REPRÉSENTATION ANALYTIQUE ET COMRINAISON DES MOUVEMENTS

VIRRATOIRES LUMINEUX.

&5. Expremiioiis des déplacemeiits et des viteMies dans le mouvemeiit Tibratoire. — Nous, avons vu précédemment (18) que, dans le mouvement vibratoire qui constitue ]a lumière, les déplacements des molécules vibrantes, estimés suivant une direction quelconque, sont nécessairement représentés en fonction du temps par des séries trigonométriques dont nous avons indiqué la ^ forme. Nous avons été conduit plus loin (Al) 9 en nous appuyant sur ce fait qu'un rayon modifié d'une manière permanente par l'interférence ne diffère d'un rayon ordinaire que par l'intensité et la phase, à admettre que, pour une lumière homogène, ces séries se réduisent à leur premier terme; ce terme peut d'ailleurs contenir un sinus ou un cosinus suivant l'origine qu'on adopte pour le temps. II importe de remarquer que réduire ainsi les séries qui représentent les déplacements des molécules vibrantes à leur premier terme revient à supposer que les forces qui tendent à ramener ces molécules vers leur position d'équihbre sont des fonctions linéaires des déplacements, et c'est souvent en partant de cette relation entre les forces moléculaires et les déplacements qu'on arrive aux équations du mouvement d'une molécule vibrante. Mais, qu'on parvienne à ces équations par la considération directe des forces moléculaires ou, comme nous l'avons fait, en précisant la nature du mouvement vibratoire au moyen des phénomènes d'interférence, il reste toujours quelque chose d'hypothétique dans la manière dont les formules sont établies, et c'est surtout dans l'accord des conséquences qu'on en tire avec les faits qu'il faut en chercher la véritable démonstration.

Ceci posé, nous allons donner quelques détails sur la manière de représenter les déplacements et les vitesses dans le mouvemeat vibratoire et démontrer un certain nombre de formules relatives à la composition de plusieurs mouvements de ce genre, formules dont

166 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

nous aurons souvent à faire usage par la suite ^'l Nous supposerons toujours le mouvement vibratoire simple, c'est-à-dire la lumière homogène ; nous prendrons pour origine des coordonnées la position d'équilibre de la molécule vibrante et pour axes trois droites rectangulaires quelconques. D'après ce que nous venons de dire, nous aurons, en désignant par Ç, >;, Ç les déplacements de la molécule vibrante parallèlement à ces trois axes, par t le temps, par a, h^ c, m, (p, Xt ^ des paramètres constants,

i Ç==flr cosw (i— ^), (A) I tj=-bcosm {t — x)y

[ K = c cosm (f — 4')*

Dans ces trois expressions la quantité m, par laquelle se trouve multiplié le temps, doit a^oir la même valeur; car la durée de la période doit être la même, quelle que soit la droite sur laquelle

on projette le déplacement, et cette durée est représentée par —

Les coefficients a, b, c sont ce qu'on appelle les amplitudes du mouvement vibratoire suivant les trois axes; ces coefficients représentent les déplacements maxima de la molécule vibrante parallèlement à chacun de ces axes.

Nous avons exprimé les déplacements au moyen de cosinus; les vitesses seront par suite exprimées par des sinus; mais il suffirait

de déplacer l'origine du temps d'une quantité égale à — pour que

ce fût l'inverse : la notation que nous employons ici est la plus usitée. 11 est facile de déduire des équations (A) la fot'me de la trajectoire de la molécule vibrante. Ces équations deviennent , en ciïet , si on les développe ,

l - = cos m^ cos mt + sm m<p sin mt,

( B ) / 5. = cos mx cos mt + sin mx sin mt,

- = cos m^ cos ml + sin m^^ sin mt.

^') Ces formules oui clé établies |)our la première Hms par FreHiicl eii i8i8 àtm sod Mémoire sur la diffraction.

Si des deux premières de ces relations nous tirons les valeurs de sin mt et de cosmt, il vient

— cosm;^ — T" cosm^

sinm(^-X)

— sin m;^^— j sin m(p cos mt= —

sin m IX-?) d'où, en élevant au carré et en ajoutant,

(jette équation, qui représente la projection de la trajectoire sur le plan des Ç, ty, est celle d'une ellipse. Si d'ailleurs nous portons dans la troisième des équations (B) les valeurs de sin nU et de cosmt, elle devient

I sin w (x - >p) +-J sin m (>|/~ <p) +^ sinm ((p -x) == o.

Cette dernière équation, qui est indépendante de t, représente un plan; donc la trajectoire, étant plane et se projetant sur un plan suivant une ellipse, est elle-même une ellipse. Ainsi, tant qu'on se borne aux phénomènes dont nous avons parlé jusqu'à présent, tout ce qu'on peut affirmer, c'est que la forme la plus générale de la trajectoire d'une molécule lumineuse est une ellipse orientée d'une manière quelconque dans l'espace; l'étude de la lumière polarisée pourra seule nous fournir des notions plus précises sur la forme de cette trajectoire et sur sa position relativement à. la direction du rayon.

Les composantes de la vitesse parallèlement aux trois axes sont

u=-j- = CL sinw(f — (p), ^^^%^^ sinw(r-x),

en posant

Les coefficients a, jS, 7, qui désignent les valeurs maxima des trois composantes de la vitesse, se nomment les coefficients des vitesses parallèles aux axes, et souvent, pour abréger, les citesses parallèles aux axes.

On donne aux expressions des composantes de la vilesse une forme plus commode en y faisant entrer la durée T de la vibration : comme on a

ces expressions deviennent

a = asm 3^1-^-1'

tv = y smaTi "Y" ) •

Proposons-nous maintenant de trouver les valeurs des composantes de la vitesse du mouvement vibratoire en un point M, dont la distance à Torigine 0 est égale a R. Si cette distance est assez petite pour qu'on puisse faire abstraction de raiïaiblissemenl qu'éprouve l'intensité lumineuse lorsqu'on passe du point 0 au point M..

le mouvement en M au temps t est identique à ce qu'il est en 0

R au temps ^ — y^V étant la vitesse de propagation de la lumière.

On a donc, pour les composantes de la vitesse au point M,

u =-^ a sm air

V — /Ssina?r

//; = y sinuir

, Il

En remarquant que