Tttémrim d'AIpy. — Es^lteAtlsB

u — L'explication donnée par Young n'est en réalité qu'un limple aperçu, et son principal mérite est d'avoir montré ce qu'il y a d'inexact dans les anciennex théories. M. Airy est le premier qui ait donné une théorie complète de toutes les particularités que présente le phénomène de l'aro-cn-ciel"'. Cette théorie est fondée sur la considération de l'onde qui correspond aux rayons émergenlii. L'onde émergente, dans une quelconque de ses positions réelles ou virtuelles, est évidemment une surface de révolution ayant pour axe le rayon incident normal , et toute section méridienne de cette onde est une développante de la caustique formée par les rayons émer- ^nts compris dans le plan de la section. Il suffît d'après cela de voir ce cpii se passe dans un plan mené par le rayon normal SA (lig. 85). Supposons qu'il s'agisse des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'intérieur de la goutte d'eau, et occupons-nous seulement de»

rayons qui pénètrent dans la |roulte au-dessus du rayon incident normal SA. Les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre le rayon normal SA et le rayon efficace SI forment une branche ADE de la courbe caustique, branche qui est asymptote au prolongement 1*T du rayon émergent eflirarp l'R. puisque le rayon émettent (end à devenir parallèle à l'R h mesure

"' Inlrnsit]! of l^;>li( in l)i<> NH|;lil>aurhiKMl o( a C>ii«llc ( Tram, v/ikt S»r. uf Cmm\r. . VI, 374).

niPFRACTiON.

qu<> If point' d'incidencf nei rnpproche du point I; de plus celte branchfi est tangente en A au rayon normal SA. Une seconde branche de la caustique est engendrée par les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre SI et le rayon langent; celte seconde branche E'FG est asymptote au rayon émergent efficace TR el tangente en F au rayon émergent dont le point d'émergence est sur 1» circonférence à une distance du point A aussi grande que possible, rayon (|ui, comme nous l'avons vu (105), correspond à un rayon Incident voisin du rayon langent.

La section de l'onde émergente par le plan de la figure est une développante de la caustique dont nous venons d'indiquer la forme générale; de plus, en vertu du théorème de Gergonne (3), elle coupe nrthogonalement les rayons émergents compris dans ce plan. Celle courbe, au point 0 oii elle rencontre le rayon émergent efficace l'R ou son prolongement, es) donc normale à la direction de ce rayon: son rayon de courbure devient infmi en ce point, d'ofi il résulte qu'elle présente un point d'inflexion en 0 et qu'elle affecte dans le voisinage du point 0 la forme ligurée en HOL. Prenons pour origine ce point 0 (fig. 86), pour a\e des y le rayon émergent efficace .et pour axe des x une perpendiculaire à ce rayon . les œ étant comptés pONÏlivement du c6lé d'oii viennent les rayons incidents el les y du côté vers lequel se dirigent le> rayons émergents, c'est-à-dire au-dessous du point 0. La courbe HOL, qui est la section de l'onde émergente par le plan de ta figui-e. passe par l'origine el est normale en ce point à l'ave des y; de plus elle présente à l'origine un point d'inflexion : on doil donc avoir -.m point 0 sur celte courbe

d'où il suit que, si l'on ne considère In courbe que dans le voisinage

&16 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

du point 0, ce qui est suffisant pour le but que nous nous propor sons, son équation peut être mise sous la forme

y = Dar« ou

en posant

Nous allons chercher maintenant à déterminer Tintensité de la lumière en un point M situé dans le plan de la figure, et dans une position telle que la droite qui joint ce point à Torigine fasse un angle très-petit avec l'axe des y, c'est-à-dire avec la direction du rayon émergent efficace. Désignons l'abscisse de ce point par p et

son ordonnée par q; le rapport - sera une quantité très-petite. Un

raisonnement tout à fait analogue à celui que nous avons fait pour substituer une onde circulaire à une onde sphérique prouve que l'intensité envoyée par l'onde émergente en M est proportionnelle à celle qu'envoie en ce même point l'onde linéaire HOL; il suffit donc de calculer cette dernière intensité.

Prenons à cet effet sur la courbe HOL un point S dans le voisinage du point 0; désignons par s l'arc OS, par S la distance SM, et

représentons par sin Qir ^ d« la vitesse envoyée en M par Télément

de Tonde linéaire qui a pour milieu le point 0.

En remarquant que l'on peut négliger les vitesses envoyées en M par les éléments de l'onde linéaire qui sont éloignés du pAle et que ce pôle est toujours voisin du point 0, Ion voit que Tintégrale qui représente la vitesse totale envoyée en M par Tonde linéaire peut , sans qu^il en résulte d'erreur sensible , être prise de — oo i + <x) ; de plus, comme les seuls éléments qui influent sur la valeur de cette intégrale correspondent à de petites valeurs de $, et que, dans le voisinage du point 0, la courbe s*écarte très-peu de Taxe des X, il est permis de remplacer dans cette intégrale d$ par ix. La vitesse envoyée au point M par Tonde linéaire a donc pour

DlPPRACTfON. liil

expression

On a d'ailleurs, en désignant par a; et y les coordonnées du point S et en remplaçant y par sa valeur tirée de l'équation de la courbe.

S^S/{x-pf + {y-qr = yJs^-apx+f+f + '-3f + ^,

X étant toujours petit, le terme en x^ peut être négligé, et, en posant

il vient

En développant* par la formule du binôme et en négligeant les termes qui contiennent x à une puissance supérieure à la troisième, on a

Comme p est très-petit par rapport à q, on peut remplacer c ou

v/^-f-y^ par y -h—' et même plus simplement par q, dans les

dénominateurs des termes de l'expression précédente, ce qui donne, en négligeant p devant q et devant c,

' a</ (f -iq y-Jtq ^a J

le facteur -^ peut être supprimé comme étant très-petit vis-à-vis de 3^1' ^t il vient

px ,x* X"

' lu/ q iq Ml Viiftinp, V. — Optique, I. J7

/il8 LUMIERK NON POLARISEE.

Pour faire disparaître le terme en x^, il suffit de choisir une nouvelle variable x de telle fac;on que Ton ait

l'expression de ^deviendra alors, en désignant par^ Tensemble des termes indépendants de x\

. - i^pq-^a') , x"

Cetle expression peut encore se simplifier, car a* étant de l'ordre de {jrandeur de -; est négligeable vis-îWis de /ijh/; il vient ainsi

•' 7 Sa'

L'expression de la vitesse envoyée au point M |>ar l'onde linéaire, lorsqu'on y remplace S par cette dernière valeur, prend la forme

d'où il résulte que l'intensité de la lumière au point M a pour mesure

En remarquant que la première de f:^es intégrales a une valeur deux fois plus grande (|ue si elle était prise de zéro à 4- ex; et que la seconde est nulle, on voit que l'intensité au point M peut être représentée par

^\f:'-si{''-K'''M

Si l'on pose

-ITT ;, W , 0<l A 'J

DIFFBACTION. 4^9

d'où

et si Ton pose enrore

l*intëgrale dont dépendent les variations de Finlensiié prend la fonue

I cos -(y(? mw)dvr.

Rn définitive, l'intensité au point M est donc proportionnelle au carré de cette dernière intégrale, qui peut être regardée comme une fonction du paramètre m; ce paramètre est lui-même proportionnel à -> c'est-à-dire à la tangente de l'angle formé par la droite

OM avec la direction du rayon émergent efficace, lequel angle est égal à la différence des déviations du rayon que reçoit l'oeil placé en M et du rayon efficace.

M. Airy a calculé les valeurs que prend l'intégrale

I cos - (w^ — mw) dvr

lorsqu'on donne au paramètre m des valeurs positives ou négatives variant par dixièmes à partir de zéro; il s'est fondé sur cette remarque que la valeur de l'intégrale reste sensiblement la même lorsque la limite supérieure varie depuis une valeur un peu grande jusqu'à l'infini, remarque tout à fait analogue à celle que nous avons faite sur les intégrales de Fresnel. La méthode de calcul employée par M. Airy est une méthode d'approximation différant peu de celle dont s'est servi Fresnel pour évaluer ses intégrales, et consiste à diviser l'intervalle compris entre les limites extrêmes de l'intégrale en un grand nombre d'intervalles très-petits. Il a trouvé ainsi que, si l'on donne à m des valeurs négatives, Tintégrale décroît à mesure que la valeur absolue de m augmente et tend rapidement vers zéro; si, au contraire, on attribue à m des valeurs positives croissantes, l'intégrale commence par crottre, atteint bientôt

ilO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

incidents et sont dirigés vers la terre, ainsi que le montre la figure 83.

Dans le second arc-en-ciei, la déviation des rayons eiKcaces est un minimum comme leur rotation ; les gouttes d'eau situées au-dessous de cet arc ne peuvent donc envoyer à l'œil aucun rayon ayant subi deux réflexions intérieures. En comparant cette remarque à celle que nous avons faite plus haut au sujet des gouttes placées audessus du premier arc-en-ciel, on voit que les gouttes qui se trouvent dans la région comprise entre les deux arcs doivent paraître très-peu éclairées, car aucun des rayons qui ont subi à l'intérieur de ce% gouttes soit une réflexion unique, soit deux réflexions, ne peut arriver jusqu'à l'œil.

On doit se demander pourquoi, dans les conditions ordinaires, on n'aperçoit pas plus de deux arcs-enn^iel, bien que la théorie en indique une infinité. On conçoit bien que, par suite des réflexions successives, la lumière s'afiiaiblisse de telle sorte que les arcs d'un ordre élevé ne puissent être distingués; mais la difl*érence d'éclat entre le premier et le second arc n'est pas assez considérable pour qu'on puisse attribuer l'absence du troisième à son peu d'intensiti*'. La véritable raison qui empêche de voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, c'est que ces arcs ne se projettent pas sur la partie du ciel qu'embrasse le regard d'un obsenateur tournant le dos au soleil; le premier arc visible pour cet obsenateur après le second est le cinquième, qui est déjà trop faible pour pouvoir être reconnu.

On trouve en effet, pour la rotation des rayons efficaces, 3 18 degrés dans le cas de trois réflexions, et fioti degrés dans le cas de quatre réflexions; d*oii il résulte que les rayons qui se sont réfléchis» trois ou quatre fois dans l'intérieur des gouttes d'eau , qu'ils aient pénétré dans les gouttes par la partie supérieure ou [>ar la partie inférieure, en sortent toujours par le cAté opposé au soleil. Pour voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, il faudrait donc que l'observateur fût tourné vers le soleil et qu il tombât de la pluie entre lui et cet astre ; mais dans ces conditions les arcs sont nové> dans la lumière solaire et restent invisibles.

Pour le cinquième arc-en-ciel la rotation des rayons eflîcaces est de &86 degrés, c'est-à-dire d'une circonférence entière plus 1 *i6 de-

DIFFRACTION. 411

gré> ; la portion de cet «rc due aux rayons qui pénètrent dans leb gouttes par la partie inférieure serait donc visible pour un observateur tournant le dos au soleil, si la lumière n'était pas trop afTan blie par les réflexions successives.

Les couleurs des différents arcs-en-ciel ne sont pures que Hur les bords; car, le soleil ayant un diamètre apparent d'environ 3o minutes, la bande qui, dans chaque arc-en-ciel, correspond à une couleur simple a une largeur égale à ce diamètre apparent ; il y a donc superposition partielle des bandes de différentes couleurs , sauf vers les bords de l'arc.

Enfin on peut remarquer «jue les dimensions transversales des faisceaux efficaces sont d'autant plus considérables que le diamètre des gouttes de pluie est plus grand; l'arc-en-ciel doit donc être d'autant plus brillant que ces gouttes sont plus grosses , ce qui explique pourquoi des gouttelettes très-fines ne peuvent jamais produire d'arc-en-ciel.

On peut obtenir des arcs-en-ciel artificiels en éclairant un jet d'eau cylindrique, soit au moyen des rayons solaires pénétrant dans la chambre obscure par une petite ouverture, soit par une lumière artificielle de petite dimension; il devient alors possible de distinguer les arcs formés par les rayons qui émergent du côté opposé à celui par où pénètrent les rayons incidents. M. Babinet a observé les arcs formés par un jet d'eau jusqu'au quatorzième et mesuré leurs dimensions angulaires, qui se sont trouvées peu différentes de celles qu'indique la théorie ^^K