Jo a
ou a
suivant que le rang fi du terme après lequel on s'arrête est. pair où impair. Il est facile de voir que le reste finit toujours par tendre vers zéro; si, en effet, on remplace chacun des éléments de l'intégrale
I »**sin-!;^a»ou de l'intégrale 1 w*"cos-t;^ifo par l'unité, on augmente la valeur de ces intégrales : on a donc constamment
^^ 1.3.5... (2«— i)aw-+- 1
320 LUMIÈRE NOiN POLARISÉE.
sur le plan de l'ellipse ; cette distance est représentée par OC sur la figure.
D'après ce que nous avons vu plus haut, les déviations des maxinia et des minima dans le plan des zx seront les mêmes que si l'ouverture était un cercle ayant pour rayon OC; de plus, nous savons que, si l'ouverture diffringente est circulaire, les sinus des déviations correspondant à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé sont en raison inverse du rayon de l'ouverture. Il résulte de là que, l'ouverture étant elliptique, si nous considérons différents plans normaux à l'ouverture et passant par le centre, le sinus de la déviation qui correspond dans l'un de ces plans à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé est en raison inverse de la distance du centre à une tangente menée à l'ellipse perpendiculairement à l'intersection de ce plan avec celui de l'ellipse.
Soit
l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes; considérons un plan perpendiculaire à celui* de l'ouverture et faisant un angle a avec celui des zx\ la tangente menée à l'ellipse perpendiculairement à l'intersection de ce plan avec celui de l'ellipse a pour équation
et la distance du centre à cette tangente est
\'' + nn4^i \ .-i-lang'''«
C'est à cette dernière quantité que sont inversement proportionnels les sinus des déviations correspondant à un maximum ou a un minimum d'un ordre donné dans un plan passant par l'axe des r et faisant avec le plan des zx un angle égal à a. Il est facile de déduire de là la forme qu'affecteront les courbes déterminées par les maxima
DIFFRACTION. 321
et les minima sur un écran parallèle à l'ouverture et placé à une Irès-grande distance. Prenons en effet pour origine le point 0', où le plan de cet écran est rencontré par Taxe des ?, c'est-à-dire par une droite perpendiculaire au plan de l'ouverture et passant par son centre , et traçons dans le plan de l'écran deux axes 0 V et O'y' parallèles respectivement au grand axe et au petit axe de l'ouverture. Considérons une courbe correspondant sur l'écran à un maximum ou à un minimum d'un ordre donné : celui des rayons vecteurs de cette courbe qui fait avec l'axe OV un angle égal à a sera, d'après ce que nous venons de voir, inversement proportionnel à
v/a^-h6*tang*a y/i-+-tang*a
et par suite directement proportionnel à
cos a y/a* -h 6* tang' a
En désignant par x' et y' les coordonnées du point oii la courbe est rencontrée par ce rayon vecteur, et par k une quantité constante, on aura
jp'^^ ^' VQ ^'tang'ot
tf * -H h* tang* a ^ a* h- 6' tang' a
d'où, en éliminant tangua entre ces deux équations.
Les courbes déterminées par les maxima et par les minima sont donc des ellipses semblables à celle qui limite l'ouverture, mais inversement placées, c'est-à-dire que leur grand axe est parallèle au petit axe de l'ouverture , et réciproquement.
Verdet, V. — Opiiquo, I. ai
5iH
l.DMIKRE NON i'OLARISÉE.
([u'il siifiil <Ii' ronsidt'riT l'adion ilc l'onde rimriaire AX sur les voit é|[alf>ni<>nl qu'en siibsliltiant au noini lumineux une fnnte lumïnpuw par.-ill^lt' nui bords do l'écran diffrin^fnt on' ne fait ([u'augmenter l'éclat du phénoinrne sans altérer d'une manière sensible la position des niaxiina et des minima.
Nous sommes ain.si conduits à ralculer l'intensité de la lumière envoyée par une onde circulaire limitée d'une Taron quelconque en un point situé dans son plan. Soit AX (fig. 71) une onde circulaire ayant pour centre le point lumineux 0. Appelons P le point éclairé, A le pôle de l'onde par rapport à ce point; représeatons par «le rayon OA de l'onde circulaire, par l> io distance AP; supposons enfin que sur l'onde circulaire la composante de la vitesse parallèle A une certaine direction ttoit eiprimée par sin9ir,-p. Na composante |)arallèle à la même direction de lu vitesse envovée en R par l'élément iJ» de l'onde qui a son milieu en A sera
et celle de la vitesse envoyée au même point P par un élément de l'onde ayant son milieu en un point VI . dont la distance au point P est égale i') li + S. aura pour evpression
en négligeant rinfluence de l'obliquité par rapport à Tonde delà din-clinn suivant lii<)nelle le mouvement se propage, p| en admettant aussi que les dilTérences très-petites qui existent entre les distances des différents points de l'onde au point éclairé n'enlratnent
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326 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
dès que celte valeur de s est un peu considérable, et que, par conséquent, on obtient sensiblement le même résultat en prenant pour limite supérieure de l'intégration une valeur un peu gratfde de s ou une valeur infinie de cette varia])U. Pour démontrer qu'il en est ainsi, considérons, par exemple, la première intégrale : elle représente l'aire comprise entre l'axe des a; et une courbe dont l'équation est
y = '^"'"^ -iiFT- •
Les ordonnées de cette courbe reprennent périodiquement les mêmes valeurs; mais la distance entre deux points consécutifs d'intersection de la courbe avec l'axe des x devient de plus en plus petite à mesure que x augmente. Si, en effet, on représente les abscisses de ces deux points par x ei x + h, on aura
d'où
h décroît donc indéfiniment quand x augmente.
L'aire totale de la courbe, aire qui représente l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur infinie de s, se compose, d'après ce que nous venons de voir, d'une série d'aires alternativement positives et négatives et dont la grandeur absolue va en décroisant indéfiniment. Si donc on prend l'intégrale depuis zéro jusqu'à une
valeur de s pour laquelle costt ry— s'annule, la différence
entre cette intégrale et l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à l'infini esi moindre que la dernière aire conservée, et peut, par conséquent, être rendue moindre que toute quantité donnée en assignant à la limite supérieure de l'intégrale une valeur suffisamment grande. Il en est de même, à plus forte raison, si la limite supérieure de
l'intégrale est une valeur de s pour laquelle costt — ry— ne s'an-^ nule pas; car alors la différence entre cette intégrale et Tintégrale
DIFFRACTION. 325
aucune variation appréciable dans la grandeur des vitesses envoyées par ces points.
La vitesse au point P, estimée parallèlement à la direction conrsidérée , est donc représentée paj
I smaTrIpp yTr^*
l'intégration s*étendant à toute la portion de Tonde circulaire qui n'est pas interceptée par l'écran diffringcnt; l'intensité de la composante du mouvement vibratoire suivant cette direction sera par conséquent
P = f I cos 97r ^- à j + ( \ sin ùTt ^dsj •
Si Ton estime la vitesse suivant une autre direction, on trouvera pour l'intensité une valeur égale à la précédente, multipliée par un facteur qui reste constant quel que soit le point éclairé; l'expression que nous venons de trouver peut donc servir de mesure à l'intensité totale du mouvement vibratoire.
Gomme nous n'aurons jamais à considérer que l'action de portions de l'onde s'écartant.peu du pôle, nous pouvons remplacer S par la valeur que nous avons trouvée précédemment (52) pour cette quantité lorsqu'il s'agit de points voisins du pôle, valeur qui est
lab '
l'expression de l'intensité devient alors
Les intégrales qui figurent dans le second membre ne sont pas exprimables en termes finis : il convient donc de faire précéder la discussion des principaux cas de diffraction d'une étude spéciale de ces fonctions.
Nous commencerons par établir une propriété importante de ces intégrales: cette propriété consiste en ce que leurs valeurs^ prises depuis zéro jusqu'§ une certaine valeur de s, deviennent constantes
326 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
dès que cette valeur de s est un peu considérable, et que, par conséquent, on obtient sensiblement le même résultat en prenant pour limite supérieure de l'intégration une valeur un peu gratfde de s ou une valeur infinie de cette variable. Pour démontrer qu'il en est ainsi, considérons, par exemple, la première intégrale : elle représente l'aire comprise entre l'axe des x et une courbe dont l'équation
est
Les ordonnées de cette courbe reprennent périodiquement les mêmes valeurs; mais la distance entre deux points consécutifs d'intersection de la courbe avec Taxe des x devient de plus en plus petite à mesure que x augmente. Si, en effet, on représente les abscisses de ces deux points par x ei x + hy on aura
7r(a-»-6)a;* , x tt it (a -\r h\ [x ->t- hY , , o\^ . ah\ -(^^^ + 0â- âhl = (^« + 3)-,
d'où
db\
h décroit donc indéfiniment quand x augmente.
L'aire totale de la courbe, aire qui représente l'inlégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur infinie de s, se compose, d'après ce que nous venons de voir, d'une série d'aires alternativement positives et négatives et dont la grandeur absolue va en décroissant indéfiniment. Si donc on prend l'intégrale depuis zéro jusqu'à une
valeur de s pour laquelle cosw- — ry — s'annule, la différence
entre cette intégrale et l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à l'infini est moindre que la dernière aire conservée, et peut, par conséquent, être rendue moindre que toute quantité donnée en assignant à la limite supérieure de l'intégrale une valeur suffisamment grande. Il en est de même, à plus forte raison, si la limite supérieure de
l'intégrale est une valeur de s pour laquelle costt — ry— ne s'annule pas; car alors la différericc entre cette intégrale et l'intégrale
DIFFRACTION. 3î27
prise depuis zéro jusqu'à l'infini est moindre que si la limite supérieure de l'intégrale était la valeur de s qui , parmi celles qui an^
nulent la quantité costt^ — t-j- — i est immédiatement supérieure à
la limite réelle.
^Revenons maintenant aux intégrales elles-mêmes ; posons
d'où
Y2(a-+-6)' et
I abX
l'expression de l'intensité prend alors la forme
-îî^ [(/-!»'*)■+ (/™r»'*y]'
Les deux intégrales à l'étude desquelles se trouve ainsi ramenée là discussion des problèmes de diffraction se nomment int^aks de fresnel; elles ne contiennent d'une façon explicite aucune des quantités a y h y X, c'est-à-dire aucune des données particulières ^de la question : il suffira donc de calculer une fois pour toutes les valeurs de ces intégrales prises depuis zéro jusqu'à des valeurs déterminées de V. Remarquons d'abord que, d'après ce que nous venons de voir, on obtient sensiblement la même valeur pour chacune de ces intégrales en prenant pour limite supérieure de l'intégration une valeur de V un peu considérable ou une valeur infinie de cette variable; or une formule connue donne
J'où . : ; •
/*^ ''Toi r^ • TT ., , .1
cos - vldv = l SI n - r- rfr = - : o 2 Jo 12
326 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
donc, pour toute valeur un peu considérable de v^ chacune des in^' tégrales de Fresnei est sensiblement égale h i. Lorsque au contraire la valeur de v est petite , les intégrales ne sont pas exprimables en termes finis, et il faut avoir recours à des méthodes particulières pour les calculer.
La marche suivie par Fresnei consiste à décomposer chacune des intégrales en une somme d'expressions directement calculables et à ajouter les résultats; il a pu dresser ainsi des tables donnant les valeurs des intégrales pour des valeurs croissantes et très-rapprochées de la limite supérieure de l'intégration, la limite inférieure étant toujours zéro. Depuis Fresnei, plusieurs géomètres ont essayé de substituer aux intégrales des séries se prêtant à une discussion directe. Nous allons faire connaître successivement ces différentes méthodes de calcul.
