Principes «le l» thévrie sénérale dea eauatlquea

NouH ulluDs maintenant développer plusicuni conséquences des lois de l'optique géométrique qui nous seront d'un utile secours dans l'espofié de la théorie ondulatoire.

De ce nombre sont les remarques qui vont suivre sur leti propriétés des faisceaux réllécliis ou rérraclés , remarques qui servent de base à la théorie dra caustiques par réflexion et par réfraction.

Considérons en premier lieu ie cas oi'i , sur nne surface réfléchissante plane xy ^fig. i ), tombe un faisceau de rayons incidents SI, S'C,... T tous parallèles entre eux ; coupons ces rayons par un plan qui leiirsoil normal, etsoîl MM' la trace de ce plan sur le plan de la (igure auquel il est perpendi- I culaire. Il n'sulle inijiiédialonient de la loi I do la réflexion que les lOns réflécliis sont is normaux à un plan M, M,' qui est symétrique du plan MM' Fin ' par rapport à ta surface

réfléchissante, elqueles distances IM, l'M' sont respectivement égales aux dislances IM, , FM,'. Nous arrivons ainsi au théorème suivant :

Si un faisceau de rayons parallèles tombe sur une surface réfléchissante plane, et ([u'on considère un plan normal à tous ces rayons, les sphères tangentes à ce plan normal et ayant pour centres les différents points d'incidence ont pour enveloppe, de l'autre côté de la surface réfléchissante, un plan normal aux ravons réfléchis; de plus, si les rayons incidents sont dirigés du plan qui leur est normal vers la surface réfléchissante, les rayons réfléchis sont dirigés du pian normal correspondant vers cette mt^me surface.

Passofts inainteriaut à un cas plus général, et supposons que ia surface réfléchissante 2 soit quelconque et que les rayons incidents émanent d'un même point lumineux 0. Ces rayons sont alors toiis noiin^aux à uhe surface sphérique S, et, si Ton considèi*e isolén^ent les rayons incidents contenus dans un cône de dimensions infiniment petites, on pourra répéter, pour l'élément delà surface sphérique S intercepté par ce cône et pour l'élément correspondant de la surface réfléchissante 2 , tout ce qui a été dit dans le cas d'une surface réfléchissante plane. Donc , si l'on mène les plans tangents aux surfaces S et 2 aux points où ces surfaces sont rencontrées par le cône infiniment petit, et si, par la droite d'int^*sectioii de ces deux pians, on fait passer un troisième plan symétrique du plan tan-^ gent à la surface S par rapport au plan tangent à la surface 2, ce troisième plan est l'enveloppe , ^e l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères tangentes à l'élément considéré de la surface S et ayant pour centres les difl'érents points de l'élément correspondant de la surface 2. La même construction est applicable à tous les éléments de la surface sphérique S qui sont traversés par les rayons incidents; on peut donc construire par points la surface enveloppe qui est normale à tous les rayons réfléchis, et l'on est conduit ainsi d'une manière simple au théorème suivant, dont la démonstration analytique serait fort compliquée :

Si des rayons incidents émanés d'un point unique tombent sur une surface réfléchissante quelconque^ les rayons réfléchis sont tous normaux à une même surface qui est l'enveloppe, de l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères ayant pour centrés les différents points d'incidence et tangentes à une surface sphérique dont le centre est le point lumineux; de plus, si les rayons incidents sont dirigés de cette surface sphérique vers la surface réfléchissante, les rayons réfléchis sont dirigés de la surface qui leur est normale vers la surface réfléchissante.

Supposons enfin que les rayons réfléchis soient soumis à une seconde réflexion sur une autre surface réfléchissante 2'; soit S' la surface normale a tous les rayons ayant subi une première réflexion et que nous considérons maintenant comme rayons incidents : en raisonnant comme plus haut, nous déduirons d'un élément quel-

oonque de celte surface S' et de l'ëlëiuent correspoudant de la surface rédéchissE^ite 2' un élément d'une surface enveloppe Dormale à tous les rayons réfléchis pour la seconde fois.

La mdnie démonstration est applicable quel que soït le nombre des réflexions que subissent Les rayons.

Donc, lorsque des rayons émanent d'un même point, ces rayons, après un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces quelconques, sont tous normaux à une même surface, que les théorèmes précédents nous apprennent à construire.

Un corollaire important de ce théorème général consiste en ce que l'effet d'un nombre quelconque de réflexions peut être remplacé par celui d'une réflexion unique sur une surface qu'il est facile de déterminer.

Soient en effet S une surface spliérique ayant pour centre le point lumiueux, et S' la surface à laquelle les rayons sont normaux après leur dernière réflexion : la surface réfléch issa n te cherchée doit être telle , que toute sphère décrite d'un point de cette surface comme centre et tangente à la surface S soit également tangente à la surface S'. Par conséquent, cette surface réfléchissante est le lieu des points dont les distances nor- "'■ '■ maies aux deux surfaces S et S'

sont égales entre elles, condition qui est suffisante pour la définir complètement.

Les théorèmes que nous venons de démontrer pour la réflexion peuvent s'étendre facilement à la réfraction moyennant quelques changements dans leur énoncé.

Soient d'abord (fig. a) des rayons incidents parallèles SI, S'I',.., tombant sur un plan réfringent xy : coupons ces rayons par un plan qui leur soit normal, et soit MAA' la trace de ce plan sur celui da la ligure. Par la point M menons un plan normal atu rayons réfractée,

plan qui rencontre en B, fi',... les rayons réfractés eorresponcUnt aux rayons incidents SI, ST,..,. En désignant par t et r les angles d'inetdenee et de réfraction , par n l'indiiee de réfraction du second milieu par rapport au premier, nous aurons