COSI COSI
IK = irsinr, ir=e(tangt' — tangt).
En substituant - ces valeurs dans l'expression de la différence de phase, elle devient
gitangf-langi)sinr e e
tt VCOSI V COSI
= ^ [|(tang."-tangt)8inr-t-3^-j;r3^]
e T . \ v1 = - COSI — 5->cosî •
11 y aura maximum ou minimum suivant que cette quantité sera
égale à an- ou à(2n+t)r-' c'est-à-dire suivant que Ton aura
e I cos ou
€( cost — jjcosi 1 = an-
e f cosi — j-, cosi'j = (an4-t)"' Pour f incidence normale, ces conditions se réduisent à
et à
92 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Fresnel, cul occasion de faire une observation qui a une grande portée, en ce qu*elle démontre que, conformément k la théorie de Huyghens, la lumière se meut d'autant plus lentement dans un milieu que ce milieu est plus réfringent. Ayant placé une lame de verre un peu épaisse sur le passage d'un des faisceaux inierférents, il vit les franges disparaître complètement. Fresnel ^^^ expliqua ce fait par le retard que la lumière éprouve en traversant le verre, retard qui fait sortir la frange centrale et les franges voisines du champ commun aux deux miroirs; il annonça qu'en se servant d'une lame transparente très-mince, d'une feuille de mica par exemple , les franges resteraient visibles et seraient déplacées du côté de la lame transparente, ce que l'expérience vérifia parfaitement.
La frange centrale doit en effet résulter toujours du concours des rayons qui ont employé des temps égaux pour se propager depuis les deux sources lumineuses jusqu'à cette frange : si les deux rayons accomplissent entièrement leur trajet dans l'air, la frange centrale sera donc k égale distance des deux sources ; mais , si l'un des rayons se trouve retardé par son passage à travers un milieu plus réfringent que l'air, il faudra, pour que l'égalité des durées de propagation subsiste, que ce rayon ait à parcourir une distance moins grande, et par suite la frange centrale se rapprochera de celle des deux sources qui se trouve du même côté que la lame transparente.
Le déplacement des franges d'interférence fournit un procédé très-précis pour mesurer l'indice de réfraction de la substance qui forme la lame transparente, en admettant, comme le veut la théorie de Huyghens , que cet indice est égal au rapport des vitesses de la lumière dans l'air et dans la lame. On commencera par faire coïncider le trait fin du micromètre de Fresnel avec la frange centrale sans interposer la lame transparente; pour déterminer la position de cette frange centrale , on opérera d'abord avec la lumière blanche, parce que la frange centrale, étant alors la seule qui soit entièrement blanche, sera plus facile à reconnaître; puis on y substituera une lumière homogène, ce qui ne changera pas la position de la frange centrale. On interposera ensuite la lame transparente sur le
I^«Ur« A Leonor Frwnol , rfc'«r;»* rmufiMêt de Vr^nnel, t I , p. ^5.
INTERFKRKNCES. 93
passage de i*un des faisceaux réfléchis par les miroirs, de façon que les rayons tombent normalement sur celte lame; les franges seront déplacées, et le trait du micromètre coïncidera avec une certaine frange, dont nous désignerons le rang par k.
Si nous connaissons de plus l'épaisseur de la lame, épaisseur que nous représenterons par £ , et la longueur d'ondulation X de la lumière dans Tair, nous aurons tous les éléments nécessaires pour déterminer l'indice de la lame. Soient en effet v la vitesse de la lumière dans l'air, u sa vitesse dans la lame : les rayons qui concourent à l'endroit où se formait la frange centrale avant Finterposition de la lame parcourent des chemins géométriques égaux , et la différence entre les temps qu'ils emploient pour parcourir ces chemins est égale à la différence des temps qu'emploie la lumière pour traverser la lame transparente et une couche d'air d'égale épaisseur, c'est-àdire â
Ces rayons donnant lieu à une frange dont le rang est /r, on doit
avoir
T étant la durée d'une vibration pour la lumière dont on se sert, d'où
Cette formule permet de calculer le rapport -, c'est-à-dire l'indice
cherché.
Il faut remarquer que dans les milieux transparents la vitesse de la lumière varie avec la couleur, et que par suite les franges centrales correspondant au\ différentes couleurs simples subissent des déplacements inégaux; après l'interposition de la lame mince, la frange centrale cesse donc d'être entièrement blanche.
Le procédé fondé sur le déplacement des bandes d'interférence a été appliqué en 1 8 1 8 par Arago et Fresnel à la comparaison de
Pindirp de Tair ser avec celui de l'air humide ^'^ ces expériences ont été reprises plus tard par Arago seul ^^K M. Jamin s*esl servi d'appareils désignés sous le nom de réfracteurs interfirentiels et construits d'après le même principe pour mesurer les indices des gaz et de la vapeur d'eau et pour étudier les variations du pouvoir réfringent de l'eau comprimée ^'^ Enfin M. Fizeau a tiré parti de la méthodip du déplacement des franges pour constater les variations de l'indicé avec la température et pour mesurer la dilatation des corps cristallisés (^ \
Ml miMg ibyer* — Une fois admis ce principe, auquel l'expérience du déplacement des franges nous amène naturellement, cpie l'indice de réfraction d'un milieu par rapport à un autre est égal au rapport des vitesses de la lumière dans ce dernier milieu et dans le premier, nous sommes en mesure de justifier complètement le procédé dont s'est servi Fresnel -pour observer les franges d'interférence et de nous rendre un compte exact des phénomènes présentés parle biprismc.
Un théorème général sur le tautochronismc des trajectoires lumineuses aboutissant à un m^me foyer va nous permettre d'atteindre facilement ce but. Rappelons d'abord que le théorème de Gergonne (3) permet d'obtenir une infinité de surfaces normales k tous les rayons d'un faisceau lumineux qui a subi un nombre quelconque de réflexions et de réfractions. Il s'agit de démontrer maintenant que tous les ra\ons emploient des temps égaux pour se propager du point lumineux aux difl'érents points d'une quelconque des surfaces auxquelles ils sont normaux. Considérons en premier lieu le cas d'une réfraction unique : soient 0 (fig. q5) le point lumineux, S une surface sphérique ayant pour centre ce point,
''^ Article Lumière dans le Supplément à la traduction du Système de Chimie de Thomin Mon, p. 05.
(') OBtwree eûtH/^lèle» d'Aroffo, t. X , p. 998 , 3i » , t. XI , p. 7 1 8.
'^ C. A.,XL!l,â89, \Ul\,%t9t,\l\\Sg;^ Ann.de ckim. êî de pkye^ {^). Lll,i63,i7i,LI\, 989.
^•^ C. R., L!V, 193;, LVIIL 9'>3. LX, 1 i6t. — Ahh, de chim. et de pkye., (3). LXVI,4>9et('i). II, i'i.3.
811. Araoo, Notice historique sur les anneaux colores, OEutr. compL^
8i5. Knox, On Some Phœnomena of Coiours exhibîted bv Thin Plates,
PhiL Trans,, 181 5, p. 161.
8 1 5. Fresnel , Complément au premier Mémoire sur la diffraction , Œwr.
eompLy t. I,p. Al.
816. Frbsnkl, Supplément au deuxième Mémoire sur la diffraction,
OEuvr. compL, t. I, p. 199.
817. YoDiiG, article Chrùmaties dans le Supplément à r Encyclopédie bri-
tannique. — Mtscell, Works, 1. 1, p. a 33. 819. Fresnrl , Résumé dun Mémoire sur la réflexion de la lumière, Ann.
de chim. et de phys,, (9), XV, 379. — Œuvres complètes, t. I.
819. Frbsrkl, Mémoire sur la réflexion de la lumière, Mém. de l'Acad,
des sciences, XX, 198. — OEuvr. compi^ t. I, p. 691. 8ââ.- Frssnbl, article Lumière dans le Supplément à la traduction de la
cinquième édition du Systètne de Chimie de Thompson par Riffaut,
8-:i3. Poisson, Sur )e phénomène des anneaux colorés, Ann. de chim. et de
phys., (9), XXII, 337.
893. Frksnbl, Note ^ur le phénomène des anneaux colorés, Ann. de chim.
et de phys., (9), XXIII, 1 99.
83 1. AiRY, On a Repiarkable Modification of Newton's Rings, Camhr.
Trans., IV, 919. — Phil. Mag., (9), X, i4i. 839. Rrswstrr, On a New Species of Coloured Rings produced by th^
Refleclion of Light between the Two Lenses of Aclironiatic Com-
pound Ohject-Glasses, Edinh. Trans.^ XII, 191. — Phil. Mag.,
839. AiRY, On the Phœnomena of Newton*s Rings when Formed between
Two Transparent Substances of Différent Refractive Power.
Cambr. Trans., IV, 409. — Phil. Mag,, (3), II, 1 90.
839. R&BiiiBT, Sur la perte d*un demi-intervalle d'interférence qui a lieu
dans la réflexion i\ la surface d'un milieu réfringent, C. i?., VIII,
84 0. Rbadb, On the Iriscop, lo"' Bep. ofthe Brit. Assoc. — Inst.^ IX, 36.
84 1. Jbrichad, Ueber die Farben diinner Rlâtter und ueber zwei neue
Instrumente, Pogg. Ann., LIV. 139. — Ann.de chim. et de phys., (3), IV, 363. (Gyréidoscope et thermomicromètre.)
843. SoLBiL, Appareil propre h lofaservation des anneaux colorés a centre
blanc ou noir, Instit., XII, 90.
844. Matthibssen, Sur les anneaux colorés produits dans un solide trans-
parent limité par une surfoce plane combinée avec une surface coiu*be, C. R., XVII, 710.
VeRDiT, V. — Optique, I. 11.
96 LUMIÈRE \0\ POLARISÉE.
Comme BC, dislance normale des deux surfaces S et R, est une quantité constante pour tous les rayons^ on voit que les rayons emploient tous des temps égaux pour se propager de la surface S à la surface R, et par suite aussi pour se propager du point lumineux à cette même surface R.
Si maintenant nous supposons que les rayons éprouvent une seconde réfraction, nous pourrons démontrer de la même manière qu'ils emploient des temps égaux pour se propager depuis la surface R jusqu'à une surface R' normale à ces rayons après la seconde réfraction. En continuant de même et en remarquant que la réflexion peut être considérée comme un cas particulier de la réfraction 9 nous arriverons à ce théorème général :
Les rayons émanés d'un même point lumineux et soumis k un nombre quelconque de réflexions et de réfractions arrivent en même temps sur Tune quelconque des surfaces qui sont normales à leurs dernières directions, pourvu qu*ils rencontrent réellement cette surface.
Un corollaire immédiat de cette proposition, c'est que, si les rayons concourent en un même foyer réel, ils arrivent simultané-r ment en ce foyer. En eflet, la surface normale aux rayons est alors une sphère ayant pour centre le foyer; les rayons arrivant en même temps sur cette surface sphérique d'après le théorème précédent, et employant évidemment des temps égaux pour se propager depuis cette surface jusqu'au foyer, il en résulte qu'en définitive tous les rayons partis simultanément du point lumineux arrivent en même temps au foyer ^^'. Si donc des rayons, en partant d'un même point, présentent une certaine difl'érence de marche et viennent convei^er en un foyer réel , cette diS^i^rence de marche ne sera pas altérée par les réflexions et les réfraclions auxquelles ces rayons sont soumis.
Or, lorsqu'on observe directement les franges d*interférence avec la loupe, comme le faisait Fresnei, il se forme sur la rétine une image nette des points situés dans un certain plan, qui est celui dans lequel la loupe permet de voir dislincteinent les objets. Si deux rayons viennent interférer en un point de ce plan, ces rayons iront convei^r
^'' Celle proposition n*esi pas sp^^'cialo aui milieux i«o(rop(»s i*t peut sVteiidrp a toute eftpère «le milieu lioningène.
sind, Pogg. Ann,, CXXIII, 588. (Expiicotion des phénomènes observés par Knox en i8i5.) 1866. Brodghton, On Some Properlios orSonp-Kiilihles, Phti Mag,, (4),
XXXI, -ïfi8.
