Principe de la 0tipcriP««ltton dM élMiticlite. — Lc

composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement égal a t et faisant avec les axes des angles égaut

THÉORIE DE FRËSNEL 469

H a, /3, y ont pour expression

Xe = Ae cosa + Fe cos j8 + E« cos y, Ye = Fc cos a + Be cos j8 4- De cos y, Lt = Ee cosa + De cos /3 4- Ce cos y.

Pour un déplacement parallèle à Taxe des x et égal à la projection sur cet axe du déplacement e, les composantes de la force élasti<|ue sont, en posant ecosa = e, ,

•^1*1 -^ Aecosa, Yie,= Fecosa, Z^e, = Es cos a;

de même, pour des déplacements parallèles à Taxe des y et à Taxe des z et égaux respectivement aux projections du déplacement e sur ces axes, les composantes de la force élastique sont, en posant ecosj8=e2, ecosy = e3,

Xaea =- Fe cos j8 , Y^ ej =- Be cos /3 , Z^ej = De cos /3 ,

\^tz -^ Ee cos y, Yjes -- De cos y, 'L^t^ =^ Ce cos y.

On a par conséquent

Xe =- \i€i + X^^e^ -+- Xaej, Ye -= Yiei + Y^ea -+- Ysea, Lt =^ L^ti -{- Z^ e2 + Z3 ej.

De ces dernières équations on déduit le principe suivant, connu sous le nom de principe de la superjWfition des élasticités, et qui joue un rôle important dans la théorie générale de l'élasticité :

La force élastique dheloppée par un déplacement très-petit Jtune molécule peut être regardée comme la résultante des forces élastiques qui seraient mises enjeu, si la molécule recevait successivement trois déplacements parallèles à trois axes rectangulaires et égaux respectivement aux projections du déplacement réel sur ces axes.

Ce principe n'est vrai qu'autant (|ue le déplacement est trèspetit , car, dans le calcul qui nous a conduit aux équations ( 9 ) ,

470 DOUBLE REFACTION.

nous n'avons tenu compte que des termi^s qui sont de Tordre de la première puissance du déplacement.

121 . railpsoMe Inverse des élastleliés* — Si Ton projette la force élasti((ue produite par un déplacement très-petit, égal à Tunité et faisant avec les axes des angles a, jS, 7, sur la direction même du déplacement, cette projection Pa pour valeur

P=- A cos*^a+ B ros*^^ + C cos^y + qDcos jScos7 + âEcos/cos a

+ 3FcosacoSj8.

Supposons (|u'on construise une surface dont le rayon vecteur, faisant avec les axes les angles a , jS , 7, soit en raison inverse de

V^, c'est-à-dire une surface telle, que les rayons vecteurs soient eu raison inverse des racines carrées des projections sur ces rayons des forces élastiques développées par des déplacements très-petits, égaux à l'unité et respectivement parallèles aux rayons vecteurs.

L'équation de cette surface est, en désignant par u le rayon vecteur et en supposant le coefficient de proportionnalité égal à l'unité,

■^ =^ \ cos^a + B cos^^ + C cos^y + aD cos /S cos y -h aE cos y cu^ « + aFcosacos/S,

d'où , en remarquant que l'on a

cosa^'-' cosjS=^*-i rosy = f:» Ax- 4- By^ + <i^''- 4- iDy: + jEzx + aFxy - I .

La surface est donc du second degré, et, connue elle est nécessairement fermée, ce ne peut être quun ellipsoïde; elle porte le nom d'ellipsoïde inverse des ilasûcités ou premier ellipsoïde : nous ^appeile^on^, pour abréger, l'ellipsoïde (E).

l!2!2. Ames d'élMitlelté. — L'ellipsoïde inverse des élasticités peut être rapporté à ses trois axes de symétrie; son équation pn*iid ^lors la forme

THKOKIE DE FUESNKL. 'i71

Si l'on clioisil ces trois axes pour axes des coordoiiiié(*s, les coeflirients des termes qui , dans l'expression de P, contiennent les produits cosjScosy, cos/cosa, cosa cosjS, doivent devenir identiquement nuls, sans quoi l'équation de Tellipsoîde renfermerait des termes où figureraient les rectangles des coordonnées. Donc, en prenant pour axes des coordonnées les trois axes de symétrie de l'ellipsoïde (E), les composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement très-petit , égal i\ l'unité et faisant avec les axes des angles a, jS, y, sont représentées par

\- Lcosa, Y=^Mcosj8, Z^.Ncosy.

Cherchons maintenant quelles sont les directions telles, qu'un déplacement parallèle à Tune de ces directions produise une force élastique parallèle au déplacement. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffît que les angles a, /3, }", formés avec les axes par la direction cherchée, satisfassent aux relations

(OS a cosjâ cos y '

qui peuvent être mises sous la forme

L cos a cos jS = M cos a cos /3 , M cos j8 cos y -- M cos ^ cos y, N cos y cos a^-L cos y cos a.

Lorsque les trois coefficients L, M, i^ ont des valeurs différentes, c'est-à-dire lorsque le milieu est inégalement élastique suivant trois directions rectangulaires, ce qui est le cas général, ces trois équations ne peuvent être satisfaites (|ue si. l'un des trois angles a. fi, y étant nul, les deux autres sont égaux à 90 degrés, ou. en d'autres termes, si le déplacement est parallèle h l'un des trois axes des coordonnées. Nous arrivons ainsi à cette importante proposition :

Dans un milieu homoghie, ilexiêle toujours trois directions rectangulaires telles, quun déplacement trè»-peùt d'une molécule parallèlement à l'une de ces trois directions produit une force élastique parallèle au déplacement j et en général aucune autre direction ne jouit de cette propriété.

/i72 DOUBLE RÉFKAGTION.

Nous ap[»ellerons axe d'élasticité toute direction telle, qu'un déplacement très-j)etit s'eiTectuant parallèlement à cette direction donne naissance à une force élastique parallèle au déplacement. Il y a donc en général dans un milieu homogène trois axes d'élasticité; ces troi.s aves sont rectangulaires entre eux et parallèles aux axes de symétrie de rellipsoîdc (E).

Si le déplacement a lieu parallèlement à l'axe des x, on a

s'il a lieu parallèlement à l'axe des y,.

s'il a lieu parallèlement à Taxe des :,

On voit donc que les forces élastiques développées par des déplacements égaux s'efl'ectuani parallèlement aux trois axes d'élasticité, forces qui sont elles-mêmes parallèles à ces axes, sont inversement proportionnelles aux carrés des longueurs des trois axes de l'ellipsoïde (E).

Si deux des quantités L, M, N sont égales, l'ellipsoïde E a deux axes égaux ; dans ce cas cet ellipsoïde est de révolution , et toute droite située dans le plan des axes égaux est un axe d'élasticité. Donc, si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'effectuant suivant deux droites rectangulaires donnent lieu à des forces élastiqur> parallèles aux déplacements et égales entre elles, tous les déplacements s'eflectuant suivant une direction comprise dans le plan de ces deux droites produisent des forces élastiques parallèles aux déplacements et égales entre elles si les déplacements sont égaux: c'est ce qui a lieu dans les milieux cristallisés k un axe.

Si les trois quantités L, M, \ sont égales entre elles, l'ellipsoïde (E) devient une sphère, et toute droite est un axe d'élasticité. Donc, si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'eflectuant suivant trois droites rectangulaires donnent lieu à des forces élav ti(|ues parallèles aux déplacements et égales entre elles , tout dépla-

THÉORIK DE FRESNEL. 473

cciuent, quelle que sollsa direction, produit une force élastique qui lui est parallèle, et la grandeur de celte force élastique est indépendante de la direction du déplacement.

Revenons maintenant au cas général : si nous représentons par a^hyC les vitesses de propagation des déplacements parallèles aux axes, ces vitesses, étant proportionnelles à la racine carrée de la force «Mastique, seront inversement proportionnelles aux racines carrées des quantités L, M, N : Téquation de l'ellipsoïde (E) peut donc être mise sous la forme

(E) rt«a?-f A^y^ + c^r'^i,

et les composantes parallèles aux axes de la force élastique produite par un déplacement très-petit, égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, /3, y^ ont pour expression définitive

X = «^co8a, Y = A*cos/3, Z=-(?cosy.

123. INrecttoBs «tasullérMi* — Nous allons actuellement chercher quels sont, parmi les déplacements moléculaires très-petits qui peuvent s'eifectuer dans un même plan, ceux pour lesquels la projection de la force élastique sur ce plan est parallèle au déplacement.

Si l'on coupe l'ellipsoïde (E) par un plan quelconque passant par son centre et qu'on choisisse pour axes des x et des y les axes de la section elliptique ainsi déterminée, l'équation de l'ellipsoïde prend la forme

\a? + By« + Cz*^ + a Dy: + a Exz = 1 ,

le coefficient F du terme en xy devenant nul. Les trois composantes de la force élastique sont alors représentées par

X Acosa + Ecosy,

Y =- B cos ^ + D cos y,

Z = E cos a + D cos ^ + C cos y.

Si le déplacement a lieu parallèlement au plan des xy, on a

y — cjo% cos /3 ^ sin a,

DOUBLE REFIIACTION.

d par suite

\--- A cosa.

Y =- B sina,

Z =- E cos a+l) siii a

Pour que la projection de la force élasti(|uc sur le plan des jcy soit parallèle à la direction du déplacement, il faut et il suffit que Ton ait

vos a sina

A cos a sin a =^ B sin a vos ai

lorsque A et B ont des valeurs différentes, cette équation ne peut être satisfaite que si a est nul ou égal à 90 degrés, c'est-à-dire si le déplacement est parallèle à Tun des axes de la section elliptique. Nous sommes conduits ainsi à la proposition suivante :

Parmi tous les déplacements moléculaires qui peuvent s'exécuter dam un même plan, il ny eti a en général que deux qui donnent naissance i une force élastique dont la jfrojection sur ce plan soit parallèle audéptacernent; les directions de ces deux déplacements smU rcctmignlaires et parallèles aux axes de la section elliptique qu'on détertnine en menant par If centre de ^ellipsoïde (E) un plan parallèle à celui dans lequel ont lieu let déplacements.

Ces deux directions sont ce qu'on appelle les directions singulière* du plan considéré.

Si le plan dans lequel s'effectuent les déplacements est parallèle aux sections circulaires de Tellipsoîde, toute droite située dans ce plan est une direction singulière, et, par suite, tout déplacement s'opérant dans ce plan donne lieu, quelle que soit sa direction, à une force élastique dont la projection sur le plan est parallèle an déplacement.

12Â. Jfitmmmm «le prspayitioii dem •ailMi plûtes. — Les

h>pothès(»s admises par Fresnel permettent d'appliquer à la propagation des ondes planes les résultats que nous venons d'obtenir. Kn

THÉORIK i)K FHESNEL 'i75

effet , roinnic l(*s forces élastiques mises en jeu dans la propagation d'une onde plane ne différent de la force élastique développée par le déplacement d'une seule molécule que par un facteur constant, e( que d'ailleurs la composante parallèle au plan de l'onde est seule efficace, pour qu'une onde plane puisse se propager sans altération, c est-à-dire en conservant sa direction et sa polarisation, il faut et il suffit que les déplacements des molécules sur cette onde soient parallèles à Tune des directions sin{>;ulières du plan de l'onde. Si. sur l'onde plane, le déplacement a une direction quelconque, on peut toujours, en vertu du principe delà superposition des élasticités, supposer ce déplacement décomposé en deux autres s'effectuant parallèlement aux directions singulières. Une onde plane donne donc en général naissance à deux systèmes d'ondes sur lesquelles les vibrations sont parallèles aux directions singulières du plan de l'onde et perpendiculaires entre elles. Les vitesses de propagation de ces deux systèmes d'ondes , estimées normalement au plan de l'onde, sont différentes. Ces vitesses, d'après la quatrième hypothèse, sont proportionnelles à la racine carrée de la composante efficace de la force élastique, et par suite, d'après la construction de l'ellipsoïde (E), elles sont en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique déterminée dans cet ellipsoïde.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

A une mime direction de propagation normale correspondent deux sys^ tèmes J^ ondes planes sur lesquelles les vibrations s effectuent parallèlement aux axes de la section elliptique déterminée dans ï ellipsoïde (Ë) par un plan passant par son centre et ^perpendiculaire à cette direction, et dont les vitesses de propagation mrmale sont inversement proportionnelles aux lon^ gueurs de ces axes.

Cette proposition constitue à proprement parler la loi fondamentaie de la double réfraction et s'est toujours trouvée d'accord avec l'expérience. Fresnel y était arrivé par voie de généralisation avant d'avoir tenté de la justifier par la théorie mécanique que nous venons d'exposer.

il est facile maintenaht de trouver l'expression de la vitesse de propagation d'une onde plane. Soient en effet a, /3, >^ les angles que

forme avec les axes des coordonnées fun des axes de la section elliptique faite parallèlement au plan de cette onde dans Fellipsoîde (E): les composantes de la force élastique développée par un déplacement parallèle à cet axe seront

X = <i*cosa, Y^i*cos/S, Z^c^cosy.

ace-

La projection de la force élastique sur la direction du dépi ment, c'est-à-dire la composante efficace de cetle force élastique, aura donc pour expression

rt* cos^ a + ti^ cos* )8 -h c* cos* y,

et la vitesse de propagation de l'onde plane sera représentée jMir

KJa^ cos*^ a+ ft* cos^ fi + ^ cos^ y.

En donnant aux angles a , jS , y les valeurs qui conviennent aui deux axes de la section elliptique , on aura les vitesses de propagation des deux systèmes d'ondes qui peuvent cheminer dans le milieu parallèlement à un plan donné.

Si le plan de l'onde est parallèle à l'un des axes d'élasticité do milieu, l'une des directions singulières de ce plan coïncidera avec cet axe, et par suite l'une des vitesses de propagation de l'onde plane sera égale k a, k b oxxh c suivant que l'onde est parallèle à Taxe des x^ à celui des y ou à celui des z.

Si le plan de l'onde est parallèle aux sections circulaires de l'ellipsoïde (E), l'onde pourra se propager sans altération» quelle que soit la direction des déplacements moléculaires, et sa vitesse de propagation sera indépendante de la direction de ces déplacemenl>.

125. DéterMiMatl^ii de la wmaUmm «'élasticité. — Nous suivrons dans la détermination de la surface de l'onde la méthode indiquée par de Senarmont, et nous chercherons d'abord l'équation d'une surface auxiliaire dite surface d'^oêUeité ou surface des viksies normales. Pour obtenir cette surface il faut, par un point pris pour centre, mener un plan quelconque et, sur la normale a ce plan, prendre des longueurs inversement proportionnelles aux axes de la

action elliptique faite dans l'ellipsoïde (E) parallèlement à ce plan, ou directement proportionnelles aux deux vitesses de propagation des ondes planes parallèles à ce plan qui peuvent cheminer dans le milieu : le lieu des points ainsi déterminés est la surface d'élasticité. Les plans perpendiculaires aux extrémités des rayons vecteurs de cette surface sont les positions occupées au bout d'un même temps par toutes les ondes planes qui passent simultanément par le centre, et, par conséquent, la surface de l'onde n'est autre chose que l'enveloppe de ces plans.

La surface de l'onde se déduisant de la surface d'élasticité, proposons-nous en premier lieu de trouver l'équation de cette dernière surface. Prenons à cet effet pour axes des coordonnées les trois axes d'élasticité du milieu; soient /, m, n les angles que fait avec ces axes * la normale h une onde plane ^a^fi^y ceux que forme avec les mêmes axes un des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde (E) parallèlement h cette onde; nous aurons

(i) cosa ros / + cosiSrosm + cos y cosw = o.

La force élastique développée par un déplacement parallèle a la droite qui fait avec les axes les angles a, /3, y se projette sur le plan de Tonde parallèlement à ce déplacement, et les cosinus des angles (|ue la direction de cette force fait avec les axes sont proportionnels aux quantités a^ cos a, 6^ cos j8, <^ cos y ( 1 24 ). Si donc on considère une droite auxiliaire perpendiculaire à la fois au déplacement et a la force élastique, cette droite sera située dans le plan de l'onde, et, en désignant par f/, r, rr les angles qu'elle fait avec les axes, on aura

(a) a^cosacosu + i^cos/3 cosr+c*cosy costi'= o,

(3) cosa cosM -f cos ,5 cosr+cosy costr-^ o ,

(/i) ros/cosfi + ^'osw cos r + cos» costr -^o.

Enfin, en représentant par r la vitesse de propagation de l'onde plane, on a

(o) r^=^ rt* cos^a + i^cos* jS + r^ cos^y.

Si, entre ces équations, on élimine les quantités a, jS, y, ti. v, it,

^i78 DOIBLE RKFKACTION.

il restera une relalion entre i% /, m , it qui sera l'équalioii polaire de la surface d'élasticité.

Pour effectuer Télimination des angles ii, t\ ir, nous emploieron> la méthode des cootlicients indéterminés ; nous ajouterons les équations (â), (3), (Jx) après les avoir multipliées respectivement , la première par B , la seconde par A , la troisième par i , et nous déterminerons A et B de façon que les coefficients de cosv et de cosa soient nuls. Nous obtiendrons ainsi les trois équations

/ ( A + B/ï'^jcosa + cos/ -- o.

(6) I (A + B62)cosie+cosii*- o.

' ( A -f- Br^)rosy+ cosw - o.

àSi Ton ajoute ces trois équations après les avoir multipliées respertivenient par cosa, cosjS, cosy. il vient, en tenant compte desé(|uu-

tions (i) et (5).

A + Br»--o, d'où

A - - Bi-2.

En portant cette valeur de A dans les équations (G), ces équations

prennent la forme

cos / -= B (r*— ^^) cosa,

cosm - B(i'2— A^jcos^,

cosii ^ B (r^ - r^ ) cosy.

d'où l'on tire

cos/ rosm cos/i

r* — a* r* — h* r'^—c'* 1 ros'/ cos* m , cos'h

Si dans l'équation ( i) on remplace cosa, cosjS, cosy par le^ quantités proportionnelles

ros/ rosm ros«

il vient ^ cos* / cos* m cos* u

é(|uation polaire de la surface d'élasticité.

THKOUIK DK FRKSNKL 47»

i :26. Détermlnatton de la «urface d<^ l'onde. — Soient r, l, m, n \e» roordonnées polaires d'un point de la surface d'élasticité: menons par ce point un plan perpendiculaire au rayon vecteur de cette surface, et désignons par p, X, (i, p \es coordonnées polaires d'un point quelconque de ce plan.

L'équation du plan ainsi déterminé sera

(t|) cos/cosA-}- cosiwrosft-|-cosw cosv --—-'>

et l'on aura entre les paramètres de ce plan les deux équations de condition

Icos^/ -h cos^m + cos*» - i .

(!os* / cos* m cos* Il

La surface de l'onde est l'enveloppe des plans définis par l'équation (i)): pour obtenir l'équation de cette surface, il faut donc, entre les trois équations (i)) et (lo) et les six équations obtenues en les diflerentianl par rapport aux paramètres indépendants, que nous supposerons être cos/ et cosm^ éliminer les huit quantités

, rfcos/i r/cos /I dr dr

r, cosf, cos III, cosw, , — j^ -, * -j >» -. »

' ' dvosi dco&m dvosi r/cos/ii

de façon à obtenir une relation qui ne contienne que p, X, ^, t;.

Les six équations obtenues en diiFérentiant ((}) et ( i o) par rapport à cos/ et à cosw sont

. dcosn 1 dr

^ d vo&l pr/cos/

, ' , dvosn

(II)' cosi -}- cos H -- — -7 - o .

cos/ cosw d cos II dr ^ T cos-/ cos*w cos'/i |

F^* "^ r' - r« TcôsT ' (7nw/ '' [ [r-ii'y- ^ p^^V *" (? ^V | '

d cos n I dr

cosu 4- cosv-, - - -7 »

^ f/ cos III p/fcosm

d cos II II»») ' cos III r cos II -j o .

^ "I f/ cos III

' cos /Il cos II (/cos II ^ dr r cos*/ cos* m cos'ri

H - 6* ■*" /•' - c* (/ cos III ~ r7côs"ïri ' [r'-tr.' '^' (i* - 6* " "^ Û^^^^

480 DOUBLE KKFRACtiON.

Four eflectuer I élimination des quantités j^^t " ^^qc ^ ^ f^r

dî*

Y nous aurons encore recours à la méthode des coefficients in-

c/cosm

déterminés; nous ajouterons les équations des deux systèmes (ii)

et (i s), après les avoir multipliées respectivement, la première par i,

la seconde par A , la troisième par — B. Il est facile de voir que

les valeurs de A et de B qui annulent les coefficients de , ,

, * a cosr

et de , . dans l'équation provenant du système (i t) annulent

aussi les coefficients de i et de t— - — dans l'équation pro-

venant du système (i^); nous aurons donc deux équations pour déterminer A et B. Si à ces deux équations nous joignons les équations auxquelles se réduisent celles qui proviennent de l'addition (les systèmes (i i) et (la) lorsque A et B sont ainsi déterminés, nous obtiendrons le système

cosX + Acos/ = B "î '

cosm

cosii +Acosm=D ,t , , ,

cosw

COHV +A COSM ==B-r~Tï'

1 n [ cos*/ cos*m cos*n "1

Si Ton ajoute les trois premières de ces équations (i3) après les avoir multipliées respectivement par cosi, cosw, cosm, il vienl, en tenant compte des équations (9) et (10),

Si l'on ajouU» les mêmes équations après les îivoir élevées au carnf. il vient

On tire de lu pour A et B les valeurs suivantes :

THÉORIE DE FRESNÈL. A81

En porlant ces valeurs dans les équations (i3], elles deviennent

pcosX rvosl p'— « r—a

p cas II rcosm

(ià) l pcosp rcosw

1 , r cos* / ros* m ros* n "1

«r cos*X cos*/ùt cosV "I

Les trois premières de ces équations (i ^i) peuvent être mises sous la forme

rosA cos/ =(p3 — r*)-î \^

COS ^ - - rosiii= (p« -f^) ^, , rosi;--cosw = (p«-r2)^î3;:î.

Si Ton ajoute ces dernières équations, après les avoir multipliées respectivement par cosX, cos/x^ cos y, on a, en tenant compte de l'équation (9) ,

^^ / 9 ^\/cos'X , cosV I cos*v\

d'où enfin

-X ros*X cos*/x cos*v 1

équation polaire de la surface de Tonde.

Cette équation peut être mise sous une forme plus commode pour la discussion. Si en effet on retranche Téqualion (t5) de Tidentité

1 cos*X co8*/x cos'v

il vient

/ ., X «*cos*X 6*cos*a . rVos^v

Ybidit, V. — (tpiiqiif', \. .*ii

A8â DOUBLE REFRACTION.

forme sous laquelle Téqualion de la surface de Tonde est fréquem-* ment employée.

Pour obtenir l'équation de la surface de Tonde en coordonnées rectangulaires, il suffit de remplacer dans Téquation (16) crisX par

-1 cos/x par -1 cosi; par -1 p par vx^+y^+z^j ce qui donne

(17) {x^+y^+z^)(n^a^+y^y^+ch'^)- a^{b^+c^)x^

Lorsque les quantités a, b, c, c'est-à-dire les vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité, ont des valeurs différentes, Téquation (17) représente une surface du quatrième degré h deux nappes distinctes.

Si deux de ces vitesses deviennent égales, coiïime cela a lieu dans les milieux cristallisés à un axe, si Ton a par exemple // -r. Téquation (1 7) se décompose en deux autres

la surface de Tonde se compose donc dans ce cas d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution tangent h la sphère aux deux extrémid's de son' axe polaire.

Enfin, si les trois vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux axes d'élasticité sont égales entre elles, c'est4-dire si Ton a /! = A^c, comme cola arrive dans les milieux isotropes. Téqua* tion (17) se réduit h

et la surface de Tonde devient sphérique.

1 27. €«BstnMttoii de la mirface «le r«ii«ir mm wmmjmm éi

l>llip««Me -f + jTt + h = I. — Considérons un ellipsoïde dont

les demi-axes soient respectivement égaux aux vitesses de propagation des ébranlements parnllèh^s aux trois axes d'élaslicilé; Téquafioii

THl^:OttlE DE PRRSNBL â83

(le cet ellipsoïde est

nou8 rappellerons le second ellipsoïde. Supposons qu'on roupe cet ellipsoïde par un plan quelconque passant par son centre, et qu'on porte sur la normale à ce plan des longueurs directement proportionnelles aux axes de la section elliptique ainsi détermin<^e. Si Ton se reporte à la construction de la surface d'<^la8ticit<^ au moyen de r<^llipsoïde (E), dont l'équation est

on voit immédiatement qu'en désignant par p, X, //, v les coordonnées polaires des points construits, comme nous venons de le dire, à l'aide du second ellipsoïde, l'équation du lieu de ces points s'obtiendra en remplaçant respectivement dans l'équation de la surface

d'élasticité r^, «^ 6^, c^, /, m, n par —^ -ji r,^ -i» X, //, i^. On arrive

ainsi à l'équation

cos'X . cosV . cos'i^

p» ff* p* 6* p* r'

a* cos* X A* cos* /^ i c* cns* v

qui n'est autre que l'équation de la surface de l'onde.

Nous sommes ainsi conduits à la construction suivante pour la surface de l'onde :

x^ V* j* fiir le centre de l'ellipsoide ^ "+" *r« "1" "« = * ®w 'wAie tai plan quelconque, et sur la normale à ce plan on porte deux longueurs proportionnelles aux axes de la section elliptique déterminée par le plan : le lieu des points ainsi obtenus est la surface de Vonde.

128. INrccttoa ûem wihwmîàmtÊm en un y^iat «le la de r«ii«ie« — Nous allons nous proposer maintenant de déterminer la direction du mouvement vibratoire en un point quelconque de la surface de l'onde, c'est-à-<lire rbercher la relation qui existe

ttU . DOUBLE HÉFRM;TI(1\.

entre les angles a, j3, y, que fait avec les axes )a direction du déplacement, et les anglesX,ft,i', que fait avec les mêmes axes la direction du rayon vecteur de la surface de l'onde qui correspond à re déplacement, c'est-à-dire du rayon vecteur passant par le point où l'onde plane qui propage ce déplacement est tan^nt îi la surface de l'onde.

Si, entre les équations (7) et les trois premières des équation» (là), on élimine cosl, cnstn, cosn, il vient, en tenant compte de )a dernière des équations ( 1 3 ) et de la valeur trouvée pour B ,

Kn portant ces valeurs dans l'équation (ir>) de la surface de l'onde , on a

s f* + cos y cos V

-sf'-

Le cosinus de l'angle que fait la direction des vibrations en un point M de la surface de l'onde (fig. 88) avec le rayon vecteur OKI qui passe par ce point est

donc éffal à 1/1 ,; commf

d'ailleurs - est le cosinus de l'an-

f gle que fait ce rayon vecteur *iit la perpendiculaire OP abaissée du centre sur le plan tan|;enl en que ces deux angles sont rompM-

M Jk la surface d<

THEORIE DE FRES.NEL. 'j85

nientaires l'un de Tautre, et que, par suite, au point M les vibrations sont dirigées suivant MP.

Nous sommes ainsi conduits à cet important théorème :

La direction des vibrations en un point quelconque de la surface de l*onde s^obtient en projetant le rayon vecteur qui passe par ce point sur le plan tangent au même point à la surface de l'onde.

La construction qui donne la direction des vibrations devient inapplicable lorsque le rayon vecteur est normal à la surface de Fonde, mais dans ce cas il est toujours facile de déterminer la direction des vibrations.

Le plan OMP, qui contient le rayon vecteur de la surface de Tonde et la vibration correspondante , est ce qu'on appelle le plan de vibration. Quant au plan de polarisation du rayon OM, d'après l'hypothèse admise par Fresnel, ce plan doit être perpendiculaire à la vibration , et comme , en général , le rayon est oblique à la vibration, ce plan ne peut à la fois passer par le rayon et être perpendiculaire h la vibration. Fresnel prenait pour plan de polarisation du rayon OM le plan mené par le point M perpendiculairement à MP; si l'on veut faire passer le plan de polarisation par le rayon, il faudra choisir pour plan de polarisation le plan mené par le rayon perpendiculairement au plan de vibration. Comme les milieux biréfringents connus ne sont doués que d'une double réfraction trèsfaible, la différence entre les positions du plan de polarisation , suivant qu'on le définit de l'une ou de l'autre manière, est tout à fait négligeable.

129. RelattoBs entre lee MreettoBs «le pgepagifcttoii aer- ■uUe dee «adee planée, les «Ureettone «iee wmjmmm veeteure «le la eiirfiiee «le Tende et lee direettene dee %ibratlene«

— D'après le théorème précédent, si l'on considère une onde plane quelconque, la normale à cette onde plane, la direction des vibrations sur cette onde et le rayon vecteur de la surface de l'onde qui passe par le point ou l'onde plane est tangente à cette surface sont contenus dans un même plan; de plus, ainsi que nous l'avons vu (12Â), à chaque direction normale de propagation d'une onde

plane correspoiidonl pour les vibrations deux directions parallèles aux axes de la section faite parallèlement à cette onde plane dans Tellipsoïde (R), directions qui sont perpendiculaires entre elles. Donc :

Les pLim qui contiennent A Ui foi» une même direction de pro/kigatioM nornude, les deux vibrations et les deux rayons vecteurs corresjfondmts de la surface de l'onde, sont rectangulaires,

A chaque rayon vecteur de la surface de l'onde correspondent, puisque cette surface est à deux nappes , deux directions pour les vibrations. Nous allons démontrer que les plans qui passent par un rayon vecteur de la surface de l'onde et par les deux vibrations correspondantes sont rectangulaires, et à cet effet nous allons faire voir que :

Les deux vibrations qui correspondent A un même rayon vecteur de tn surface de Vonde sont comprises dans deux plans passant par ce rayoti recteur et par les axes de la section elliptique quun plan perpendiculmre

au rayon vecteur détermine dans l'ellipsoïde ^ + r» + "î == * •

Représentons par ^, 4^, ;^ les angles que fait avec les trois axes de coordonnées l'un des axes de cette section elliptique; il s'agit de démontrer que les trois droites (a, fi^y)^ (À,^, y), (^«^^^x^ ^°^ contenues dans un même plan.

Remarquons d'abord qu'entre les angles a, /3, 7, que fait avec les axes des coordonnées l'un des axes de la section elliptique déter* minée dans l'ellipsoïde rt^j?* + A^y*4-c^z^= i par un plan perpendiculaire à la droite (/, m, ;i), on a les relations

cos/ cosw cosii

/-\ r*— fl* r*--ô* r*— r* / cos*/ cos' m cos' m

^ '^ c^â ^ cmjS" ^ côsy ^ V ('•'-«T (r" - hy "^(r^-cV'

et que par suite les angles ^« >['* X* 4"^ ^^^^ ^^^^' 1^^ ^^^^ ^^^ ^^''^ données l'un des axes de la section elliptique déterminée dans Tel-

lipsoîde Y + '^, -f ^vî = 1 par un plan perpendiculaire à la droite {\, (x. p), .sont liés par des relations qui s'obtiendront en remplaçajil

THÉOKIK DE FKËSNEL 487

dans les précédentes i**, a,/3, y, /, m, w, w^, /r\ c- respectivement par -,^^, >p, X- ^. fA, *'ir*'6*'?'^'^* *!"' ^*^""*^

a^cosX

6*cos|ùt

II* COS f

(i8) y cos^ cos>|/ cosx

/«* COS* X | ^* **^î»* /^ C* COS* P

Ceci posé, considérons une droite auxiliaire perpendiculaire à la fois aux deux droites (X, ^, v) et (^, 4^, x)* ^^ faisant avec les axes des angles A, B, C; nous aurons

( 1 9 j COS A COS X + COS B COS fl + COS c COS V =- u,

(i!o) COS A cos^+ COS B cos>p + cosC cosx= «•

L'équation (uoj, en y remplaçant cos^, cos^^, cos^ p<ir les quantités qui leur sont |)roportionnelles d'après ( i8), devient

-i — i" COS A H — î — n- COS d H — i — ï cos (j = o.

En ajoutant cette dernière équation et l'équation ( ig), il vient -i^ COS A + -rrp COS B + -rrp cos C =- o,

et en remarquant que, d'après les équations (7) et ( 1 4),

cosX cos/i cosv

^r^« prï5 ^rrp

cosa cos/3 C0S7 ' on a définitivement

COS a COS A + COS /3 COS B 4- cos y cos (j = o.

Donc les droites (a, /3, 7), (X, ^, v). (^, 4^, x)* ^^"^ toutes trois perpendiculaires à la droite (A, B, C), sont contenues dans un même plan , ce «[ui démontre le théorème suivant :

/i88 DOUBLE REFRACTION.

Les plans qui contiennent à la fais un même rayon vecteur de la surface de ronde, les deux vibrations et les deux directions de propagatitm normale correspondantes, soht rectangulaires.

130. CMfique de 1» tliéorle de Fresnel. — Les hypothèses dont Fresnel avait fait les principes de sa théorie de la double ré* fraction ne résistent pas a un examen approfondi. Sans rechercher s'il est vrai que l'absence des vibrations longitudinales prouve l'incompressibilité de l'éther, l'hypothèse qui consiste à regarder comme seule efficace la composante parallèle au plan de l'onde de la force élastique doit être rejetée comme incompatible avec le point de vue où Fresnel s'était placé. Lorsqu'on se propose d'expliquer les phénomènes lumineux par la considération d'un éther formé de molécules séparées par des intervalles assez grands pour que ces molécules puissent être assimilées dans leurs réactions mutuelles à des points mathématiques, on ne doit avoir recours à aucune hypothèse accessoire. Les actions réciproques des molécules doivent rendre compte de tout, de l'incompressibilité de l'éther, si elle est réelle, comme des lois de la propagation des ondes. Les seules ondes dont on puisse admettre qu'elles se propagent sans altération sont celles qui développent des forces élastiques parallèles aux vibrations, et le problème est de trouver l'arrangement moléculaire et la loi d'action réciproque qui conduisent à déterminer la vitesse et la polarisation de ces ondes en conformité des lois de Fresnel. Cauchy a démontré (|ue ce problème ne comporte pas de solution rigoureuse. Il n'est possible, avec un milieu ainsi constitué, de satisfaire aux lois de Fresnel que d'une manière approchée et seulement dans l'hypothèse d'une double réfraction peu énergique.

Quant à l'hypothèse qui consiste à admettre que l'élasticité mise en jeu par la propagation d'un système d'ondes planes à vibralion^ rectiligncs soit dans un rapport constant avec l'élasticité développée par le déplacement parallèle d'une seule molécule, quelle que soit la direction du plan de l'onde , elle est , comme l'a fait voir Cauchy, erronée de tout point. Il n'est donc pas évident que dans les cristaux à un axe les vibrations ordinaires soient perpendiculaires à l'axe, et les phénomènes de la double réfraction ne peuvent servir à décider

si dans la lumière polarisée les vibrations sont perpendiculaires ou parallèles au plan de polarisation. L'une et l'autre hypothèse sont également légitimes; seulement elles exigent que, pour la repré- .sentation approximative des lois de Fresnel, on admette des relations différentes entre les coefficients d'oji dépendent les grandeurs et les directions des forces élastiques mises en jeu dans les vibrations de l'éther.

Caucliy, dans sa théorie de la double réfraction, n'a recours â aucune hypothèse; il s'appuie uniquement sur ce principe évident, que les seules ondes planes qui puissent se propager sans altération dans un milieu élastique sont celles dont les vibrations produisent des forces élastiques parallèles aux déplacements moléculaires. Nous allons exposer la théorie de Cauchy avec les simplifications qui y ont été introduites par Béer, et montrer connnent les résultats de cette théorie peuvent s'accorder d'une manière approximative avec ceux qu'a obtenus Fresnel.

131. Expremilaii analytique des forées élaetâquefi ûéwe- ■•ppéee émwÈB le meuvement d*Mii e|retéme de m< eollieiléee |Nir des forées d'attraetlsn mu de mutuelle et très-peu éeartées de leur pssltisn dTéquilibpe.

— Gomme, dans la théorie de Cauchy, on n'admet aucune relation nécessaire entre les forces élastiques mises en jeu par la propagation d'un système d'ondes planes et la force élastique développée par le déplacement d'une molécule unique s'opérant parallèlement au\ vibrations de ces ondes, il est indispensable de considérer le cas général où toutes les molécules d'un système reçoivent simultanément des déplacements très-petits, et de déterminer les forces élastiques qui résultent, dans ces conditions, des actions attractives ou répulsives que les molécules exercent les unes sur les autres.

Soient x, y, z les coordonnées, par rapport à trois axes rectangulaires quelconques, d'une des molécules du système, et m la masse de cette molécule; représentons par x + àx, y + Ay, c + Az les coordonnées d'une autre molécule de masse ^, et par r la distance des

'^ Caught, Bxwi-c, de MathémaL, t. III, p. t88; t IV, p. 199; t V, p. 19. — N Exetr. de MathênuU., p. 1 . — Exere. d!*Anal. et de Pkyg, maihémtU,, 1 1, p. 988 — Mém, de r.icad, <ip« ic. JX , 1 1 & ; \ , ti93 ; XVIII , 1 53. BiEft, Phii Mag,, (à), II, 997. — Gi-ùnprt*ê Archiv.., XVI, 993.

THEOIUE DE CAUCHV. 491

deux molécules. L'aclion réciproque de ces deux molécules est dirigée suivant la droite qui les joint et a pour expression

/étant une fonction indéterminée de la distance. Si le système est en équilibre, on a les trois relations

Supposons maintenant qu'à un certain moment les molécules du système soient écartées de leur position d'équilibre d'une quantité très-petite, et soient Ç, ir, ^ les projections sur les axes du déplacement de la molécule m, déplacement que nous désignerons par e; soient au même instant Ç+ A^, ii + Air, ^4- AÇ les projections sur les axes du déplacement de la molécule /i, et r+p la valeur que prend la distance des deux molécules. En représentant les composantes parallèles aux axes de la force élastique qui s'exerce sur la molécule m par Xe, Ye, Ze, de sorte que X, Y, Z soient les compo- .santés de la force élastique rapportée à l'unité de déplacement, on aura

Ye-m2^/(r-f.p)^, Ze=^m2^/(r+p)^^^^-'

Si l'on développe /(r 4- p) el si l'on néglige les termes dont Tordre de grandeur est inférieur à celui de p^, ce qui est permis puisque les déplacements sont toujours très-petits, il vient, en remarquant que AÇ, Ait, AÇ sont du même ordre de grandeur que p, tandis que àx, Ay, A; peuvent être d'un ordre de grandeur quelconque ,

492 DOUBLE RÉFRACTIOV

On a «Tailleurs

«Toà, en se bornant au même degré d*appro\iroatîon que plus haut,

En portant cette valeur de p dans les eipressions qui représentent les composantes de la force élastique, il vient définitivement

Z. = . 2, 1 [/ V) - ^] iii^ i«+ [/•« - 45] i^ i.