h^c^ cos2 /+ a^ c2 cos2m+ a^*^ cos^n = o

et, en désignant les deux racines par r'* et r''^, on a

(i) r'2+r''2=(i2 + c2)cos2/+(a2+c2)cos2m + («*+A^)cos2», (2) r'V2=i2ç2 cos2 /+ a'c2 cos2m + fl2 J2 cogS ^

D'ailleurs, si fi' et 9^ sont les angles que fait avec les axes optiques la direction de propagation normale, D et 180^— D les angles que font les axes optiques avec l'axe des x, c'est-à-dire avec l'axe de plus grande élasticité, on a

cos

cosfi' = cosD cosZ + sinD cosw, cos fl" = — cos D cos /+ sin D cos n , d'où l'on tire

I cosO' — cosff' cosfi' — cos cos / = -

cos n =

a cos D 2 cos & 4- cos ff' cos & H- cos

2 sin D

En portant ces valeurs de cosl et de cosn dans les équations (t) et (a) et en remplaçant cos^w par i — cos^i — cos^ii, il vient

= fl2 + c2 + («2 c2) COSÔ' COS 6",

r'^r'^a^aV -'-^^^*(cosfl'-cosr)2+ '-^^^^"(cos^+costf^)» d'où

= («2 +^2)2 ^ (^2 ^)2 cos2fl' C0S2^ - /iflV

(a2^)2(cos2y + cos2r)

= (a2 - ^2)2 (, cog2^) (, cOS^r )

et enfin

(3) r'2^r"2(^2^2)sinfi'sin^.

Cette dernière équation établit une relation entre les vitesses des deux systèmes d'ondes planes qui correspondent à une même direction de propagation normale et les angles que cette direction fait avec les axes optiques.

On peut aussi, au moyen des axes optiques , trouver la direction des deux mouvements vibratoires qui correspondent à une même direction de propagation normale. Ces directions sont, en effet, parallèles aux axes de la section faite dans le premier ellipsoïde par un plan perpendiculaire à la direction de propagation normale; mais le plan de cette section elliptique est coupé par ceux des deux sections circulaires suivant deux diamètres de Tellipse égaux entre eux, puisqu'ils sont égaux à ceux des cercles, et par conséquent également inclinés sur les axes de l'ellipse. Les axes optiques qui sont normaux aux sections circulaires se projettent sur le plan de la section elliptique, suivant des diamètres qui sont perpendiculaires à ceux dont nous venons de parler, et par suite, comme ceux-ci, éga-

lement inclinés sur les axes de Tellipse. Or ces projections sont les traces des plans qui passent par la direction de propagation normale et par chaque axe optique; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Les plans qui contiennent à Ut fois une direction de propagation normale quelconque et les directions des deux vibrations correspondantes bissectent les angles dièdres formés par les plans qui passent par la même direction de propagation normale et par les axes optiques.

158. Retetittiis entre lee witmmmmi dee deuiK rmjmnm ^ui •e meuvent suivant une même direeti«n et les an^lee que ÙM eette direetien avee lee amee de réfraetian eonique eiKtérleure. ' — L'équation de la surface de Tonde peut se déduire , comme nous l'avons vu, de celle de la surface d'élasticité, en remplaçant dans cette dernière r^^ l, m, n, à^, i^, c^ respectivement par

De même, si dans les expressions

qui représentent les cosinus des angles que font les axes optiques avec l'axe des x, on remplace a\ i^, c^ par -r» p' t on obtient

et T \ / -1 i 1

6 V fl' — c"

c'est-à-dire les valeurs des cosinus des angles que font avec Taxe des X les deux axes de réfraction conique extérieure.

Si donc p' et p" désignent les vitesses des rayons qui se propagent suivant une même direction, u' et u" les angles que forme cette direction avec les deux axes de réfraction conique extérieure, un calcul tout à fait analogue au précédent conduira à une relation qu'on peut trouver immédiatement en remplaçant dans l'équation (3) /, r"', ffy &* respectivement par-i - 1 u', u", ce qui donne

Les ax€s de réfraclion conique extérieure étant normaux aux sections circulaires du second ellipsoïde, on arrive, en raisonnant comme plus haut, au théorème suivant :

Les plans qui contiennent à la fois un rayon vecteur de la surface de l'onde et les deux vibrations correspondantes bissectent les angles dièdres formés par les plans qm passent par ce rayon vecteur et par les deux axes de réfraction conique extérieure.