

p px ^^X j X Verdit, V. — OpUf|u«, I. ««7

' 'Xii a 'ÀU Sir

/I18 LUMIÈRHrNON PULAHISÉE.

Pour faire dispariittre le terme en a^, il suffit de choisir une nouvelle variable jt' de telle façon que l'on ait

l'expression «le J deviendra alors, on désignant par/ l'ensemble des termes indépendants de x\

Cette expression peut encore se simplifier, car a^ étant de l'ordre de grandeur de '— est négligeable vis-à-vis de fiptj; il vient ainsi

' q Sfr

L'expression de la vitesse envoyée au point M par l'onde linéaire, loi'squ'on y remplace S par relte dernière valeur, prend la forme

d'où il résulte que l'intensité de la lumière au jioint M a pour mesure

En remarquant que la première de ces intégrales a une valeur deux fois plus grande (jue si elle était prise de zéro à -h ex el que la seconde est nulle, on voit que l'intensité au point M peut être représentée par

Hr-s(^---/-')''''r-

Si l'on |)ose

DIFFRACTION. Ai9

et si Ton pose enrore

rintëgrale dont dépendent les variations de l'intensité prend la forme

I cos - (t»' — mw) dw.

En définitive, l'intensité au point M est donc proportionnelle au carré de cette dernière intégrale, qui peut être regardée comme une fonction du paramètre m; ce paramètre est lui-même proportionnel à -t c'est-à-dire à la tangente de l'angle formé par la droite

OM avec la direction du rayon émergent efficace, lequel angle est égal à la différence des déviations du rayon que reçoit l'œil placé en !Vf et du rayon eflicace.

M. Airy a calculé les valeurs que prend l'intégrale

I cos - [nfl - mil?) dtr

lorsqu on donne au paramètre m des valeurs positives ou négatives variant par dixièmes à partir de zéro; il s'est fondé sur cette remarque que la valeur de l'intégrale reste sensiblement la même lorsque la limite supérieure varie depuis une valeur un peu grande jusqu'à l'infini, remarque tout à fait analogue à celle que nous avons faite sur les intégrales de Fresnel. La méthode de calcul employée par M. Airy est une méthode d'approximation différant peu de celle dont s'est servi Fresnel pour évaluer ses intégrales, et consiste à diviser l'intervalle compris entre les limites extrêmes de l'intégrale en un grand nombre d'intervalles très-petits. Il a trouvé ainsi que, si l'on donne à m des valeurs négatives, l'intégrale décroit à mesure que la valeur absolue de m augmente et tend rapidement vers zéro; si, au contraire, on attribue à m des valeurs positives croissantes, l'intégrale commence par crottre. atteint bientôt

fîîO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

un premier maximum, puis passe par une série de minima et de maxima, le premier maximum ayant une valeur beaucoup plus grande que tous les autres. De là résultent plusieurs conséquences importantes relativement à la distribution de la lumière. On voit

en premier lieu qu'à une valeur nulle de m et par conséquent de ^

ne correspond pas un maximum d'intensité, et que le premier

maximum, qui est de beaucoup le plus intense, a lieu lorsque - a

une valeur positive peu différente de zéro; il faut en conclure que la déviation du premier arc-en-ciel n'est pas exactement égale à relie

des rayons efficaces, mais un peu plus petite. Lorsque - est négatif.

r'est-à-dire lorsque la déviation est plus grande que celle des rayons ellicaces, l'intensité décroît très-rapidement : Téclairement de la région située au-dessus du premier arc-cn-ciel devient donc insensible à une petite distance de cet arc, du moins si Ton ne tient compte que des rayons qui ont subi une réflexion unique à Tintérieur des gouttes d'eau. Lorsque - est positif et crott à partir de

zéro, c'est-à-dire lorsque la déviation est inférieure à celle deî^ rayons efficaces, l'intensité passe par une série de maxima et de minima; le premier maximum produit l'arc principal; les autres, qui correspondent à des déviations de plus en plus petites, les arcs surnuméraires qu'on observe à l'intérieur de cet arc principal.

Le calcul donne les valeurs de m pour lesquelles l'intensité est maximum : ces valeurs sont proportionnelles aux valeurs correspondantes de -1 c'est-à-dire aux distances angulaires des différents airs surnuméraires à l'arc dont la déviation est égale à celle des rayons efficaces; la constante par laquelle il faut multiplier ^ pour avoir le

paramètre m ne pouvant être évaluée exactement, on ne pourra déterminer que les rapports entre ces distances angulaires, rapporb qui sont indépendants des dimensions des gouttes d'eau.

Les valeurs absolues des distances angulaires des arcs surnuméraires à l'arc efficace varient au contraire avec le diamètre des goutle^ d'eau. En effet, un m^ine maximum correspondant toujours» une

DIFFRACTION. 421

même valeur de m, la valeur de ~ pour un arr surnuméraire d'un

ordre déterminé est d'autant plus petite que a est plus grand. Or il est facile de voir que le paramètre a est proportionnel au rajon de la goutte d'eau : il suffit pour cela de remarquer que, pour deux gouttes d'eau de rayons différents, les sections méridiennes de l'onde émergente doivent être semblables et avoir pour rapport de similitude le rapport des rayons, d'où il résulte qu'en prenant pour origine les points oii les deux courbes rencontrent le rayon efficace et en désignant par r et r les rayons des deux gouttes d'eau, par a et a les valeurs du paramètre pour les deux courbes, par x, y et x\ y les coordonnées de deux points homologues de ces deux courbes, on aura

et par conséquent

Pour un même maximum, la valeur de - est donc d'autant plus

petite que le diamètre des gouttes d'eau est plus considérable, et les arcs surnuméraires sont d'autant plus écartés les uns des autres que les gouttes sont plus fines, ce qui explique pourquoi ces arcs ne sont visibles que dans leur partie culminante. On voit de plus que l'écart entre la déviation du premier arc -en -ciel et celle des rayons efficaces augmente à mesure que les gouttes deviennent plus fines.

iNous ne nous sommes occupés dans ce qui précède que des effets produits par les rayons qui se sont réfléchis une seule fois à l'intérieur des gouttes d'eau : le cas oii les rayons subissent plusieurs réflexions se traitera d'une façon complètement analogue. On trouvera ainsi que la déviation du second arc- en- ciel est toujours un peu plus grande que ne l'indique la théorie de Descartes, et que l'écart est d'autant plus considérable que les gouttes d'eau sont plus fines; au-dessous de ce second arc-en-ciel l'intensité décroît très-rapide-

422 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

tuent, au-dessus elle passe par une série de maxinia et de minima donnant lieu à des arcs surnuméraires.

La théorie de M. Airy a été confirmée par les recherches exjiérimentales de Mi Miller, qui a mesuré avec un théodolite les dimensions angulaires des arcs principaux et des arcs surnuméraires que produit un filet d'eau cylindrique éclairé par une source artificielle d'un trèspetit diamètre apparent ^*^.

1 07. Arc-eo-«iel blane. — On donne le nom d'arc-cn-ciW bknc à un phénomène qui s'observe principalement au moment où un brouillard épais se résout en pluie très-fine, et qui consiste en un arc d'apparence blanchâtre, à peine teinté de rouge sur son bord extérieur, dont le demi-diamètre apparent est variable et en général notablement plus petit que celui du premier arc -en -ciel. Ce demidisfmètre apparent est le plus souvent compris entre 87 et 4 a degrés; à cette dernière limite l'arc-en-ciel blanc se confond avec l'arc-en-ciel ordinaire. Bouguer a vu dans les Cordillères un arc-en-ciel dont le demi-diamètre était de 33°5'; mais aucune observation postérieure n a donné un angle aussi faible.

L'explication la plus plausible de l'arc-en-ciel blanc consiste à le regarder comme produit par des gouttes d'eau extrêmement fines. La théorie de M. Airy montre en effet que l'écart entre la position réelle du premier arc-en-ciel et celle que lui assigne la théorie de Descartes augmente à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Quant à l'absence de coloration, elle tient en partie au peu d'intensité de la lumière que réfléchissent des gouttes très-petites, mais elle s'explique surtout par l'existence de gouttes de diamètres différents donnant lieu à des arcs dont les dimensions angulaires ne son! pas les mêmes : ces arcs en se superposant doivent en effet produire une bande sensiblement blanche, sauf sur les bords.

M. Bravais a essayé d'expliquer l'arc-en-ciel blanc en admettant la présence dans l'atmosphère de gouttes d'eau creuses, dont l'enveloppe aurait une épaisseur comparable au rayon de la cavité intérieure ^'^^ Les rayons qui émergeraient d'une pareille goutte aprps

'' TranM. of ihê .SW. of Cambr., VII, 377.

*) C. «., XXI, 736. • Joum, de VÉc. M, XVIII, 97.

DIFFRACTION. 423

une seule rëflexion seraient en effet compris entre deux surfaces coniques formées, l'une par les rayons émergents qui proviendraient des rayons incidents tangents à la surface extérieure de la goutte, l'autre par les rayons émergents correspondant aux rayons incidents qui, après réfraction, deviendraient tangents à ia surface intérieure de la goutte. Mais Texistence de gouttes d*eau suspendues dans Tatmosphère et présentant la constitution que leur suppose M. Bravais est fort peu probable.

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