Effet 4*uiie onde •ireulnlre sur ub p^lnt extérieur
— Avant d'étudier Taction d'une onde sphérique, nous allons examiner successivement Taction d'une onde circulaire d'abord sur un point extérieur situé dans son plan, puis sur un point situé en dehors de ce plan.
Soient encore (fig. 4o) P le point éclairé, A le pôle de Tonde circulaire, cVsl-à-dire le point où la droite qui joint le point P au centre Ode Tonde rencontre celte onde, et posons
â58 LUMIERE N()\ POLAKISEE.
aiouvemenl vibratoire envoyé par une onde sphérique concave en un point d'un pian passant par son centre et d*attribuer à l'ouverture qui limite cette onde une forme particulière, il est utile de faire connaître les dispositions expérimentales à Taide desquelles on peut réaliser les conditions que la théorie précédente suppose remplies et de montrer que cette théorie comporte une généralité beaucoup plus grande qu'on ne serait porté à le croire au premier abord.
Le moyen le plus simple qui se présente pour étudier les effets d'une onde sphérique concave consiste à faire tomber les rayons émanés d'un point lumineux sur une lentille convergente, de façon qu'ils aillent concourir en un foyer réel : il se forme alors une onde sphérique concave ayant pour centre le foyer conjugué du point lumineux, et pour limiter cette onde il suffit de placer un diaphragme entre la lentille et le foyer. Les rayons peuvent être reçus sur un écran passant par le foyer et perpendiculaire à l'axe de la lentille : on voit alors directement les phénomènes se dessiner sur cet écran. On peut aussi supprimer l'écran et observer les phénomènes avec une loupe disposée de façon u faire voir nettement les points situés dans le plan mené par le foyer perpendiculairement à Taxe de la lentille; l'emploi de la loupe a l'avantage de produire un grossissement quf permet de distinguer plus facilement les apparences duoN à la diffraction.
Le procédé le plus commode consiste à réunir dans un même instrument la lentille convexe et la loupe, c'est-à-dire à se senir d'une lunette astronomique avec laquelle on vise une source lumineuse de très-petites dimensions : il suffit alors, pour donner naissance aux phénomènes de diffraction, de placer un diaphragme entre l'objectif et l'oculaire; si la lunette est munie d'un réticule a fil mobile, on pourra prendre des mesures et comparer les résultats de l'expérience avec ceux de la théorie.
Nous allons faire voir maintenant qu'on peut obtenir des effets identiques à ceux d'une onde sphérique concave, en se plaçant dans des conditions tout à fait différentes en apparence, par exemple en faisant tomber' sur un diaphragme plan et percé d'une ouverture de forme quelconcpie un faisceau de rayons parallèles entre euï et
on obtient de même pour les arcs élémentaires suivants
La longueur des arcs élémentaires décroit donc très-rapidement dans le voisinage du pôle.
Considérons maintenant un arc tel que NN\ séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En posant
il vient
R2 = a^ + (/,+6)2-aa{a + 6)cos^-
Lorsqu'on passe du point N au point N\ R croît de - et Tare s
de 9, ff désignant l'arc élémentaire NN'; R étant très-grand par rap-
port à -, le rapport entre les accroissements des quantités R et « est
sensiblement le même que celui qui existe entre les différentielles de ces quantités. Or l'équation précédente doi^ne par la diiTérentiation
RrfR = (a-hi)sin^rf»;
il vient donc approximativement
(T ds R
X~rfR~, .. . «'
l'où
(a-4- 6'sin - 2 ^ a
RX
2 (fl+6)sin -■
Celte expression est Irès-petite ])ar rapport à la longueur des premiers arcs élémentiûres; on a en effet
<r RX
* 2 ;fl-r6)sin- ^ ""'' aV^«6sin^
ViftftET, V. — Optique, I. |3
'260 LUMIÈRE .NON POLARISÉE.
parallMc n AP, on a
M K = .r cos a -f- y cos jS.
Si l'on représente la vitesse du <nouvement vibratoire sur l'onde plane qui coïncide avec l'ouverture par
asinQTrFp'
la distance AP par R, l'élément correspondant au point M par rf.rrfy, on voit immédiatement que la vitesse envoyée par cet élément au poinl P a pour expression
// R a:cosa+ rcosÔN , , « = sm97r ivr, — -T ^ ) dœdy.
En désifjnant par Ç et »? les coordonnées du point P, il vient
cosa = ïT«» cosjo = |T'>
et par suite
f t R a£-\-yri\ j j V -^ sin *>7r I ,y — >- vY~~ j "^"y«
Cetle valeur de la vitesse ne diffère de celle qu'on trouve dans le cas d'une onde sphérique concave (|ue par le signe du dernier terme do la parenthèse, et il est facile de s'assurer qu'on arrive, en continuant le calcul, à une expression de l'intensité lumineuse identique à celle que nous avons obtenue plus haut.
Au lieu d'observer les phénomènes sur un écran placé à une très- (grande distance du corps diffringent, on peut, ce qui est plus commode, recevoir la lumière après son passage par l'ouverture sur une lentille convergente et donner successivement à l'ave de celte lentille différentes directions. Soit en effet une lentille convergente dont l'axe est dirigé parallèlement à AP : si la lentille n'existait pas, les mouvements envoyés, parallèlement à AP, en un point P situé à une distance infiniment grande sur cette direction, partiraient en même tenq)s des différents points de l'ouverture AB et emploieraient des temps égaux pour se propager du plan AD, perpendiculaire à A P. jusfpi'au point P. lia lentille, ayant son axe parallèle à AP, fait con-
Si i esl très-petit, c*est-à-dire si le point M est très- voisin du pAIe, on peut négliger les termes en S^ et remplacer cos - par i — -^; il
vient alors
1» 1 nu
. / •2ndi
On (l<klui( de là pour les longueurs des premiers arcs éiénientaires
Ces arcs décroissent donc très-rapidement dans le voisinage du pôle. Pour un arc NN' séparé du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, on a, en désignant par R ia distance PN,
R2 = A2 4. fl2 ^ [a+ \/JP - h^y ^fàa{a+ \j¥^li?) cos ^;
en désignant par a Tare élémentaire NN' et en raisonnant comme dans le cas précédent, il vient
g ds R
doù
RX
1 [a -Jt- \l d^ — h*) Sïw -
Le rapport de cette expression à la longueur du premier arc élé-
