R'P = ET - R'E
ET = \/ j,^ + S#^= V?M^^/+ÎKy^
Il reste donc à chercher l'expression de lE' et celle de R'E'; on trouve facilement
si m ncosr IR' = (ir + rE) tangr= ae tangr, ,^, ,„, ^. tangr «ccos/
est indépendante de la différence de marche S. Si les ooefTicients a, /S, y ont respectivement les mêmes signes que les coefficients a\ j8', y\ c'est-à-dire si les rayons interférents n'ont eu h subir que des variations d'intensité et non des changements de signe dans la vitesse du mouvement vibratoire, comme peut en produire la réflexion, l'intensité du mouvement résultant sera maximun ou minimum suivant qu'on aura
ou
COSQW T = +1
cosfïTr 5-== — 1 »
c'est-à-dire suivant que la différence de marche S sera égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation. Si la quantité aa + ^fi' + yy a une valeur négative, ces conditions sont renversées.
Considérons spécialement le cas où les vibrations des rayons inlerférents sont rectilignes et dirigées suivant la même droite : soient alors tt et u' les vitesses des deux mouvemenls vibratoires, U la vitesse du mouvement résultant; on aura
U = A sin aw (^ — ^y^ J »
et les quantités A et e seront déterminées par les équations
et
A^ = «2 + a'2 + aoa' cos qw jt
asm9?r?-+a sm9w•^-^--
tanff 9W •^— = F »
a cos 9W ^ + a cos aw ^-5—
dont la dernière se réduit à
a' smaw jT
tang *ïw j^ = ^ j .
a + a cosaiTy
idâ LUMIÈRE NON POLARISÉE.
sur la seconde face de la lame, les conditions d'interférence ne dc^pendent que de la différence de marche, et il y aura maximum
ou minimum d'intensité en P suivant que S sera égal h fkk-on à (^Â: + i)-, c'est-à-dire suivant qu'on aura
ou
('ik-h\)Xnd W^-^Yè)
nr
On voil par Iji que Tintensilé est la même en tous les points pour lesqiiels 1/ a la même valeur, c'esl-à-dirc • en lous les points également éloignés du point S où le rayon incident rencontre le plan de l'écran; les anneauv ont donc la. forme circulaire, et leur centre est le point S. Les formules précédentes montrent encore que les carrés des diamètres des anneaux sont entre eux comme îa suite des nombres pairs pour les anneaux brillants, comme la suite des nombres impairs pour les anueaux obscurs. Si l'épaisseur e du miroir est négligeable vis-à-vis de la distance d de l'écran au miroir. ' comme cela a lieu dans les conditions oii se fait ordinairement l'expérience, il résulte de la valeur trouvée pour y^ que les diamètres des anneaux sont proportionnels à la distance d et en raison inverse de la racine carrée de l'épaisseur du miroir, que de plus y augmente avec l'indice de réfraction « et aussi avec la longueur d'ondulation X. Les lois expérimentales de Newton sont donc toutes confirmées par la théorie.
Nous avoas supposé dans ce qui précède les rayoAs incidents IKtf'aUèles, et nous n'avons considéré qu'un rayon unique; mais en réalité chacun des rayons qui composent le faisceau incident donne naissance à un système d'anneaux ayant pour centre le point oà ce rayon rencontre l'écran. Pour que ces systèmes d'anneaux se super- ])osent sensiblement et que le phénomène ait quelque netteté, il faut donc que le faisceau incident soit très-étroit, ce qui montre combien est désavantageux l'emidoi d*un miroir plan pour la pyoduclion
mouvement vibratoire résultant se réduit à la partie constante qui est égale à la somme des intensités des mouvements composants. Nous retombons ainsi sur cette loi, que Téclairement produit en un point par plusieurs sources distinctes est toujours égal à la somme des éclairements que produirait chacune de ces sources prise isolément, et il en résulte une confirmation a poêteriari du principe de la proportionnalité de l'intensité lumineuse au carré de la vitesse du mouvement vibratoire , principe qui a servi de base à nos raisonnements et que nous avons admis en nous laissant guider par l'analogie sans en donner, à proprement parier, une démonstration rigoureuse.
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Vesdet, V. — Optique, ï. i a
m LUMIÈRE NON POURISÉK.
l'onr calculer retle différence de marche, posons
rH=r/, HP=y;
appelons e l'épaisseur de la lame, i et r les angles que font avec la normale au miroir les rayons SI et IR, i' et r' les angles que font avec celte même normale les rayons W et VQ, Il vient immédiatemeni
V ' .7 » cosr cosr
rK=irsini = 2<? langrsinî.
Par un calcul lout à fait idenliqueà celui que nous avons fait pour le cas de rincidence normale, on obtient
Y •' \ « cosr J H cosr
En substituant ces valeurs dans l'expression de S, elle devient
cos r V •
et, en négligeant les termes dont la petitesse est d'un ordre sui>érieur à celle du carré des sinus des angles /, /', r et r , ce qui (»st permis puisque ces angles sont très-petits.
n l , 2c\ lui
Il y aura maximum ou minimum en P suivant que ^ sera égal fi un )mnd)re poir ou impair de demi-longueurs d'ondulation, cVst-?i-tlire suivant qu'on aura
^ aA--4--sm^* a n
ou
UIFFUSIOiN. 24,)
li résulte de là que les anneaux diifèrenl peu de cercles qui auraient pour centre le j)oint H, du moins lorsque Tobliquilé des rayons incidents est petite; mais, à mesure que cette obliquité augmente, l'influence des termes que nous avons négligés dans le calcul de-, vient de plus en plus sensible, et les anneaux prennent une forme elliptique.
A une différence de marche nulle entre les deux rayons interférents doit correspondre un maximum d'intensité pour toutes les couleurs, et par suite un anneau blanc. La valeur de y pour les points de cet anneau blanc est donnée par la relation
= -sm'^f.
d'où, en admettant que l'épaisseur c du miroir soit négligeable visà-vis de la distance rf,
y = rfsini;
l'angle i étant très-petit, on a approximativement
y = rftang/=S'H,
ce qui montre que l'anneau blanc passe par le point S" symétrique du point S' par rapport au point H , c'est-à-dire par l'image de l'ouverture que le rayon réfléchi régulièrement et correspondant au rayon incident S'I concourt à former sur l'écran. D'ailleurs, A" pouvant devenir négatif sans que y cesse d'être réel, il y aura des anneaux colorés aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur de l'anneau blanc. Lorsque k est positif, la valeur de y augmente avec X; lorsque k est négalif, y varie en sens contraire de X : donc, à l'extérieur de l'anneau blanc, la largeur des anneaux colorés va en augmentant du violet au rouge, tandis qu'à l'intérieur de cet anneau ce sont les anneaux violets qui sont les plus larges , d'où il résulte que les couleurs se succèdent à peu près dans le même ordre à partir de l'anneau blanc à l'intérieur et à l'extérieur de cet anneau. Le point H, qui forme le centre des anneaux, présente une coloration qui dépend uniquement de l'épaisseur de la lame, de son indice et de l'obliquité des rayons; car eji ce point y est nul, et par suite la différence de
marche S est égale à - sin-/.
iUa LUiMIÈRE NON POLARISÉE.
Chaque rayon incident donne un système d'anneaux, et le phénomène n'est net qu'autant que ces différents systèmes coïncident sensiblement ; dé là résulte la nécessité d'employer un faisceau incident très-étroit lorsque le miroir est plan. 11 y a donc, dans le ras de l'incidence oblique comme dans le cas de l'incidence normale, avantage à employer un miroir concave.
65. AwuÊmmuM eu eue dm ClmulBes. — Agneaux de fli. Foulllet. -* B«wd— calopéMi dm fli. ^uetelet* — Nous pouvons maintenant donner l'explication d'un certain nombre de phénomènes qui se rattachent aux couleurs des lames épaisses.
Le duc de Chaulnes obtenait des anneaux colorés en plaçant devant un miroir métallique concave une lame de verre ou de mica très-mince, dont la surface avait été ternie, soit en y répandant de la poussière, soit en y faisant évaporer du lait étendu d'eau ^'^. Dans ce cas, la surface diffusante est celle du verre ou du mica, la surface réfléchissante celle du métal, et la couche d'air coinprise entre la lame mince et le miroir joue le même rôle que la couche de verre comprise entre les deux surfaces du miroir dans les expériences faites avec un miroir de verre. L'épaisseur de la lame placée devant le miroir étant négligeable, les formules établies plus haut sont applicables aux anneaux observés par le duc de Chaulnes, à condition qu'on y remplace « par l'unité, ce qui explique pourquoi ces anneaux sont moins larges que ceux qu'on obtient avec un miroir de verre.
Dans les expériences de M. Pouillet^^^, le miroir était encore en métal et de forme concave, mais la lame transparente était remplacée par une plaque opaque percée d'un trou de petites dimensions, ou même simplement par une plaque opaque à bords rectilignes. Si cette plaque est disposée de façon que les rayons incidents et les rayons réfléchis régulièrement par le miroir passent très-près des bords de l'ouverture, ou rasent le bord de la plaque si celle-ci n'est pas percée, on aperçoit des anneaux analogues à ceux des pla- (pies épaisses. (îcs anneaux résultent des interférences des rayons
'' Mein. (le Vanv. ArriH. drs *r., l 'y.')."» , p. l 'M], * .1 ti n . de ch vn , rt dp ph^^., (j), I . H 7 .
c|ui ont été diffrdctés par la plaque el ensuite réfléchis régulièrement par le miroir avec ceux qui, au contraire, ont été d'abord réfléchis régulièrement, puis diffractés aux mêmes points que les premiers; deux rayons diffractés au même point sont en effet susceptibles d'interférer au même titre que deux rayons diffusés au même point, car en réalité la diffusion et la diffraction ne constituent qu'un seul et même phénomène.
Enfin M. Quetelet ^^^ a reconnu que les anneaux des plaques épaisses , lorsque l'obliquité des rayons incidents sur le miroir dépasse 10 ou i5 degrés, se transforment en bandes colorées parallèles et sensiblement rectilignes. La plus brillante de ces bandes est blanche et passe par l'image de l'ouverture. Ces apparences sont dues à ce que, le pouvoir diffusif de la première surface du miroir n'étant jamais très-considérable, l'intensité des rayons diffusés n'est sensible qu'autant que ces rayons font un angle très-petit avec le rayon réfléchi régulièrement qui correspond au même rayon incident, d'où il suit que, toutes les fois que les rayons ne tomberont pas sur le miroir sous une incidence très-voisine de l'incidence normale, les anneaux ne seront visibles que dans le voisinage de l'image de l'ouverture par où passe le faisceau incident, et se réduiront à des arcs colorés. Ces arcs se rapprocheront d'autant plus de la forme rectiligne que l'incidence sera plus oblique, puisque le diamètre des anneaux croit en même temps que l'angle d'incidence.
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