VT = X
el en posant
V<P = /r, Vx = //, H = k,
il vient j pour les composantes de la vitesse en 0,
u= a sin-jTT rj; — |V
r = /3 sinaw^q-, — ^V
a; = y sin97r(;j;-^);
et pour les composantes de la vitesse en M ,
=-,Ssinaw^~ —
w = y sm 97r
It ir)
Les quantités ,^, y^, >|/ au point 0, ^ + y X + v' ^~^V *^"
point iM, sont ce (|uon appelle les phases des vitesses composantes en ces points.
On voit que, si R est égal à un nombre pair de demi -longueurs d'ondulation, les composantes u', v\ w sont respectivement égales aux composantes u, e^ w et de même signe; si R est égal à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, les composantes VLy v\ w' seront égales en valeur absolue aux composantes u, v, w, mais de signes contraires.
/lti. Évaluation de l'intensUé lumineuse. — Nous avons \u(29) que rinlensité lumineuse à un instant donné a pour mesure le carré de la vitesse du mouvement \ibratoire; il suit de là qu'en désignant cette vites^^e par I , l'intensité lumineuse |)endant l'unité
t7a LUMIÈRE NON POLARISÉE..
(le temps sera représentée par
comme on a toujours
rintégrale qui sert de mesure à l'intensité lumineuse a pour valeur
fu^dt+rv^dt+f-a^dt.
Jo Jo Jo
Considérons séparément l'une de ces trois intégrales, par exemple I u^di\ en remplaçant ur par sa valeur, elle devient
Or, si T désigne la durée d'une vibration, on a
L'intégrale qui représente l'intensité lumineuse est donc égale, si on la prend entre les limites zéro et T, à
L'unité de temps comprenant toujours un nombre immense de vibrations, on peut admettre sans erreur sensible qu'elle est un multiple exact de la durée d'une vibration, et poser
wT
l'intensité lumineuse pendant l'unité de temps aura alors pour mesure
COMPOSlTIOiN DES V1BRATI0^S. 171
Les inlensitës de deux mouvements vibratoires ayant même période sont donc entre elles comme les sommes des carrés des trois coefficients des composantes de la vitesse, ces intensités étant évaluées pendant le même temps pour les deux mouvements.
Supposons maintenant qu'il s'agisse de comparer leé intensités lumineuses de deux mouvements vibratoires ayant des périodes différentes. Soient T et T' les durées de ces périodes; les intensités lumineuses des deux mouvements évaluées pendant la durée d'une période seront respectivement
et
mais si on évalue ces intensités pendant l'unité de temps, elles auront pour mesure
i(a^ + /S'^ + r) et
Donc, <{ue deux mouvements vibratoires soient de même période ou de périodes différentes, leurs intensités sont toujours proportionnelles à la somme des carrés des coefficients de la vitesse, ces intensités étant évaluées pendant un même temps pour les deux mouvements.
A7. Composition des mouvemonto vibratoires* — Imaginons qu'en un même point 0 arrivent un nombre quelconque de mouvements vibratoires ayant tous même période, mais différant par la phase et par l'intensité : nous allons faire voir que le mouvement résultant de leur superposition sera encore un mouvement vibratoire ayant même période que les mouvements composants.
Soient en effet u, v, w, u^, v\ w\ ..., les composantes parallèles aux axes des vitesses apportées en 0 par les différents mouvements
172 LUMIÈRE NON POLARISÉE,
vibratoires qui se rencontrent en ce point : nous aurons
ii=a sina7r^| — ly . u'= a' sinaTr^—^V r^/3 sin97r(I-^), r' = /3' sin27r(|-^),
et ainsi de suite.
Désignons par U , V, W les composantes de la vitesse du mouvement résultant : nous aurons
ou
u = sin îiTT Ty (a tos a w | + *' <îos a w | + . . . j
— cosaw,-i; fa sin aw't + a' sinaw^H ) ,
V =sina7rrp (/S cos aw^ + jS' cosaTr -. H j
cosawrp [/3 sin aw-j-f-jS' sin awy+... j ,
VV =sina7r,^ (y cos a7r^ + y'cosaw-T--H j
if- k t ' k \
— cosawq, fy sm aw-c- f-y sma7r-Y+ .. .J <
Il est facile de démontrer que les quantités U , V et W peuvent être mises sous la forme
U =- A sin air ( Tp — y K
V^B sin a,r ({,-*[)
W-^Csina7r(.[,--j)
Si on identifie, en effet, cette dernière valeur de U avec ciplle qui a été trouvée plus haut, on obtient les deux conditions
A cos 97r y = 2a cos 27r f ,
AsinsTr y=2a smâWT-^
le signe 2 désignant une somme de quantités analogues; de là on tire immédiatement
A^ = f 2 a cos ùTT Vj + f 2 a sin 9w ?- j^*
Q 2a sin stt y
tang97ry=-
Za cosfîTT^
Les valeurs trouvées pour les quantités A et G étant toujours réelles, on voit que U peut toujours se mettre sous la forme indiquée plus haut : il en est évidemment de même des composantes V et W. Donc le mouvement résultant de la composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires de même période est aussi un mouvement vibratoire dont la période est la même que celle des mouvements composants et dont l'intensité est égale à
c'est-à-dire à
(2a cos 97r !)'+ (2 a sin 97r !)'+ (2 /S cos QTT^)' + f2iSsin 97ryy^+f2ycos97r jj- r+ r2ysin97r^V-
àS. ApplieaUon des formules préeédentes aux phénomènes d'interférenee. — Les formules que nous venons d'établir permettent de résoudre dans tous les cas les problèmes relatifs à l'interférence des rayons lumineux et de calculer l'intensité lumineuse résultant de la rencontre en un même point d'un nombre
174 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
quelconque de rayons dans des conditions données. Nous nous bornerons à traiter le cas le plus simple, qui est en même temps celui qui se trouve le plus souvent réalisé dans les expériences; nous supposerons que deux rayons partis de la même origine et ayant parcouru des chemins différents se rencontrent en un certain point en faisant un angle très-petit, de sorte qua l'intensité près la relation entre les deux mouvements vibratoires apportés en ce point est la même <]ue celle qui existe entre les mouvements de deux molécules situées sur un même rayon à une distance i^^^égale à la différence des chemins parcourus par les rayons interférents.
Les composantes des vitesses des deux mouvements vibratoires interférents auront pour expression, d'après ce que nous avons- vu,
tt=asm97r( ^ — V 11 f i = a sin3w( j — ^y— 1 ^
v = /3sm97r( ?p — s- 1' r = /S siniaTrl ^ j— 1,
fi k\ , , . fi k-hS\ w=y sinsTrl rp— N^ Il tt?=y sinawf^ T~j'
En appliquant les formules démontrées plus haut (&7), il vient
A^=\a cos 97r ^ + a cos law -Y~j + (*''*" ^''^X"'' *' ^^^ ^''^ ^TJ
= a'' + a- + îiaa cosîaTTN-'
et de même
B2=.â2-h/S'2-ha/3/3'oos9ir|,
C^ = y2| y2 j 9yy' cos 9ir "T •
L'intensité du mouvement résultant a donc pour valeur
-H9(aa +/3/S'-hyy')cos9w^- Cette expression se compose de deux parties, dont la première
est indépendante de la différence de marche S. Si les coefficients a, jS, y ont respectivement les mêmes signes que les coefficients a\ /S', y y c'est-à-dire si les rayons interférents n'ont eu à subir que des variations d'intensité et non des changements de signe dans la vitesse du mouvement vibratoire, comme peut en produire la réflexion, l'intensité du mouvement résultant sera maximun ou minimum suivant qu'on aura
COSâTT v = +l
COSQTT 5-== — 1 »
c'est-à-dire suivant que la différence de marche S sera égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation. Si la quantité aa' + /3/3' + yy' a une valeur négative, ces conditions sont renversées.
Considérons spécialement le cas où les vibrations des rayons interfcrents sont rectilignes et dirigées suivant la même droite : soient alors u et ti' les vitesses des deux mouvements vibratoires, U la vitesse du mouvement résultant; on aura
U = A sin 9 w (fR — ^-5— J »
et les quantités A et e seront déterminées par les équations
et
S A^ = a^4- a!^ + ^OLa cos law t
asmQTTY+a smair*^->— a cos 9ir T + a cos stt ^->—
dont la dernière se réduit à
a sinQTTT-
tang 9 w j^ = T •
a + a'cosairy
176 LUMIÈRE NON POLARISEE.
La valeur maximum de l'intensité A^ est (a + *')^? et sa valeur minimum (a — a')^. Par suite, si les deux rayons interférents ont même intensité , le minimum de l'intensité qui résulte de leur superposition est nul et le maximum de cette intensité est égal au quadruple de l'intensité de chacun des rayons.
Si , les vibrations étant toujours rectilignes et parallèles sur les deux rayons, on a
c'est-à-dire si la différence de marche S est égale à un nombre impair de quarts de longueur d'ondulation , il vient
donc, dans ce cas, les intensités des rayons interférents s'ajoutenL Réciproquement, tout mouvement vibratoire rectiligne peut être remplacé par deux mouvements vibratoires de même période, s'effectuant suivant la même direction et présentant une différence do marche égale à un quart de longueur d'ondulation, pourvu que ta somme des intensités de ces mouvements composants soit égale si l'intensité du mouvement donné.
La formule qui donne l'intensité A^ du mouvement vibratoire résultant est exactement la même que celle qui fait connaître la grandeur de la résultante de deux forces appliquées en un même point, proportionnelles à a et à a!, et faisant entre elles un angle égal à
âTT 7 • Il existe donc une analogie remarquable entre la composition
des forces concourantes et celle des mouvements vibratoires rectilignes et parallèles.
Nous avons supposé jusqu'à présent les deux rayons qui se croisent en un même point émanés d'une source unique; examinons maintenant le cas oii ces rayons proviennent de deux sources physiquement distinctes. La différence de phase change alors continuellement,
et, par suite, cosâ^r t passe dans un temps très-court par toutes les
valeurs comprises entre + i et — i ; la valeur moyenne de cette quantité est donc sensiblement nulle, et l'expresssion de l'intensité du
mouvement vibratoire résultant se réduit à la partie constante qui est égale à la somme des intensités des mouvements composants. Nous retombons ainsi sur cette loi, que Téclairement produit en un point par plusieurs sources distinctes est toujours égal à la somme des éclairements que produirait chacune de ces sources prise isolément, et il en résulte une confirmation a posteriori du principe de la proportionnalité de l'intensité lumineuse au carré de la vitesse du mouvement vibratoire , principe qui a servi de base à nos raisonnements et que nous avons admis en nous laissant guider par l'analogie sans en donner, à proprement parler, une démonstration rigoureuse.
BIBLIOGRAPHIE
]8i8. Fbisnbl, Mémoire sur la diffraction de ia lumière, couronné par
r Académie des sciences, Mém, de l' Acad, des menées, \, SSg. — Ann. de ehim, et de phys., (9), XI, â/i6. — Œuvres complètes, t. I, p. s86.
1818. Frbsnbl, Supplément au Mémoire sur les modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée, Œuvres ewnplètes, t. I, p. &88.
Vrrdbt, V. — Optique, I. 1 î«
