VIBRATOIRES LUMINEUX

&5. EKprctMiou de« déplacements et des vitesses dau te mouvement vibratoire. — Nous avons vu précédemment (18) que, dans le mouvement vibratoire qui constitue ]a lumière, les déplacements des molécules vibrantes, estimés suivant une direction quelconque, sont nécessairement représentés en fonction du temps par des séries trigonométriques dont nous avons indiqué la , forme. Nous avons été conduit plus loin {à\)y en nous appuyant sur ce fait qu'un rayon modifié d'une manière permanente par l'interférence ne diffère d'un rayon ordinaire que par l'intensité et la phase, h admettre que, pour une lumière homogène, ces séries se réduisent h leur premier terme ; ce terme peut d'ailleurs contenir un sinus ou un cosinus suivant l'origine qu'on adopte pour le temps. Il importe de remarquer que réduire ainsi les séries qui représentent les déplacements des molécules vibrantes à leur premier terme revient à supposer que les forces qui tendent à ramener ces molécules vers leur position d'équilibre sont des fonctions linéaires des déplacements, et c'est souvent en partant de cette relation entre les forces moléculaires et les déplacements qu'on arrive aux équations du mouvement d'une molécule vibrante. Mais, qu'on parvienne h ces équations par la considération directe des forces moléculaires ou, comme nous l'avons fait, en précisant la nature du mouvement vibratoire au moyen des phénomènes d'interférence, il reste toujours quelque chose d'hypothétique dans la manière dont les formules sont établies, et c'est surtout dans l'accord des conséquences qu'on en tire avec les faits qu'il faut en chercher la véritable démonstration.

Ceci posé, nous allons donner quelques détails sur la manière de représenter les déplacements et les vitesses dans le mouvement vibratoire et démontrer un certain nombre de formules relatives à la composition de plusieurs niouvcments de ce genre, formules dont

232 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Or, en décrivant du point P comme centre , avec PA comme rayon , un arc de cercle qui rencontre en K la droite BP, il vient

SB = SA--|., BP = BK+AP, Bl^= :::;r^^«s(i — r),

cos l V '

SB+nBP-(SA+«AP)= XfHcos(i-r) - i]

= — --T-(ncos«cosr+sin^i— i)

= /t ( w cos r — cos i) = /* ( %/m'^ - - sin- / — cos i)

y/rt" — sin*i-hcosi

Celle expression, qui représente la différence de phase produite pur une aspérité de hauteur^, ne s'annule pour aucune valeur de t ; elle croit avec Tangle d'incidence i, et sa valeur minimum, qui est égale à A(w — 1 ), correspond à l'incidence normale.

Ainsi, dans le cas de la réfraction, il n'est pas toujours possible, comme cela a lieu pour la réflexion, de faire disparaître l'influence des aspérités de la surface de séparation par une inclinaison convenable des rayons incidents, et, lorsque la quantité /i(n — i) n'est pas une très*petite fraction de la longueur d'oiidulation'dans le premier milieu, la réfraction ne peut s'opérer d'une manière régulière sous aucune incidence.

63. C^ouleura des lame» épalMes* — Descrlptioii et lois tfe« pliénoinénea. — Les couleurs dites des lames épaisses provenant, comme nous le verrons plus loin, des interférences des rayons diffusés par la première face de la lame, leur étude se rattache au sujet que nous venons de traiter.

La découverte des anneaux colorés des lames épaisses est duo à Newton ^^^ qui les observa dans les circonslaoccs que nous allons décrire. Un trou pratiqué dans le volet d'une chambre obscure

(0 0|p(^ii«,liv.n,parl. IV.

laissait pénétrer dans cette chambre un faisceau de rayons solaires qui étaient reçus sur un miroir concave en verre étamé ; les rayons, avant d'arriver au miroir, rencontraient un carton blanc percé d'une ouverture très*petite, laquelle coïncidait aussi exactement que possible avec le centre du miroir. Ce carton arrêtait la plus grande, partie du faisceau lumineux et ne laissait passer qu'un cône de rayons divergents qui allaient tomber normalement sur le miroir. Les rayons réfléchis régulièrement par le miroir revenaient passer par l'ouverture du carton , et autour de cette ouverture on apercevait une série d'anneaux, colorés dans la lumière blanche, alternativement obscurs et brillants dans la lumière homogène. Newton, en mesurant les diamètres de ces anneaux , trouva qu'ils étaient soumis aux lois suivantes :

i" Ces diamètres varient comme ceux des anneaux transmis formes par une lame mince, c'est-àr-dire que les carrés des diamètres des anneaux brillants sont proportionnels à la suite des^ nombres pairs 0, a, â, 6,..., et les carrés des diamètres des anneaux obscurs à la suite des nombres impairs i, 3, 5, 7,

9° Si l'on produit successivement les anneaux des plaques épaisses avec de la lumière homogène de différentes couleurs, ils vont en s'élargissant à mesure que la réfrangibilité de la lumière diminue, et les rapports entre les diamètres que présente un même anneau, lorsqu'on fait varier la couleur, sont les mêmes que pour les anneaux des lames minces.

3** Les diamètres des anneaux des plaques épaisses sont sensiblement proportionnels au rayon de courbure du miroir, c'est-à-dire à la distance du miroir à l'ouverture.

&^ Ces diamètres sont en raison inversé de la racine carrée de l'épaisseur du miroir.

5^ Les anneaux sont d'autant plus larges que l'indice de réfraction du verre qui forme le noiroir est plus considérable.

Newton reconnut en outre que, si on enlève l'étamage de la face postérieure du miroir, les anneaux deviennent très-peu intenses , et qu'ils disparaissent complètement avec un miroir métallique, ce qui prouve que les deux faces du miroir de verre concourent à la production des anneaux.

234 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Les apparences que présente le phénomène lorsque les rayons incidents cessent de tomber normalement sur le miroir ont été également décrites par Newton. Si on incline un peu le miroir sur la direction des rayons incidents, et si on place l'écran de façon qu'il soit rigoureusement perpendiculaire à l'axe du miroir, les rayons réfléchis régulièrement iront former sur l'écran une image de l'ouverture qui occupera une position symétrique de celle de l'ouverture par rapport au point ou l'axe du miroir rencontre l'écran. On voit alors un anneau blanc qui passe par l'ouverture et par son image : cet anneau est en réalité de forme elliptique, mais, lorsque l'inclinaison du miroir sur les rayons incidents est peu considérable, il est sensiblement circulaire ; les faisceaux lumineux incident et réfléchi forment deux taches lumineuses en deux points diamétralement opposés de cet anneau. A l'intérieur et à l'extérieur de l'anneau blanc se montrent des anneaux colorés où les teintes se succèdent dans le même ordre à partir de l'anneau blanc. A mesure que l'on augmente l'inclinaison du miroir, les anneaux s'élargissent , et en même temps ils présentent un maximum d'éclairement de plus en plus marqué dans le voisinage du point où se forme l'image de l'ouverture. Dès que l'inclinaison du miroir atteint i o ou 1 5 degrés, les anneaux ne sont plus visibles que dans leur partie la plus éclairée; on n'aperçoit plus alors que des bandes colorées qui se rapprochent d'autant plus de la forme rectiligne que le miroir est plus incliné.

Enfin Newton constata qu'on peut voir directement les anneaux en supprimant le carton et en plaçant l'œil è l'endroit où les anneaux viennent se peindre le plus distinctement sur l'écran.

Frappé de l'analogie qui existe entre les couleurs des plaques épaisses et celles des lames minces , Newton s'efforça de les rattacher à la même cause et d'expliquer la formation des premières par la théorie des accès. Suivant lui, les anneaux colorés des plaques épaisses sont dus à ce que les rayons diffusés par la êeconde face de la plaque sont réfléchis ou transmis par la première suivant qu'ils se trouvent, au moment où ils rencontrent cette première face, dans un accès de facile réflexion ou de facile transmission. Cette explication est contredite par les faits, car la surface étamée du miroir

DIFFUSION. â35

dont se servait Newton ne pouvait diffuser la lumière d une façon sensible, et, de plus, de nombreuses expériences ont montré que les anneaux présentent d'autant plus d'éclat que là première face du miroir a un pouvoir diffusif plus grand et la seconde face un pouvoir réflecteur plus considérable, et que, par conséquent, c'est aux rayons diffusés à la première face qu'il faut attribuer le phénomène. Newton 4ui-méme avait vu les anneaux devenir moins intenses lorsque la seconde face du miroir n'était plus étamée. Quant à l'influence du pouvoir diffusif de la première face, la découverte en est due au duc de Ghaulnes^'), qui se servait, pour produire les anneaux, d'un miroir métallique concave devant lequel ii plaçait une lame de verre ou de mica. Ayant par hasard soufflé sur cette lame, il remarqua que les anneaux devenaient beaucoup plus distincts. Pour augmenter l'éclat des anneaux d'une manière permanente, il étendit sur la face antérieure de la lame une couche très-mince de lait additionné d'une grande quantité d'eau ; par l'évaporation , il se dépose sur la lame des globules de caséine de grosseurs différentes, qui en ternissent la surface et lui font acquérir un pouvoir diffusif considérable.

Biot ^^^ et M. Pouillet ^^\ qui ont répété toutes les expériences de Newton sur les couleurs des lames épaisses et vérifié l'exactitude des lois qu'il avait assignées à ces phénomènes, ont constaté également l'influence du pouvoir diffusif de la première face en se servant de miroirs en verre. Lorsque la surface antérieure du miroir est bien polie, les anneaux sont à peine visibles; ils deviennent au contraire très-nets lorsque cette surface est simplement doucie, ou lorsqu'on la ternit, soit au moyen de l'haleine, soit en la couvrant d'une poussière fine, soit enfin en employant le procédé du duc de Ghaulnes; mais, quand on répand de la poussière sur la surface du miroir, il faut avoir soin que cette poussière ne soit pas formée, comme celle de lycopode par exemple, de grains réguliers et égaux, car, s'il en était ainsi , des phénomènes de diffraction viendraient masquer en partie ceux qu'on veut observer.

^') Mém. de Vanc, Acad. de$ te, 1 755 , p. 1 36. ^*) Traité de Physique , t. IV, p. 1Â9. ^*^ Ann, de chim, et de phyt,, (a ), T, 87.

236 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Newton croyait qu*il fallait nécessairement se servir d'un miroir concave pour apercevoir les anneaux des plaques épaisses ; mais les expériences de Biot et de M. Pouillet ont montré que ces anneaux peuvent aussi se produire avec des miroirs convexes, et même avec des lames de verre à faces parallèles : il faut seulement s'arranger de façon que les rayons réfléchis régulièrement, dont l'intensité est bien supérieure à celle des rayons diffusés, ne se superposent pas à ceux-ci, ce qui ferait disparaître les anneaux.

Lorsque les rayons qui tombent sur le miroir sont divergents, comme cela avait lieu dans les expériences de Newton, si Ton substitue au miroir concave un miroir plan, les rayons réfléchis régulièrement deviennent divergents et vont rencontrer l'écran dans la région où devraient se former les anneaux : il n'y a donc rien d'étonnant k ce que, dans de telles circonstances, on n'observe pas d'anneaux. Mais on pourra obtenir des anneaux avec un miroir plan, à condition que les rayons incidents soient parallèles, ce qu'on, réalisera facilement en faisant passer ces rayons i travers deux ouvertures égales et placées à une grande distance l'une de l'autre.

Les anneaux que donne un miroir plan sont toujours beaucoup moins brillants que ceux qu'on observe avec un miroir concave : lorsqu'on se sert d'un miroir plan , il faut en effet que le faisceau incident soit très-étroit, sans quoi le phénomène devient tout à fait confus, et on a par suite un éclairement beaucoup moins grand qu'avec le faisceau conique divergent dont un miroir concave permet l'emploi. Ënfm, si le miroir est convexe, le faisceau incident doit être assez convergent pour que les rayons réfléchis régulièrement forment également un faisceau convergent.

6&. Théorie des ••ulcum des Iubémi épmàmê^m. — Nous venons de voir en quoi l'explication donnée par Newton des couleurs des lames épaisses est défectueuse et quelles sont les raisons qui doivent faire chercher l'origine de ces couleurs dans la diffusion exercée par la première face de la lame. Young est le premier qui ait essayé de rendre compte des phénomènes présentés par les lames épaisses an moyen de la théorie des ondulations et de les déduire

DIFFUSION. i37

du principe des interférences ^^^ ; mais il s'est contenté d'un simplç aperçu. J. Herschei^^^ est entré plus avant dans Texplication des anneaux des plaques épaisses et a appliqué le calcul au cas de l'incidence normale : cette théorie a été complétée en plusieurs points et étendue au cas de l'incidence oblique par M. Stokes^'^ et par M. Schâfli^^); nous allons l'exposer en suivant la marche indiquée par ces derniers auteurs.

Considérons un faisceau de rayons tombant sur une lame trans* parente dont la première face est douée d'un pouvoir diffusif assez considérable, tandis que la seconde présente un poli suffisant pour ne pas diffuser sensiblement la lumière. Une première partie de la lumière incidente est réfléchie régulièrement par la face antérieure de la lame : l'expérience doit être disposée de façon que ces rayons réfléchis ne troublent pas le phénomène; nous n'avons donc pas si nous en occuper. Une autre partie de la lumière incidente est diffusée par réflexion sur cette même face : nous la désignerons par R'; elle contribue à l'éclairement de la région de l'écran où l'on observe les anneaux colorés. Une troisième partie p des rayons incidents se réfracte régulièrement, et enGn une dernière partie p' est diffusée par réfraction. Les rayons p et p' rencontrent la face postérieure de la lame et y sont réfléchis régulièrement; ils viennent tomber alors sur la première face de la lame, où ils sont en partie diffusés et en partie réfractés régulièrement. Mais, une double diffusion affaiblissant considérablement la lumière, on peut se borner à con* sidérer ceux des rayons p qui sont réfractés régulièrement à la première face : nous les désignerons par p". Parmi les rayons p, ceux qui en revenant à la première face sont diffusés par réfraction sur cette face ont une intensité comparable à celle des rayons ^^ : nous les désignerons par p'''. 11 existe donc en définitive trois systèmes de rayons diffusés :

(» On the Theory of Light and Colours (Pài7. 7V., i8oi, p. /ii. — Ui»ce\Ji, ^ork», 1. 1, p. i/îo).

(*) Traité de la lumière (traduction de Verhulstet Quetelel), t. I, p. A/io.

t*^ Cambr. TranM,, IX, 167. — Phil, hfag., (i^), II, A 19.

t*J Grûnert't Arehiven, XIIÏ, 939. — Mittheilungen der Naturfortcher-GetêlUcha/t tn Bem, i8&8,p. 177.

238 LUMIÈRE NON POLARISÉE.*

Les rayons R' diffusés par réflexion à la première face de la lame ;

s"* Les rayons p'' diffusés par réfraction à la première face, réfléchis régulièrement par la seconde et réfractés régulièrement en retombant sur la première;

3® Les rayons p'* réfractés régulièrement à la première face , réfléchis régulièrement par la seconde et enfin diffusés par réfraction en émergeant de la lame.

' Les rayons R' ne peuvent interférer avec les autres, car la différence de marche entre ces rayons R' et les rayons p" ou ^ est de Tordre du double de l'épaisseur de la lame ; nous n'avons donc à nous occuper que des rayons p" et f. Malgré cette première simplification , le phénomène semble encore devoir être très-compliqué : chaque point de l'écran reçoit en effet une infinité de rayons diffusés appartenant aux systèmes p" et p"' ; car, si on prend sur l'écran un point quelconque, on voit qu'à chaque rayon incident correspond un couple de rayons diffusés aboutissant en ce point et faisant partie, l'un du système p'^, l'autre du système p"'. Cette difficulté disparaît si l'on a égard à un principe posé par M. Stolces et qui consiste en ce que à^ux rayonê diffuiés ne peuvent interférer quà eon-dition d'avoir été diffusés au même point. La raison théorique de ce principe est facile à comprendre : deux rayons qui ont été diffusés en deux points différents présentent en efiet une différence de phase qu'il est impossible d'assigner à l'avance et qui peut avoir une valeur complètement différente pour deux rayons diffusés en des points très-voisins de ceux où ont été diffusés les deux premiers ; de là doit résulter, comme nous l'avons déjà vu (28), un éclairement sensiblement uniforme et la disparition de tout phénomène d'interférence. Il n'en est plus de même lorsque deux rayons ont été diffusés en un même point et qu'ils ont des directions peu différentes; ces rayons présentent alors une différence de phase qu'on peut calculer et qui a à peu près la même valeur pour des couples de rayons diflPusés en des points très-voisins les uns des autres. Le principe de M. Stokes est du reste confirmé par plusieurs faits faciles à constater. Si, par exemple, on produit des franges d'interférence au moyen do deux fentes, comme le faisait Yonng, et qu'on vienne

Si on idontifio, on effet, rotte dernière valeur de U avec relie qui a éié trouvée plus haut, on obtient les deux conditions

A COS 3W y ^ 2a COS ATT J-,

A • G -, . g ^sinf^w y = 2asin9w-r^

le signe 2 désignant une somme de quantités analogues; de là on tire immédiatement

A^ - (2 a COS QTT !)"+ (2 a sin 9^ J)%

Q 2a sin oir y 2ta cosf)?r^

Les valeurs trouvées pour les quantités A et G étant toujours réelles, on voit que U peut toujoui*s se mettre sous la forme indiquée plus haut : il en est évidemment de même des composantes V et W. Donc le mouvement résultant de la composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires de même période est aussi un mouvement vibratoire dont la période est la même que celle des mouve* ments composants et dont l'intensité est égale à

c'est-à-dire à

(2a cos 37r |)^+ (2 a sin 97r I) V (2 iS cos 9iry)^

f 2j8 sin air t)^+ f 2ycos aw y j^+ f 2y sin ^'r j- j ^

A 8. AppliMitl^ii de» formules pwéeéémntem mis pliéii»- ■iéBes d'Anterféreiiee. — Les formules que nous venons d'établir permettent de résoudre dans tous les cas les problèmes relatifs à l'interférence des rayons lumineux et de calculer l'intensité lumineuse résultant de la rencontre en un même point d'un nombre

ikO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

vant RR', et rëfracté régulièrement en R' de façon à émerger dans la direction R'P.

La différence des temps employés par ces deux rayons pour atteindre le point P est égale à

IP , ail' /R'P , aIR\

V et v' désignant les vitesses de propagation de la lumière dans Tair et dans la substance de la lame. Par suite, il y aura maximum ou minimum d'intensité en P suivant que la quantité

IP + 2nir-(RT + 9«IR)

sera égale à ak-ouk (âA+i) -i n étant l'indice de réfraction de la

lame par rapport à l'air, X la longueur d'ondulation dans l'air, k un nombre entier quelconque; cette quantité peut être regardée comme la différence de marche des deux rayons rapportée à l'air : nous la désignerons par S.

Pour calculer cette différence de marche, posons

ir = e, SP=-y, SI = J,

et appelons i l'angle formé par RT avec la normale au miroir, r Tangle formé par RR' avec cette même normale; nous aurons immédiatement

iP = Y/d^+yi, IR =

cosr

Pour trouver la valeur de R'P, prolongeons les droites R'P et RR'

jusqu'à leur rencontre en E' et en E avec la droite SI ; il viendra

alors