JA . IB

d'où

JA siii i

et

1d sinr

Si donc, du point 1 comme centre, on décrit deux sphères ayant pour rayons l'une lA et l'autre — > la première de ces sphères sera

tangente au plan AA' normal aux rayons incidents, et la seconde au plan BB' normal aux rayons réfractés. Le point I étant un point quelconque du plan réfringent , nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Lorsque des rayons incidents tous parallèles entre eux tpm^nt sur une surface réfringente piane» si l'on décrit, des différents points d'incidence comme centres, des sphères tangentes à un plan norn^al aux rayons incidents et d'autres sphères dont le rayon soit à celi^i des précédentes comme l'unité ept à n, la surface plane, envelpppe des sphères décrites en dernier lieu et située du même côté de la surface réfringente que le plan normal aux rayons incidents, est normale à tous les rayons réfractés.

De là, en suivant exactement la même marche que pour la réflexion , nous pouvons passer au cas oi^ la surface réfringente est quelconque etoiîies rayons incidents émanent d'un même point lumineux, ce qui nous amène au théorème suivant :

Lorsque des rayons incidents émanés d'un même point lumineux tombent sur une surface réfringente quelconque 2 , si l'on imagine une (surface sphérique S normale à tous les rayons incidents , et si , des différents points de la surface réfringente comme centres, on décrit de^ sphères tangentes à la surface S et d'autres sphères dont le

rayon soit à celui des précédentes comme l'unité est' à n, ces der** nières sphères ont pour enveloppe une surface dont la nappe S\ située du même côté de la surface 2 que la surface S, est normale à tous les rayons réfractés ; de plus, si le rayons incidents sont dirigés de la surface S vers la surface 2 , les rayons réfractés sont dirigés de la surface S' vers la surface 2.

Ayant obtenu une surface S' normale aux rayons réfractés après une première réfraction, nous pourrons en déduire une surface S" normale à ces rayons après une seconde réfraction , et ainsi de suite. En combinant ces résultats avec ceux acquis pour la réflexion, nous arrivons définitivement à ce théorème général , qui embrasse tous les cas particuliers que nous venons d'examiner :

Les rayons lumineux issus d'un même point, après avoir suhi un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces quelconques et un nombre quelconque de réfractions par leur passage à travers des milieux limités jouissant de pouvoirs réfringents diff'érents, sont toujours normaux à une même surface ^^K

Les constructions indiquées plus haut permettent de déterminer une surface normale à tous les rayons après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions ; mais il faut remarquer qu'il existe une infinité d'autres surfaces jouissant de la même propriété : si, en efiet, sur les droites normales à la première surface, on porte à partir de cette surface des longueurs égales, le lieu des points ainsi obtenus sera encore une surface normale à tous les rayons.

Le lien intime qui rattache le théorème précédent à la théorie des caustiques est facile à saisir : si tous les rayons réfléchis ou réfractés sont normaux à une même surface, le lieu des intersections de ces rayons, c'est-à-dire la surface caustique, ne sera autre que la surface à deux nappes, lieu des centres de courbure de celle qui coupe orthogonalement les rayons. Par suite, si la surface normale aux rayons est de révolution , l'une des nappes de la surface causai) Ce tbëorème porte tantôt le nom de Malus, tantôt celui de Gorgonne : tel qu'il est énonce ici, il n'est vrai que pour les milieux isotropes ou uniréfringents , mais il est susceptible d'une généralisation qui permet 4e Pétendre à toute espèce de milieu hpmo» gène. (L.)

lique se réduit à l'axe de celte surfîjfce de révolution, et l'autre est elle-même une surface de révolution ayant pour méridien la développée de la courbe méridienne de la surface normale aux rayons.

Nous avons vu plus haut que l'efTct d'un nombre quelconque de réflexions peut être remplacé par celui d'une réflexion unique : on démontrerait de même que l'effet d'un nombre quelconque de réfractions peut être remplacé par celui d'une réfraction unique s'effectuant suivant un indice choisi arbitrairement. Si l'on donne une surface S normale aux rayons incidents et une siirface S' normale aux rayons après leur dernière réfraction, la surface réfringente unique dont l'effet peut remplacer celui de toutes les réfractions que subissent les rayons s'obtiendra en cherchant le lieu des points dont les distances normales aux surfaces S et S' sont entre elles dans le rapport de l'unité à l'indice donné , condition qui suffit pour définir complètement cette surface.

En considérant la réflexion comme une réfraction s'effectuant suivant l'indice — i , on peut réunir dans un énoncé unique ce qui est relatif à la réflexion et à la réfraction , et dire que l'effet d'un nombre quelconque de réflexions et de réfractions peut être remplacé par l'effet d'une réfraction unique s'effectuant suivant un indice choisi arbitrairement.

Les propositions qui font l'objet de ce paragraphe, bien que leur démonstration paraisse aujourd'hui fort simple, n'ont cependant été étaibiies que par les efforts de nombreux géomètres. Malus, qui le premier s'est occupé des systèmes de rayons dans l'espace, reconnut au moyen d'une analyse assez laborieuse ^^^ l'existence d'une surface normale à tous les rayons réfléchis ou réfractés; mais, par suite, d'une erreur de calcul, il fut conduit à restreindre son théorème au cas d'une réflexion ou d'une réfraction unique. M. Ch. Dupin ^*^^ découvrit la généralité du théorème et en donna une démonstration, géométrique pour le cas de la réflexion, démonstration qui fut étendue au cas de la réfraction, d'abord par Timmermans^*' et ensuite

t*î Joum, de HEc. PolyUchn.,cah, XÏV, l.

^*^ Applic, de Géom. et de Méc, , k" luémoire , p. 1 8j.

'^') Qnreipond, math, et phyi., 1 , 336.

par Gergonne^*^. Quant au théorème que nous venons d'énoncer en dernier lieu, il est dû à Gei^onne^^l

4. TËÊémwéwKk^ «le Attirai. — Droite» focales* — Sturm • déduit de la théorie des caustiques une série de conséquences remarquables dans ses études sur la théorie de la vision, oii il écarte les restrictions en vertu desquelles on se borne ordinairement h considérer les surfaces qui limitent les milieux réfringents de l'œil comme étant des sphères dont les centres se trouvent sur une même droite. Dans ce travail ^^^ il cherche la manière dont sont distribués les rayons lumineux après un certain nombre de réflexions ou de réfractions, les surfaces de séparation des milieux étant quelconques; et la propriété dont jouissent les rayons réfléchis ou réfractés d'être toujours normaux à une même surface , propriété qui l^s distingue complètement d'un faisceau de droites situées arbitrairement dans l'espace , le conduit k une remarque importante sur la constitution d'un faisceau lumineux infiniment mince.

Considérons en effet un élément infiniment petit de la surface nor-* maie è un système de rayons réfléchis ou réfractés : soieAt (6g. 3 ) MN, M'N', M'N^..., sur cet élément, les lignes de courbure appartenant è un certain système. On sait que les normales menées a una surface le long d'une ligne de courbure constituent une surface développable : il en résulte que les normales menées à la surface con* sidérée aux difiérents points de MN, qui est un élément d'une des lignes de courbure, sont tangentes à un élément de l'arête de rebroussement de la surface développable dont ces normales font partie, et qu'en prenant MN pour infiniment petit du premier ordre et négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on peut dire que ces normales se rencontrent toutes en un même point H. De même, les normales menées k la surface le long de la courbe M'N' se rencontrent en un même point H', et, en général, i chaque ligne de courbure de même espèce que MN , tracée sur Télé* ment superficiel, correspond un point de rencontre des normales. Ces

(') Atm.dêMath.^Xyi.Zo'j.

0) Atm. de Math., \iy, 199.

W C./}.,XX,55A,76i, is38.

points de reocontre H, H',... forment un élément de courbe qui peut être conaidéré comme une droite infiniment petite, que doivent rencontrer tous les rayons qui traversertt l'élément superficiel.

En menant sur cet élément les lignes de courbure du secood système, telles que PQ, on voit de même qua tous les rayons qui traversent l'élément rencontrent une seconde droite infiniment petite RK'. 11 est d'ailleurs facile de prouver que les deux droites HH' et kK' sont situées dans des plans rectangulaires. En effet, les normales menées à la surface aux points A, A', A",..., oîi la courbe PQ coupe les courbes MN.M'N', M''N",...de l'autre système, passent par les points H , H', H',...; donc la droite HH' est sur la surface développable formée par les normales menées le long de la courbe PQ ; oti démontrerait de même que la droite KK' est sur la surface développable formée par les normales menées le long de la courbe MN, Or, ces deux surfaces développables, qui se coupent suivant la normale en A, sont, comme op sait, ortbogonales ; donc tous les rayons qui constituent un faisceau infiniment mince passent par deux droites, infiniment petites situées dans deux plans rectangulaires. Stunn a donné à ces deux droites la dénomination de dnite* jocaU». Les deux droites focales sont en général à une distance finie l'une de l'autra,mais elles peuvent, dans des cas particuliers, être situées dans un même plan et se couper; lorsqu'il en est ainsi, il existe un vérilabU foyer, car alors les rayons qui composent le faisceau infiniment mincBi devant tous rencontrer les droites focales qui se coupent et n'étant pas situés dans le même plan, passent nécessairemeot tous par le point d'bterwctioo de ces droites-

li INTRODUCTION.

Jl résulte de ce que nous venons de dire que, si les réflexions et les réfractions successives. ont lieu sur des surfaces de révolution ayant toutes le même axe, et si, de plus, le point lumineux est situé sur cet axe, il existe un véritable foyer pour les rayons qui font avec l'axe un angle infiniment petit. En effet, la surface normale à tous les rayons après leur dernière réflexion ou réfraction est évidemment alors de révolution autour de l'axe commun des surfaces réfléchissantes et réfringentes; cette surface présente donc un ombilic au point où elle est rencontrée par l'axe, d'où il suit que cet axe est coupé au même point par tous les rayons qui forment avec lui un angle infiniment petit.

Nous allons maintenant indiquer quelques conséquences du théorème de Sturm propres à éclaircir certains points qu'on discute en général d'une manière incomplète dans l'optique géométrique. Nous nous occuperons en premier lieu de la manière dont s'opère la vision des objets plongés dans l'eau. Soit (fîg. 4) un point lumineux S situé dans l'eau, et supposons l'œil de l'observateur placé dans l'air en 0; quelle sera la véritable position de l'image virtuelle du point S? Cette question paraît comporter deux réponses différentes. Considérons, en effet, un faisceau infiniment mince de rayons partant du point S pour pénétrer dans l'œil 0 après réfraction : si , parmi les rayons du faisceau réfracté , nous en prenons un certain nombre qui fassent des angles égaux avec la perpendiculaire SA abaissée du point lumineux sur le plan réfringent, nous voyons que les prolongements de tous ces rayons concourent en un même point S' situé sur SA; si, d'autre part, nous coupons le même faisceau par un plan passant par SA, nous nous assurerons facilement que les prolongements des rayons situés dans ce plan viennent converger en un point S*^ différent de S' et qui n'est pas , en général , sur la droite SA. Il semble donc, au premier abord, que la position de Timage virtuelle du point S soit indéterminée; mais cette difficulté disparaît si l'on remarque que les deux points S' et S'' appartiennent aux deux droites focales du faisceau infiniment mince formé par les rayons réfractés.: Tune de ces droites est ici une portion de fa normale SA menée par le point S k la surface réfringente, l'autre est perpendiculaire au plan moyen de réfraction. En réalité, il n*y

rencontre le corps opaque ; au Heu d observer, comme on devrait s'y attendre, une transition brusque entre l'obscurité et la lumière, on reconnaît l'existence de maxima et de minima d'éclairement, dont la disposition varie avec les conditions de l'expérience (phénomènes de diffraction). Ainsi , plus on se rapproche du phénomène élémentaire, et plus les apparences diffèrent de celles qu'indiquent les lois de l'optique géométrique.

Cependant une vérification en apparence rigoureuse semble échapper à la critique précédente. C'est celle qui résulte de l'accord observé entre la loi de la réflexion régulière et les mesures de la distance zénithale d'une étoile effectuées en visant d'abord directement l'étoile, puis son image vue par réflexion dans un bain de mercure; dans ces conditions , la source lumineuse se réduit réellement à un point, et néanmoins la loi géométrique paraît satisfaite. Mais, pour se rendre compte de la portée de ces observations en tant qu'on les considère comme une confirmation de la théorie , il suffit de remarquer qu'elles impliquent l'exactitude des lois qu^indique l'optique géométrique pour la formation des images par les lentilles. Or si, dans le but d'augmenter la netteté de l'image d'une étoile vue dans une lunette , et de faire disparaître les aberrations qui rendent cette image irrégulière, on recouvre la lentille objective d'un diaphragme, et qu'on diminue de plus en plus l'ouverture de ce diaphragme » on voit, il est vrai , tant que cette ouverture n'est pas trop petite, l'image devenir de plus en plus nette, mais îi arrive un moment où cette image se transforme en un cercle brillant, entouré d'anneaux colorés dont le diamètre s'accroît à mesure que l'ouverture se rétrécit. L'élément central de la lentille ne se comporte donc nullement comme le veut l'optique géométrique, et il est même à noter que l'écart est d'autant plus grand que l'instrument dont on se sert est plus parfait : c'est ainsi que , dans un télescope de Foucault, les anneaux colorés commencent a se montrer avec un diaphragme d'une ouverture bien plus grande que celle qu'exigerait dans d'autres instruments l'appa* rition du phénomène.

En résumé, les principes sur lesquels se fonde l'optique géométrique, bien qu'ils puissent servir k expliquer d'une manière approchée un certain nombre de phénomènes , ne sont susceptibles d'aucune

U rNTRODUOTÎOh.

servi dé point de départ aux m^lhodes photométiïques ordinaires. Hais ià importe de remarquer que rette dernière loi suppose que les rayons lumineux dont on évalue la faculté éclairante divergent tous à partir d'un point unique, condition qui n'est pas rem^ie en général lorsque ces rayons ont subi des réflexions ou des réfractions. Si les rayons lumineux qui éclairent une certaine surface, bies qu'émanant |H-imitivement d'un même point lumineux, ne sont plut dirigés de façon à concourir en un même point, par suite dtt réflexions et des réfractions qu'ils ont éprouvées, la loi du curé àtf distances n'est plus applicable, et on devra alors procéder de b mt^ nière suivante pour calculer la quantité de lumière reçue par ua élément de la surface sur laquelle tombent les rayons.

Soit 0 (%. 5 ) le point lumineux dont émanent originairement let rayons : après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, ces rayons sont tous normaux à une certaine surface S' (3); de plus, l'effet de toutes ces réflexions et ces réfractions peut être remplacé par celui d'une réfraction unique s'opérant par une surface 2 que nous avons appris à déterminer. Ceci posé, pour avoir Ift quanti(é de lumière reçue par l'élément MN de la surface éclairée, il suflit de mener, par les différents points du contour qui limite cet élément, des normales MC, ND,... à la surface S', et de joindre les points oît ces normales rencontrent la surface réfringente Z au point lumineux 0, puis de multiplier la quantité de lumière contenue dans le faisceau AOB ainsi obtenu par le produit des coefficients de déperdition correspondant aux diverses réflexions et réfractions que subit la lu- ^- *• mière. Si , du point 0

comme centre, on décrit Une surface sphérique ayant pour rayon t'unîté, le faisceau AOB

Passons mainteriHiit à un cas plus général, et supposons que ia surface réfléchissante 2 soit quelconque et que les rayons incidents émanent d'un même point lumineux 0. Ces rayons sont alors toiis normaux à uhe surface sphérique S, et, si Ton considère isolén^^nt les rayons incidents contenus dans un cône de dimensions infiniment petites, on pourra répéter, pour l'élément delà surface sphérique S intercepté par ce cône et pour l'élément correspondant de la surface réfléchissante 2, tout ce qui a été dit dans le cas d'une surface réfléchissante plane. Donc, si l'on mène les plans tangents aux surfaces S et 2 aux points où ces surfaces sont rencontrées par le cône infiniment petit, et si, par la droite d'intersection de ces deux plans, on fait passer un troisième plan symétrique du plan tan-^ gent à la surface S par rapport au plan tangent h la surface 2,

ce troisième plan est l'enveloppe , de l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères tangentes à l'élément considéré de la surface S et ayant pour centres les différents points de l'élément correspondant de la surface 2. La même construction est applicable à tous les éléments de la surface sphérique S qui sont traversés par les rayons incidents; on peut donc construire par points la surface enveloppe qui est normale à tous les rayons réfléchis, et l'on est conduit ainsi d'une manière simple au théorème suivant, dont la démonstration analytique serait fort compliquée :

Si des rayons incidents émanés d'un point unique tombent sur une surface réfléchissante quelconque^ les rayons réfléchis sont tous normaux à une même surface qui est l'enveloppe, de l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères ayant pour centrés les différents points d'incidence et tangentes h une surface sphérique dont le centre est le point lumineux; de plus, si les rayons incidents sont dirigés de cette surface sphérique vers la surface réfléchissante , les rayons réfléchis sont dirigés de la surface qui leur est normale vers la surface réfléchissante.

Supposons enfin que les rayons réfléchis soient soumis à une seconde réflexion sur une autre surface réfléchissante 2'; soit S' la surface normale à tous les rayons ayant subi une première réflexion et que nous considérons maintenant comme rayons incidents : en raisonnant comme plus haut, nous déduirons d'un élément quel-

16 IMTUOIXJCTION.

simple distance de cet élément h la droite focale, cette distance t^tanl

évaluée parallèlement au plan de ta parabole directrice.

Dans d'autres circonstances, la loi de l'éclairenient peut devenir plus complexe. Ainsi , soit (fig. 7 ) une surface de révolution engendrée par une branche d'hyperbole ayant pour foyer le point F ei tournant autour d'un axe OD ({ui passe par l'autre foyer de l'hyperbole et qui est perpendiculaire à son axe réel. Supposons que des rayons lumineux issus du point 0 se réfléchissent sur cette surface. Si nous considérons un ptan quelconque jiassant par l'axe OD, par exemple te plan de la figure, nous voyons que les rayons contenus dans ce plan sont dîrigés,après réflexion, comme s'ils provenciienl du fo\er F, et que, par conséquent, la quantité de lumière reçue par une droite infiniment petite, maïs de longueur constante, située dans ce plan, varie en raison inverse de la distance de celte droite au foyer F. D'autre part.

les. rayons qui se réffé- I ' chissent aux différents Fif.7. ' points d'un parall^e de

la surface vont! tous couper l'axe OD en un même, point ,' et la quantité de ces rayons que reçoit une droite infiniment nelite, de longueur contilaRte et perpendiculaire au plan de la figure, est. par suite,, en raison inverse de la dislance de cette droite à l'axe OD. Donc la quantité de lumière reçue par un élément superficiel est en raison composée de l'Inverse de la distance de cet élément à l'axe OD de la surface réfléchissante et de l'inverse de sa distance à la circonférence que décrit le foyer F lorsqu'on fait tourner la branche d'hyperbole autour de OD.

RÉSUMÉ DE LÔPTIOliE GÉOMÉTRIQUE. il

BIBLIOGRAPHIE