PREMIERE PARTIE

ACTION D'UISB 0.\UK SPIIKRIQUE CONCAVE SLR LES POINTS D'UN PLAN PASSAIT PAF» SON CENTRE. — PHÉNOMÈNES DE DIFFRACTION OBSERVES AU MOYEN DE LENTILLES CON- VEXES OU \ UNE GRANDE DISTANCE DES CORPS DIFFRINGBNTS.

66. Historique de la diffruetion. — Les phénoiiièncs de diffraction, c'est-à-dire ceux qui résultent du passage de la hiniière près des bords d'un corps opaque, ont été observés pour la première fois vers le milieu du wii'' siècle par Grimaldi. (je physicien, auini fait pénétrer un faisceau de rayons solaires dans une cliaml>re obscure par une ouverture très-petite , reconnut que les ombres des corps opaques interposés sur le trajet de ces rayons étaient plus larges qu'elles ne devaient l'êlre d'après la loi de la propagation rectiligne de la lumière, et que , ces ombres étaient bordées de franges colorées, ordinairement au nombre de trois ^'^

Newton répéta et varia les expériences de Grimaldi '-^ La lumière étant admise dans la chambre obscure par une ouverture très-petite, il vit l'ombre d'un cheveu élargie et bordée de trois franges colorées ; dans ces franges, les couleurs se succédaient à peu près dans le même ordre que dans les anneaux colorés des plaques minces, c'est-à-dire que les franges étaient violettes dans la partie la plus rapprochée de l'ombre et rouges dans la partie la plus éloignée. Newton observa les mêmes apparences en enq)loyant comme écran opaque des corps de nature très-diverse; mais il ne parle que des franges extérieures à l'ombre et ne parait pas avoir aperçu les franges brillantes qui se montrent à l'intérieur de l'ombre d'un corps très-étroit. Dans le but d'étudier les phénomènes qui se manifestent lorsque la lumière passe entre deux corps assez rapprochés pour que les franges qui bordent les ombres de ces corps empiètent les unes

"^ Htysico-Matheni'» fir lnwiiin, culnyibus pI iride , Boiionia*, iGO."). '«^ 0;;«ic«,liv. III,

250 LUMIÈRE ^0^ POLARISÉE.

sur les autres, il fit tomber le faisceau lumineux sur deux couteaux dont les tranchants étaient placés parallèlement; il vit, lorsque la distance entre ces tranchants était suffisamment petite, une frange noire se dessiner au milieu de la projection de la fente lumineuse et la largeur de cette frange augmenter à mesure que la fente devenait plus étroite. Newton constata encore l'élargissement que subissent les franges de diffraction lorsqu'on les observe à une distance de plus en plus grande du corps opaque. Ayant remplacé la lumière blanche par de la lumière homogène, il s'assura que la largeur des franges était d'autant plus grande que la lumière était moins réfrangiblc, ce qui permet de rendre compte de l'ordre dans lequel se succèdent les couleurs lorsqu'on opère avec la lumière blanche. 11 montra enfin qu'il n'est point nécessaire pour la production des franges de diffraction que le corps opaque se trouve dans l'air; car, ayant place un cheveu entre deux plaques de verre et rempli d'eau l'espace compris entre ces deux plaques, il vit encore l'ombre de ce cheveu bordée de bandes irisées.

Newton s'est peu étendu sur l'explication théorique des phénomènes de diffraction ^^^ : il les attribue à des forces émanant de la surface des corps près desquels passent les rayons diffractés, forces qui feraient dévier les molécules lumineuses de leur trajectoire rectiligne. Ces forces, suivant la distance de la molécule lumineuse au corps opaque, seraient tantôt attractives, tantôt répulsives, de façon (|ue la trajectoire pourrait être infléchie, soit vers l'extérieur, soit vers l'intérieur de l'ombre ; de ces changements de direction résulteraient, sur l'écran où vient se peindre l'ombre, une accumulation des rayons en certains points et un manque complet de lumière en d'autres points, ce qui donnera lieu à des franges qui seront colorées dans la lumière blanche , si l'on suppose que les rayons des différentes couleurs soient inégalement déviés.

Parmi les observateurs qui s'occupèrent après Newton des phénomènes de diffraction , il faut surtout citer, dans la première moitié du xviii* siècle, deux astronomes, Delisle et Maraldi. Delisle reconnut le |>remicr l'existence d'un point brillant au centre de l'ombre d'un

' Opticx, \i\. fil, c|uui,l, 1, y, 3, i.

écran opaque de forme circulaire et de très-petite dimension ^'^; cette expérience fut complètement oubliée par la suite, au point que Poisson crut réfuter la théorie de Fresnel en montrant que, d'après * cette théorie, le centre de Tombre d'un écran circulaire très-petit doit être éclairé comme si l'écran n'existait pas. Quant à Maraldi , il a décrit pour la première fois les franges brillantes qui apparaissent à l'intérieur de l'ombre d'un corps trèsnilroit ^^^-

Mairan ^^\ peu de temps après la publication de l'Optique de Newton, proposa, pour expliquer les phénomènes de diffraction, y. une hypothèse qui fut plus tard reprise et développée parDutour^^^ :x Cette hy})othèse consiste à admettre que, dans le voisinage imraé* diat de la surface des corps solides, l'air se trouve dans un état j>articulier de condensation, et qu'en passant à travers les couches d'air ainsi modifiées les rayons se réfractent de façon à être déviés de leur direction. En combinant cette théorie avec celle de Newton, on peut expliquer l'existence simultanée des franges intérieures et des franges extérieures sans être obligé d'admettre que les surfaces des corps solides exercent sur les molécules lumineuses, tantAt une attraction, tantôt une répulsion, suivant la distance : il suffit de supposer que les forces émanées de la surface des corps sont toujours répulsives et donnent naissance aux franges extérieures, tandis que les franges intérieures seraient dues a la condensation de l'air dans le voisinage de cette surface.

Young est le premier qui ait essayé de rendre compte des phénomènes de diffraction dans la théorie des ondulations en les rattachant au principe des interférences. Il attribua les franges extérieures aux interférences des rayons directs avec les rayons réfléchis sur les bords du corps opaque T'en remarquant que, l'incidence étant trèsprès d'être rasante, l'intensité de ces rayons réfléchis doit être comparable à celle des rayons directs. Quant aux franges intérieures, il les expliqua par l'interférence des rayons infléchis par les deux bords de Fécran, sans se prononcer d^une manière bien nette sur la cause

t') Mém, deVanc. Acad, (les se, 1715, p. 166. :> ^^ "'^r -^^^ ^ '^ ^ )W i ^^ ^*^ Mém. de Vatic. Acatl. dessv.^ 1733, p. 111.^ '^' Mém. dnVnnr. Acnd. des se. ^ 17^8, p. b'^.

^^'> Mém.densav.tbnnff.y V, 6Hr»; M, nj, H6. —hmn. de phjs. d€Rozter,\, lao, i3o; VI, i35, 'nj.

es,. '^

352 LUMIERE .\0i\ POLARISEE.

de celle iiillexion^^^. Fresnel adopta dans ses premiers travaux sur là difTraction les idées de Young, mais il ne larda pas à y renoncer après en avoir reconnu l'inexactitude.

Trois opinions différentes avaient donc, été émises avant Fresnel sur la cause de la diffraction; ces opinions, comme Fresnel le prouva par de nombreuses expériences, étaient également erronées. Si les phénomènes de diffraction étaient dus à une condensation de l'air dans le voisinage des surfaces des corps opaques ou à des forces répulsives émanées de ces surfaces , la position et l'intensité des franges de diffraction dépendraient de la nature et de l'état physique des écrans qui limitent l'ouverture par où passe la lumière; si la diffraction provenait d'une réflexion des rayons sur les bords des écrans, loule variation dans le degré de poli de ces bords entraînerait une modification , sinon dans la position , du inorns dans l'intensité des franges. Il suffisait donc , pour renverser les trois hypothèses que nous venons d'énoncer, de montrer ([ue l'aspect des franges de diffraction ne dépend nullement de la nature des corps diffringents : c'est ce que fit Fresnel de la manière la plus concluante. Il remarqua d'abord que le tranchant et le dos d'un rasoir donnent des franges de même largeur et de même intensité; dans une seconde expérience, après avoir observé les franges produites par un système formé de deux cylindres de cuivre d'un centimètre de diamètre, placés très-près l'un de l'autre, il substitua à ce système une lame de verre recouverte de noir de fumée, sauf une bande dont la largeur était précisément égale à la distance des deux cylindres de cuivre, et ne put constater aucun changement, ni dans la largeur des franges, qu'il mesura avec soin dans les deux cas,, ni dans leur éclat ^'^^^ Après t{ue Fresnel eut donné sa théorie de la diffraction, de Haldat entreprit une série d'expériences sur le même sujet et arriva à des conclusions identiques à celles de Fresnel ; il se servit de fils métalliques pour produire les franges de diffraction, et vit ces franges conserver le même aspect pendant qu'il soumettait les fils aux actions

^'^ Lpclureë nn yatural Philusophy, ^. '6C)^^*^

^'^ Siippleiiiciil au deuxième Mémoire sur lu (lilFracliuu {(iLurrcf atmplèirsj I. I, p. iii8). — Mëiiiuiie sur la diiïracliun couronné par r.Vcailémie de> sii»»nrcj> (Œuvres complrtea, t. 1, p. a8u).

DIFFRACTION. ii5;i

les plus diverses, telles que passage d'nn courant (^lertricpie, aimantation, élévation de température, etcJ'^.

Outre Tobjection générale que nous venons de faire connaître et qui s'applique également aux trois hypothèses que Fresnel avait h combattre, on peut en élever de particulières contre chacune de ces hypothèses. Dans celle de Newton, on ne voit pas comment la largeur des franges peut varier avec la distance du corps diffringent à la source lumineuse, caria force répulsive exercée par la surface du corps opaque sur une molécule lumineuse ne pourrait dépendre que de la distance dé cette molécule à la surface. L'hypothèse des atmosphères condensées autour des cor|)s solides est entièrenient contredile ])ar les expériences de Majpius, qui ont montré que les phénomènes de diffraction peuvent se produire dans le vide^^^. Quant à la théorie de Young, elle peut être réfutée par des considérations tirées de mesures précises de la largeur des franges, prises à des distances différentes du corps diffringent. Soient en effet S le point lumineux, P un point situé dans un plan mené j)ar le point S perpendiculairement au bord de l'écran diffringent, A le point oii ce plan rencontre le bord de l'écran : si les franges résultaient de l'interférence ilas rayons directs avec les rayons réfléchis, il y aurait, en tenant compte de la perte d'une demi-longueur d'ondulation par le fait de la réflexion, maximum ou minimum en P, suivant que la différence des longueurs SA+AP et SP serait égale à un nombre impair ou |)air de demi-longueurs d'ondulations, et, par suite, le point où une frajîge d'un ordre déterminé rencontre le plan mené par le point S perpendicidairement au bord de l'écran devrait se déplacer, lorsqu'on observe le phénomène à des distances difl'érentes de l'écran, suivant une branche d'hyperbole ayant pour foyers les points S et A. Or, l'expérience prouve que ce point se déplace bien suivant une trajectoire hyperbolique, mais que les points S et A sont les sommets et non les foyers de cette hyperbole.

La véritable théorie de la diffraction, que nous avons fait connaître d'une manière sommaire (55) et que nous allons maintenant exposer dans tous sesdétailîî, a été fondée |)ar Fresnel et inaugure

'' inn. (h rhiiH. pI df pkif»»^ (fl) , XLI , /ïfî 'i. ^•' /*«i'^. /lrt«., ÎAWI, 'i(>8. — UptI. Monatxlfpr., iS'i7, p. 79.

^54 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

brillaniinent la .^ërie de ses travaux sur l'optique. Les méthodes de calcul ont été plus récemment perfectionnées et simplifiées par plusieurs mathématiciens, parmi lesquels il faut citer surtout Knochenhauer ^^\ Cauchy ^^^ et M. Gilbert ^'^ ; des phénomènes beaucoup plus complexes que ceux qu'a étudiés Fresnel ont été observés et mesurés par un grand- nombre de physiciens, au premier rang desquels se placent Frauenhofer ^^^ et Schwerd ^^^ pour leurs travaux sur les réseaux. Maisi on peut le dire, rien d'essentiel n'a été ajouté aux principes posés par Fresnel; dans tous les cas, l'accord entre l'expérience et la théorie s'est maintenu jusque dans les plus minutieux détails, et on a pu affirmer sans exagération que c( la théorie des ondulations prédit les pl)énomènes de diffraction aussi exactement que la théorie de la gravitation prédit les mouvements des corps célestes ^^^K n

Nous diviserons ici, en nous attachant uniquement à l'ordre lojji(|ue, rex|)osé de la théorie des phénomènes de diffraction en trois parties.

Dans la première, nous nous occuperons des effets produits par une onde sphérique concave sur les pl^ihts d'un plan passant par son centre : h ce cas se rattachent les phénomènes qu'on observe sur un écran placé à une très-grande distance du corps diffringenL

Dans la seconde partie, nous supposerons que l'onde est sphérique et a pour centre le point luminetix , et nous rechercherons les effets produits par la limitation de cette onde sur l'éclairement des points extérieurs à l'onde et situés à une distance finie du corps diffringenl : c'est dans cette catégorie que rentrent les phénomènes plus spécialement observés par Fresnel; nous ne les étudierons qu'en second lieu, parce que leur théorie est moins simple (|ue celle des phénomènes qui font l'objet de la première |>arlie.

Enfin la troisième partie sera consacrée à l'examen de l'action

(') Die Undulationstheorîp de» LichtM^ Berlin, i^^p. — P»gg' '^nn-i WA, io3 ; XLIII, «86.

i*) C /ï.. Il , /iSS ; XV, 5.SA , 573, 7 M.

^^^ Mêm,eoHronn,(lf l*Acad. (h 0r#f.r., XXXI, 1.

'*) Gilbert*» Ammlmiy LXXfV, 387. — Srhumachm'i Anirotwm, AhhamU., U.

■^^ Die lieugnngtfi*nchpiHtingeiè ^ Manlieiin, r835.

'"' ScHWRRD, Die li^UffunfjrMeritrhei»tmffeu f p. x.

qui partagent avec ces zones la propriété d'envoyer au point éclairé des vitesses qui sont alternativement de signes contraires. Les rayons des cercles voisins du pôle sont égaux à

ce qui donne pour les surfaces de ces cercles

Les surfaces des anneaux voisins du pôle sont donc très-approximativement égales entre elles, et comme, dans le voisinage du pôle, la distance au point éclairé varie très-lentement, le quotient de la surface de chacun de ces anneaux par sa dislance au point éclairé, quotient qui sert de mc'sure, en négligeant l'influence de l'obliquité, à la vitesse envoyée par chaque anneau , a une valeur absolue sensiblement constante et égale à vX.

Considérons maintenant un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'autres anneaux. En désignant par R la distance de la circonférence qui limite intérieurement cet anneau au point éclairé, cette circonférence aura pour expression ù7r\/tt^ — b^. En multipliant cette circonférence par sa distance normale à la circonférence

extérieure , distance qui , d'après la valeur trouvée précédemment pour

X R un arc élémentaire éloigné du pôle, est égale à - —===» on obtiendra irXR pour la surface de l'anneau; le quotient de la surface de cet anneau par sa distance au point éclairé est encore vX.

Donc, si la vitesse ne dépendait pas de l'obliquité par rapport à l'onde de la direction suivant laquelle le mouvement est envoyé en P, les vitesses envoyées par deux anneaux consécutifs au point P seraient égales et de signes contraires; mais Tinfluence de cette obliquité, presque nulle dans le voisinage du pôle, devient de plus en plus sensible à mesure qu'on s'en éloigne et doit, d'après l'hypothèse que nous avons adoptée sur la constitution des ondes élémentaires, rendre négligeable la vitesse provenant d'un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires. Si donc on désigne par m, m\ m",... les vitesses envoyées au point éclairé

i>5n LIIVUEKK NON POLAHISEK.

Le roeHicient (1 déppnd Ao la distance de IVlémi^nt considiW au \}om\ M, et aussi de l'inclinaison de la droite PM par rapport à la surface de Tonde; mais, si celte onde est limit(*e par un diaj)lira{jme dont l'ouverture soit très-petite, et si on se borne à chercher l'éclairenient des points du plan xy qui sont voisins de l'origine, ce coeflffcient peut être considéré comme sensiblement constant : aussi le supprimerons-nous en général dans ce qui va suivre, sauf à le rétablir quand les conditions que nous venons d'indiquer ne seront pas remplies.

r^a vitesse de vibration envoyée au point M par la partie active de l'onde pourra être représentée par

v= 1 I sinaTT f 7p — ^ jrf'-^o-;

l'inlégralion devra s'étendre à toute la partie de l'onde dont l'action n'est pas arrêtée par la présence du diaphragme, et par suite les limites entre lesquelles doivent être prises les intégrales correspondent au contour de l'ouverture de ce diaphragme.

En désignant par R le rayon de l'onde sphérique, on a

p^^{x-^Y + [y--vY + z\ (I ou

Si la partie active de l'onde n'a qu'une petite étendue et si le point M t»st lrès-\oisin du point 0, les (juantités .r et y sont très-petites par rapport h R. et les termes du second degré en Ç et en tt sont négligeables; on n donc alors, avec une approximation sudisante,

p = R — — n~~ ^'^ ^^'^ ~ (Ixdy.

l\\] substituant ces \aleurs dans rex])n»ssion de r, il vient

Of t R , .r?-4-v»;\ . ,

sin -^TT (^f - yjj I cosor ^^^ flrHy

( ' '^ ce ' '?-HV>7 , /

1 cosMTT l r ~ ) ) 1 I ^^iu»>7r ..-> - il.nty.

Si Ton pose

t)lFKRACÏiON. ûbl

A = I I cos 9w |.y iixdy^ B== 1 1 sin^TT — |.^^ dxdy,

il vient

»^= A sin(p+Bcos^.

pxprossion qui poiil Hre mise sous la forme

r=-Gsin((p+e), on poscint

6 = arc lang -r ^

f;=yA2+B2.

L'intensité lumineuse en M a pour mesure le carré du coefficient C (le la vitesse du mouvement vibratoire : en désignant cette intensité par P, on a donc définitivement

M I cos57r'---j|^-^f/.rrfiyj +Mlsin*i^ — WT^^^^^y) '

Des deux intégrations indiquées dans chaque terme du second membre, il y en a toujours une qui peut s'effectuer immédiatement, de sorte que, dans le cas dont nous nous occupons, l'intensité du mouvement vibratoire peut s'exprimer au moyen de deux intégrales simples : c'est là la raison qui nous a fait étudier ce cas en premier lieu , car dans le cas général l'expression de l'intensité contient deux intégrales doubles qui ne peuvent pas toujours se ramener à des intégrales simples.

68.Comlltlott« expérlmeiitale» Amum Icsquelle» peuwent être obaerwéB des phénomène» de dlffraetlon Ideneiqiies à eeux que produit une onde spliérique eoneawe. — Avant de discuter la valeur que nous venons de trouver pour l'intensité du

VKP.nKT, V. — Opiiqiio, I. 17

â58 LUMIERE NON POLAKISEE.

mouvement vibratoire envoyé par une onde sphérique concave en un point d'un plan passant par son centre et d'attribuer à l'ouverture qui limite cette onde une forme particulière, il est utile de Faire connaître les dispositions expérimentales à l'aide desquelles on peut réaliser les conditions que la théorie précédente suppose remplies et de montrer que cette théorie comporte une généralité beaucoup plus grande qu'on ne serait porté à le croire au premier abord.

Le moyen le plus simple qui se présente pour étudier les effets d'une onde sphérique concave consiste à faire tomber les rayons émanés d'un point lumineux sur une lentille convergente, de façon qu'ils aillent concourir en un foyer réel : il se forme alors une onde sphérique concave ayant pour centre le foyer conjugué du point lumineux, et pour limiter cette onde il suffit de placer un diaphragme entre la lentille et le foyer. Les rayons peuvent être reçus sur un écran passant par le foyer et perpendiculaire h l'axe de la lentille : on voit alors directement les phénomènes se dessiner sur cet écran. On peut aussi supprimer l'écran et observer les phénomènes avoe une loupe disposée de façon li faire voir nettement les points situés dans le plan mené par le foyer perpendiculairement à l'axe do la lentille; l'emploi de la loupe a l'avantage de produire un grossissement qui permet de distinguer plus facilement les apparences duos à la diffraction.

Le procédé le plus commode consiste à réunir dans un même instrument la lentille convexe et la loupe, c'est-à-dire à se servir d'une lunette astronomique avec laquelle on vise une source lumineuse de très-petites dimensions : il suffit alors, pour donner naissance aux phénomènes de diffraction, déplacer un diaphragme entre l'objectif et l'oculaire ; si la lunette est munie d'un réticule à fil mobile, on pourra prendre des mesures et comparer les n^ sultats de l'expérience avec ceux de la théorie.

Nous allons faire voir maintenant qu'on peut obtenir des effets identiques à ceux d'une onde sphérique concave, en se plaçant dans des conditions tout à fait différentes en apparence, par exemple en faisant tomber sur un diaphragme plan et percé d'une ouverture de forme quolconcpio nn faisceau de rayons jiarallèles entre eux et

on obtient de même pour les arcs élémentaires suivants

La longueur des arcs élémentaires décrott donc très-rapidement dans le voisinage du pôle.

Considérons maintenant un arc tel que NN', séparé du pAle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En posant

ii vient

R2 = a-^ + (fl+6)2-aa(a + *)cos^-

Lorsqu'on passe du point N au point N', R crott de - et l'arc s de er^ er désignant l'arc élémentaire NN'; R étant très-grand par rapport À -9 le rapport entre les accroissements des quantités R et 9 est

sensiblement le même que celui qui existe entre les diflférentielles de ces quantités. Or l'équation précédente donne par la diflférentiation

RrfR==^(fl4-*)sin^rf«; il Vient donc approximativement

(flH-6)sm-

d'où

RX

2 (a-H6)sin-

Cette expression est Irès-petite par rapport à la longueur des premiers arcs élémentaires; on a en effet

a^ RX fâ^h R / X

a;fl + 6)sm-^ av«wsm--

ViiDCT, V. — Opiiqiie, I. i3

i60 LUMIÈRE .NON POLARISÉE.

parallMc n AP, on «i

\IK=^.rcosa + f/ros/S.

Si Ton représente la vitesse du inouvement vibratoire sur Tonde plane qui coïncide avec l'ouverture par

asm 9 Tripla distance AP par R, l'élément correspondant au point M par rfrrfy, on voit immédiatement que la vitesse envoyée par cet élément au poinl P a pour expression

// R j;cosa + rcosj8\ , , t?==sm9^ {tt, — -r r. z-î^-. — '- j djcay.

En désignant par Ç et ty les coordonnées du point P, il vient

cosa = î^^ cosp = |ri

el |)ar suite

t' ^ sm 9.n i^j.-^ j^ j (Lvdy.

(letle valeur de la vitesse ne diffère de celle qu'on trouve dans le cas d'une onde sphérique concave que par le signe du dernier terme do la parenthèse, et il est facile de s'assurer qu'on arrive, en continuant le calcul, à une expression de l'intensité lumineuse identique îi celle ([ue nous avons obtenue plus haut.

Au lieu d'observer les phénomènes sur un écran placé à une très- [grande distance du corps diffringent, on |>eut, ce qui est plus commode, recevoir la lumière après son passaf^e par l'ouverture sur une lentille convergente et donner successivement h l'axe de cette lentille différentes directions. Soit en effet une lentille convergente dont l'axe est dirigé parallèlement à AP : si la lentille n'existait pa$« les mouvements envoyés, parallèlement h AP. en un |)oint P situé à une distance infiniment grande sur cette direction, partiraient en même temps des difl'érents points de l'ouverture AB et emploieraient des temps égaux pour se propager du plan AD, perpendiculaire à AP. jusrprau point P. La lentille, ayant son axe parallèle à AP. fait cou-

DIFFRACTION. 201

verger en son foyer principal F les rayons parallèles à AP qu'on peut supposer émanés des différents points de Touverlure; la réfraction à travers la lentille, supposée aplanélique, n'introduisant aucune différence de marche entre les rayons qui concourent en son foyer (25), ces rayons emploient encore des temps égaux pour se propager du plan AD, qui leur est perpendiculaire, jusqu'au foyer V, Les différences de phase de ces rayons seront donc exactement au foyer F ce qu'elles seraient en P sans la présence de la lentille , et par suite l'intensité lumineuse aura en F 1» même valeur qu'en P, à un facteur constant près. Si maintenant on considère des rayons pa* rallèles à une direction AP' faisant un petit angle avec l'axe de la lentille, on voit que ces rayons iront très-sensiblement concourir en un point F' voisin du foyer principal; la réfraction à travers la lentille ne communique encore dans ce cas aux rayons aucune différence de marche appréciable, et par suite ces rayons emploient des temps égaux pour se propager du plan AD' qui leur est perpendiculaire jusqu'au point F'. L'intensité au point F' sera donc proportionnelle à ce qu'elle serait, si la lentille n'existait pas, en un point P' situé à une distance extrêmement grande sur la direction AP'. Ainsi , si l'axe de la lentille est parallèle à AP, on observera les mêmes apparences dans le plan focal de la lentille autour du point F que sur un écran extrêmement éloigné autour du point P, et, en faisant varier la direction de l'axe de la lentille, on apercevra les phénomènes qui seraient venus se peindre dans les différentes régions do l'écran.

Le plus souvent on se sert, au lieu d'une simple lentille convergente , d'une lunette astronomique avec laquelle on vise l'ouverture diffringente et dont l'axe optique peut recevoir différentes directions : l'oculaire fait alors office de loupe, et, en adaptant un micromètre à la lunette , il est possible de prendre des mesures. La lunette est montée ordinairement sur un cercle gradué, ce qui permet d'évaluer rinclinaison de son axe optique sur la direction des rayons incidents.

Lorsqu'on se propose uniquement d'examiner l'aspect des phénomènes sans prendre de mesures, on peut supprimer la lentille convergente et placer simplement l'œil derrière l'ouverture diffringente :

262 LliMIÊKE NON POLARISÉE.

les phénomènes se dessinenl alors sur la rétine comme ils le feraient sur un écran situé à une distance infiniment grande, pourvu toutefois que Fœil puisse s'accommoder pour des rayons parallèles. L'œil nnope ne jouit pas de cette faculté, mais on peut la lui faire ac- ({uérir au moyen d'un verre divergent convenablement choisi.

En résumé, trois méthodes différentes' d'observation conduisent aux mêmes résultats :

i"" Celle qui consiste à viser directement le point lumineux avec une lunette astronomique, en interposant un diaphragme entre l'objectif et l'oculaire ;

*j° La projection du phénomène sur un écran situé à une trèsgrande distance du corps diffringent ;

y L'emploi d'une lunette astronomique qu'on dirige sur Touverture diffringente et dont l'axe peut recevoir différentes directions.

Lorsqu'on emploie une des deux dernières méthodes , les rayons qui tombent sur le diaphragme doivent être sensiblement parallèles, c'est-à-dire émaner d'un point situé à nne grande distance de l'ouverture diffringente; dans le premier procédé, il n'est pas né^ ccssaire que cette condition soit remplie.

Par les raisons que nous avons indiquées en parlant des franges d'interférence, la source lumineuse, pour que les phénomènes de diffraction soient visibles , doit avoir un diamètre apparent très-petit. Cependant, quand l'ouverture diffringente est formée d'une ou de plusieurs fentes étroites, la source lumineuse peut sans inconvénient être allongée dans le sens parallèle h la grande dimension des fentes, car les systèmes de franges produits par les différents points de la source se superposent alors sensiblement, ce qui augmente l'éclat du phénomène. La source lumineuse de forme linéaire, qui peut être soit une fente pratiquée dans le volet d'une chambre obscure, soit la ligne focale d'une lentille cylindrique, doit, lorsqu'on se sert de l'une des deux dernières méthodes d'observation , se trouver à une grande distance du corps diffringent, à moins qu'on ne rende les rayons parallèles à l'aide d'un collimateur placé entre la source et l'ouverture diffringente.

Fresncl ^ indiqué la simplification qui s'introduit dans les apparences dues à la diffraction lorsque le centre de Tonde incidente,

DIFFRACTION. ^03

au lieu d*élre uu point lumineux, se trouve dans le plan du tableau ^'^ mais il n'est entré .dans aucun détail sur les phénomènes dont l'étude fait l'objet de cette première partie. Frauenhofer s'est servi le premier d'une lunette astronomique pour observer les effets produits par des ouvertures diffringentes : il a établi avec beaucoup de soin les lois expérimentales de ces phénomènes, principalement dans le cas où l'ouverture, formée d'un grand nombre de fentes égales et équidistantes . constitue ce qu'on appelle un réseau ^'^K

On doit à M. Herschel de nombreuses observations sur les apparences (|ue présente l'image d'une étoile vue dans une lunette dont l'objectif est muni de diaphragmes de différentes formes ^^K

La théorie des phénomènes observés à une grande distance du cor|)s diffringent ou au moyen d'une lentille convexe a été établie d'une manière sommaire par Airy ^^\ puis développée et perfectionnée par Schwerd , qui a coordonné tous les travaux de ses devanciers sur ce sujet ^^^

69. Diffraction par une ouverture reetangulaire. — Nous allons maintenant effectuer le calcul de l'intensité lumineuse dans un certain nombre de cas particuliers; les résultats que nous obtiendrons en partant de la formule établie pour une onde sphérique concave seront applicables à l'un quelconque des trois modes d'observation que nous avons indiqués plus haut.

Supposons en premier lieu que l'ouverture du diaphragme cpii limite l'onde soit de forme rectangulaire. Si Taxe des z passe par le centre de cette ouverture, et si Ton désigne par a la longueur du côté de l'ouverture qui est parallèle à l'axe des x, par b celle du

côté qui est parallèle à l'axe des y, les limites des intégrales sont — et -f - relativement h x, et + -relativement à y. et la formule

^'^ Mémoire couronné sur la diffraction {Œuvres complètes y t. I, p. Soa).

^^) Schtimacker^ê AëtronomUche Abkandlungen , IL — GUberl's Annalen, LXXIV, 337.

^^) Traité de la Lumière de Herschel (Iraduction de Verhuist cl Quelelet), 1. 1, p. 5o3.

^*^ Matkemalical Tracts, Cambridge, i83i,p. 32 1.

^^^ Die Beugungserscheinungeny Manheim, i835.

2C6 LUMlÈaE NON POLAIllSEE.

qui donne l'intensité devient

+ 1 I siiiîiTr' — TpH— flxfly

(OS a TT r— c/a- I (;0S *J TT kv ^V

En rciiiarquant que l'on a

sin 27r jnTwa?=o, I sin27r^ay = o,

2 a?Ç , RX . a$

cos aw ^ rfa; == -^ sinw «r »

^ J»? 1 RX . hff

^ cosaTT^^-rfy-^-sinTrjy^,

DIFFRACTION. 265

il vient

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En multipliant et divisant la valeur de l'intensité par u-y^^ elle prend une forme plus commode |)our la discussion : on obtient ainsi Texpression

L'intensité lumineuse au point dont les coordonnées sont ^ et n est donc représentée par un produit de trois facteurs dont l'un est constant, tandis que les deux autres sont de la forme — \

Nous sommes ainsi amenés à étudier les variations de la foncsin II

tion — î-1 fonction que nous représenterons par S. On voit immédiatement que cette fonction ne peut jamais prendre de valeurs négatives, qu'elle est égale à l'unité pour u== o, et qu'elle s'annule toutes les fois qu'on a u = m7r, m étant un nombre entier diiïrn'ut de zéro. Les valeurs nulles de ia fonction S correspondent à des minima : pour trouver les valeurs de u qui rendent S maximum, il faut égaler a zéro la dérivée de cette fonction, ce qui donne

sin a ucosa — sinu

sm'u

Il M

L'équation

sinu

donnant les valeurs qui correspondent aux minima, il resté, pour déterminer celles qui correspondent aux maxima , l'équation

ttcostt — sinM = o ou (U) M==tangu.

Cette éijualion a une première racine égale ù zéro; une seconde, que nous appellerons w^, comprime enlre ti et 3 -; une troibièmeMg

190 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

par les anneaux en lesquels nous avons décomposé l'onde plane , nous aurons pour la vitesse envoyée en ce point par Tonde plane tout entière

série dont les premiers termes décroissent très-lentement et dont les termes d'un ordre élevé sont très-petits. Cette série peut s'écrire

Les quantités entre parenthèses sont toutes très-petites vis-ji-vis du

premier terme -m: les premières, parce que dans le voisinage du

pôle les vitesses envoyées par deux anneaux consécutifs sont presque égales; les autres, parce que ces vitesses, dès qu'on s'éloigne notablement du pôle, deviennent très-petites. La série se réduit donc

approximativement h- m, et on peut dire que :

La vitesse envoyée par une onde plane indéfinie en un point extérieur équivaut sensiblement à la moitié de celle qui est envoyée par un cercle ajaut pour centre le pôle, et tel, que les distances de son centre et de sa circonférence au point éclairé diffèrent d'une demi-longueur d'ondulation.

Il faut remarquer que, pour établir cette conclusion « nous avons été obligés de faire intervenir Tinfluence de l'obliquité, ou, en d'autres termes « de supposer que, sur une onde élémentaire, le mouvement vibratoire devient sensiblement nul dans le voisinage du plan tangent mené par le centre de cette onde h Tende pri* mitive.

Nous pouvons maintenant nous rendre compte, du moins dans le cas d'une onde plane, c'est-à-dire dans le cas où le point lumineux est situé k une distance très-grande, de la signification physique qu'il faut attribuer h ce qu'on appelle la loi de la propagation rerdligne delà lumière. En effet, l'action d'une onde plane indéfinie sur

un point extérieur se réduit ù celle d'une très-petite région qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le pian de Tonde, c'est-à-dire le point où cette onde est rencontrée par la droite qui joint 'le point lumineux au point éclairé; donc, en supprimant cette région de Tonde, c'est-à-dire en plaçant un écran opaque en un point de la droite qui va du point lumineux au point éclairé, on fait disparaître tout éclairement, tandis qu'en supprimant tout le reste de Tonde pour ne conserver que la région efficace on ne change rien à Tétat du point éclairé.

On voit par ce qui précède que les mouvements vibratoires qui existent à un ceilain moment sur une onde plane se transportent, au bout d'un temps T, à tous les points d*un plan parallèle à cette onde et situé à une distance égale à VT, V élant la vitesse de propagation de la lumière, (le dernier plan sera donc la position de l'onde plane au bout du temps T. Ainsi se trouve justifié, pour le cas des ondes planes, le principe des ondes enveloppes, établi d'une façon insuffisante par Huygbens, et en vertu duquel Tonde, dans une position quelconque, est Tenveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points d'une onde antécédente comme centres, avec des rayons égaux à la distance que parcourt la lumière pendant Tintenalle de temps qui sépare les deux ondes considérées; si Ton décrit en effet, des différents points d'un plan comme centres, des sphères de rayons égaux « Tenvelojipe de ces sphères sera un plan parallèle au premier et situé à uno distance de ce plan égale au rayon des sphères.